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Proprietà di A

A : X → Y

A(α x + β x ) = α A x + β A x

1 ≤ x ≤ 2, x ∈ X

1 ≤ α, β ≤ 2

Varie notazioni:

A(x ) = Ax

A è continuo se

∀ ε > 0, ∃ δ > 0 t.c. ||x - y|| < δ → ||Ax - Ay|| < ε

Definizione:

−→ ⇒ −→x X Ax Axn nn→∞

si intende tutto nel senso della norma.

∥x - −→ ∥Ax - −→X∥ 0 Ax∥ 0n X n Yn→∞ n→∞

A è limitato se

∃ k > 0 t.c. ||Av|| ≤ k||v||, ∀ v ∈ X

Norma di A:

Definizione: ∥A∥ = sup {||Av|| : v ∈ X, ||v|| ≤ 1}

vale che ∥Av∥ ≤ ∥A∥ ∥v∥, ∀ v ∈ X

Teorema 9 → A : X → Y

⇐⇒ A Ase è limitato è continuo

Dimostrazione:

• A limitato A continuo→

Prendo nella norma X−→x Xn n→∞

Limitatezza di A

Linearità

∥Ax - ∥A(x - ≤ ∥x - −→Ax∥ = x)∥ ≤ K x∥ 0n Y n Y n X n→∞

→xxnA è continuo.⇒

• A continuo A limitato→

Se

A è continuo, dato t.c.∃ϵ > 0 δ > 0 Linearità∥A − ∥ ∥Av∥(v + v ) Av = < ϵ0 0Se scelgo conδ w∥v − 0∥ ∥v∥ ∈+ v v = < δ v = w X0 0 ∥w∥2 δ w δ⇒ ∥A ∥ ∥Aw∥= < ϵ∥w∥2 2∥w∥2ϵ⇒ ∥Aw∥ ∥w∥< δ|{z}=KA è limitato.⇒ 56Lo spazio degli operatori lineari continui si chiama ed è lineare normato.→X Y B(X, Y )Teorema 10 Operatori su spazi finito-dimensionali sono sempre continui e limitati.Dimostrazione:Data e prendendo la base di X (Hilbert)−→v vinX e ik k→∞ nXv = (e , v ) ek i k ii=1dim X=n nXv = (e , v) ei ii=1Considero n nXAv = A (e , v ) e = (e , v ) A ek i k i i k ii=1 i=1A è lineare e la sua somma è finita. nXlim Av = lim (e , v ) Aek i k ik→∞ k→∞ i=1nX continuità del prodotto scalare= (e , lim v ) Aek ii k→∞i=1nX= (e , v) Aei ii=1 nX linearità diA= A (e , v) ei ii=1 {z }| =v= Av⇒ lim Av = avkk→∞A continuo se X, Y sono finito-dimensionali Operatore integrale con con sup norma (completo) definito da: →X Y X = Y = C[a, b] Esempio: bZ∈ → ∈f (x) C[a, b] h(x, y) f (y) dy C[a, b]acontinua ×h(x, y) [a, b] [a, b] Questo operatore p limitato e continuo. ∥=∥A fb bZ Z∥ h(x, y) f (y) dy∥ = sup h(x, y) f (y) dyx∈[a,b]a a≤ |h(x, |f |b −sup y)| sup (y)| a|x,y∈[a,b] y∈[a,b]=k poiché h è continua e =∥f ∥ A è limitato≤ ∥f ∥ ⇒k 5712.1 Operatore di derivazione Su 2L [a, b] d−iP f = fdx Poichè potrebbe non essere derivabile, ma restringo D(P) sottospazio denso di su cui P2 2∈f L [a, b] L [a, b]è definito. Prendo −nx 2⊂ ⊂f = e D(P ) L [a, b]n d −nx −nx−iP f = e = ine = infn ndx ∥P ∥ ∥f ∥fn n −→ ∞= n = n∥f ∥ ∥f ∥ n→∞n n Per fare la norma devocalcolare ∥P ∥f∥P ∥ = sup ∥f ∥∈D(Pf )Tuttavia abbiamo trovato che con ∥P ∥f → ∞f n ∥f ∥ n→∞P non è limitato!⇒ 2L (R)12.2 Operatore di moltiplicazione Q suQf (x) = xf (x)Se non è detto che2 2∈ ∈f L (R) xf (x) L (R)allora mi restringo a sottoinsieme dove Q è ben definito.2⊆D(Q) L (R)Prendiamo  ∈1 x [n, n + 1χ (x)n,n+1 altrove0 ⊆χ (x) D(Q)n,n+1∞Z 222∥Q |xχ (x)∥ = χ (x)| dxn,n+1 n,n+1−∞n+1 n+1Z Z2 2|x| ≥= dx n dxn n{z }|∞ 2R |χ (x)|n,n+1−∞2 22∥χ= n (x)∥n,n+1 2∥Q ≥ ∥χ= χ (x)∥ n (x)∥n,n+1 2 n,n+1Q non è limitato⇒ 5812.3 Operatori non limitati su spazi normati xNon è detto che siano definiti su tutto X.Per prima cosa si deve trovare di D(A) il dominio di A in Xrichiediamo (assumiamo) che D(A) sia denso in X.⇒A volte si può trovare l’estensioneA’ di A per cui′ ∀ ∈A v = Av v D(A)′⊂D(A) D(A )A non limitato non è continuo→A YTeorema 11 Dato continuo (e limitato) su D(A) denso in X; se Y è completo allora A si può estendere a tutto XX vale che perché A è limitato.∀ ∈ ∥Av∥ ≤ ∥A ∥v∥∥v D(A)Dimostrazione:Inoltre poichè D(A) è denso in X t.c.∀ ∈ ∃ {v } ∈ ∥v −v X D(A) lim v∥ = 0k k xk→∞La successione è di Cauchy ovvero t.c.∀ ∃ ∥v − ∥ ∀v ϵ > 0 n v < ϵ n, k > nk o k n x 0Si dimostra che è di Cauchy in Y:Av k ∈D(A) (linearità di A)z }| {∥Av − ∥ ∥A − ∥Av = v vn m y n m y≤ ∥A∥ ∥v − ∥vn m x poichè è di Cauchy≤ ∥A ∀ϵ∥ n, m > n v0 kè di Cauchy⇒ {Av }kMa poichè Y è completo Av =⇒ Avk k→∞di Y, cioè ∥Av∥ ≤ ∥A ∥v∥
  • −lim Av∥ = 0k yk→∞
  • Inoltre: ∥Av ∥ ≤ ∥A∥ ∥v ∥k kpoichè A è unitario su D(A), con → ∞k ∥Av∥ ≤ ∥A∥ ∥v∥A si può estendere a tutto X e A è limitato e continuo su tutto X⇒12.4 Operatori chiusi(condizione più debole della limitatezza o continuità) è chiuso se→A : X Ylim v = v, lim Av = wk nn→∞k→∞
  • Si tratta d due ipotesi indipendenti tra loro e la seconda potrebbe non esistere. Implica che Av = wCi concentreremo solo su operatori non limitati chiusi e densamente definiti su X5912.5 Operatori su spazi di Hilbert →A : H Hgeneralizzano l’algebra delle notazioni lineari.
  • Data base di H con elementi di matrice∞;e i = 1, . . . , A = (e , Ae )i i,j i j∞
  • Se con coefficiente.P∈x H, x = x , e xi i ii=1 (Ax) = (e , Ax)ii
  •  ∞X= e , A x ei j j
  •  j=1∞X= x (e , A e )j i jj=1
  •  ∞X= A xij jj=1
  • operatore− n n→E

Esempio: shiftC C −E (x , x , x , . . .) = (0, x , x , . . .)1 2 3 1 2

0 0 0 ...
1 0 0 ...
... ... ... ...

{z }| ∞[A, B]= AB-BA

Commutatore

Dati Q, P in 2L [a, b] [Q, P ] = iI

Ha senso solo se lavoro su spazi di dimensione infinita; infatti T r[Q, P ] = 0 = iT rI = in d d− −i − −iQP f P Qf = x f (xf )dx dx d d−ix= f + if + ix f = ifdx dx⇒ [Q, P ]f = if∗X

12.6 Spazio duale

Nel caso finito-dimensionale sono isomorfi e dato posso definire il funzionale lineare associato∗ ∈x, X x X

che agisce:

∗∈α Xx ∀ ∈α (y) = (x, y) y Xx

Nel caso infinito-dimensionale abbiamo 60

Teorema 12 RIESZ: ∗∈β H

Possiamo scrivere in modo univoco ogni funzionale lineare→B : H

con C ∀ ∈ ∈β(y) = (x , y), u H x H.

Come con un certoβ β∥β∥

<p>Inoltre vale che =</code><sub>x∗H &beta; h</sub><code>Dimostrazione:</code><br><code>Se prendo &beta; = 0, x = 0&beta;</code><br><code>Se definiamo ¬β = 0, {u ∈ M = ker &beta; = H | &beta;(u) = 0} e consideriamo anche il complemento ortogonale di M, ⊥M.</code><br><code>Prendiamo e definiamo ⊥ ∈ w M − v = &beta;(y) w &beta; (w) y | {z} | {z} C C con ⊥ ∈ ∈ y H, w M con ∥w∥ = 1, −&beta;(v) = &beta;(y) &beta;(w) &beta;(w) &beta;(y) = 0 ⇒ ∈ v M = ker &beta; allora e sono ortogonali.</code><br><code>⊥ ∈ ∈ w M v M − − &beta;(w) (w, y) 0 = (w, v) = (w, &beta;(y)) w &beta;(w) y) = &beta;(y) (w, w) {z } | 2 ∥w∥ = 1</code><br><code>Ricavo: ƒ ⌈ (w, y) = &beta;(y) = &beta;(w) &beta;(w) w, y ⌉ {z } {z } | | ∈ H &isin; C x&beta; ∀ ∈ y H</code><br><code>Ora dimostro che ∥&beta;∥ ∥x∥ &lowast; H &beta; H | &beta;(y)| |(x ≤ ∥x∥ &parallel;y∥ = , y)| &beta; &beta; 2 uso disuguaglianza di Schwartz: 2 2 |(x, ≤ ∥x∥ &parallel;y∥y)| (x, x)(y, y) =⇒ ∥B∥ ≤ ∥x∥ &beta;&parallel;Av&parallel;</code><br><code>Si ricorda che |A| x = sup ∥v∥ x v ∈ X</code></p>
prendo y = x β 2|x | |(x ∥x ∥= , x )| =β β β β⇒ ∥β∥ ∥x ∥= βLa scrittura dell’azione di in termini di è unica, infatti se potessi scriverlo anche in termini di ′β x xβ β′β(y) = (x , y) = (x , y)β β61′⇒ − ∀ ∈(x x , y) = 0 y Hβ βDi conseguenza ′x = xβ βQuindi l’identificazione ∗∈ −→ ∈β H x Hβè 1 a 1 e preserva la norm
Dettagli
Publisher
Nnls
A.A. 2021-2022
69 pagine
SSD Scienze matematiche e informatiche MAT/07 Fisica matematica
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Nnls di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica per la fisica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi di Milano - Bicocca o del prof Pasquetti Sara.