Spazi di Funzioni

Alcuni spazi di funzioni

Spazi L^p e convoluzione

Gli spazi L^p. Già si conoscono alcune classi di funzioni \(R \rightarrow \mathbb{C}\): \(C_{0}(R)\) per ogni \(k \in \mathbb{N}\), e \(L^{\infty}(R) \rightarrow \mathbb{C}\). Per ogni \(p \geq 1\), indicheremo con \(L^{p}(R)\) l’insieme delle funzioni \(u: R \rightarrow \mathbb{C}\) il cui modulo ha potenza p-esima integrabile, ovvero:

\[\int_{R} |u(t)|^{p} \, dt < +\infty, \tag{1.1}\]

Con \(L^{\infty}(R)\) indicheremo l’insieme delle funzioni \(u: R \rightarrow \mathbb{C}\) limitate, ovvero tali che \(|u(t)| \leq M\) per quasi ogni \(t \in R\) (il "quasi ogni" è da intendersi nel senso della teoria di Lebesgue, a cui si accenna più avanti). Questa seconda definizione è meno ovvia della precedente, ed è forse rassicurante sapere che una funzione continua sta in \(L^{\infty}\) se e solo se è limitata nel senso usuale.

Indicheremo con \(C_{b}(R)\) lo spazio delle funzioni \(R \rightarrow \mathbb{C}\) continue e limitate (l’indice \(b\) sta per bounded).

In tutte queste note l’integrale è da intendersi nel senso di Lebesgue (per questo gli spazi si indicano con \(L\)). In Appendice accenniamo brevemente a quella teoria. Queste definizioni si estendono in modo ovvio a funzioni definite su sottoinsiemi di \(R^{N}\), per \(N > 1\). Nel seguito comunque useremo quasi sempre funzioni definite su tutto \(R\), e scriveremo \(L^{p}\) invece di \(L^{p}(R)\), \(C_{b}\) invece di \(C_{b}(R)\), ecc.

Gli spazi lineari \(L^{p}\) sono su \(\mathbb{C}\), ovvero sono chiusi per combinazioni lineari con coefficienti complessi; per tale motivo sono detti spazi di funzioni. Vi sono funzioni che appartengono a tutti gli \(L^{p}\) (ad esempio \(f(x) = e^{-x^{2}}\)), ma nessuno di questi spazi è incluso in un altro.

Spazi e distribuzioni

Gli spazi \(L^{p}\) che utilizzeremo nel seguito saranno soprattutto \(L^{1}\), \(L^{2}\), \(L^{\infty}\). Vi è poi uno spazio più vasto di oggetti, denominati distribuzioni (o funzioni generalizzate), che include non solo le funzioni di \(L^{p}\) ma anche le funzioni impulsive, ovvero le funzioni che contengono masse di Dirac. Nel quadro dell’elettromagnetismo, se una corrente di intensità complessa \(u(t)\) percorre una resistenza \(R\) per \(t \in R\), allora:

\[\int_{R} |u(t)|^{2} \, dt \quad \text{e} \quad \int_{R} |u(t)|^{2} dt\]

rappresentano rispettivamente la potenza istantanea e l’energia totale del segnale. \(L^{2}\) può quindi essere interpretato come lo spazio dei segnali di energia finita.

Norma e prodotto scalare

Per dare una misura della grandezza di ogni funzione degli spazi sopra indicati, si introduce la seguente quantità, detta norma:

\[\|u\|_{L^{p}} = \left( \int_{R} |u(t)|^{p} \, dt \right)^{1/p}, \quad \forall p \geq 1.\]

\[\|u\|_{L^{\infty}} = \inf \{ M \in \mathbb{R} : |u| \leq M \text{ quasi ovunque in } R\},\]

\[\|u\|_{C_{b}} = \sup_{t \in R} |u(t)|, \quad \forall u \in C_{b}(R).\]

La norma generalizza il modulo dei vettori di \(\mathbb{R}^{N}\) e di \(\mathbb{C}^{N}\), e gode di proprietà analoghe. Ad esempio, la norma è non negativa, ed è nulla solo per la funzione nulla; inoltre:

\[\|u + v\|_{L^{p}} \leq \|u\|_{L^{p}} + \|v\|_{L^{p}}, \quad \|\lambda u\|_{L^{p}} = |\lambda| \|u\|_{L^{p}}, \quad \forall u,v \in L^{p}, \forall \lambda \in \mathbb{C}, \forall p \in [1, +\infty].\]

Lo spazio \(L^{2}\) ha anche un’altra particolarità: vi si può introdurre un prodotto scalare:

\[(u, v)_{L^{2}} = \int_{R} u(t) \overline{v(t)} \, dt, \quad \forall u, v \in L^{2}(R).\]

Quindi \((u, u)_{L^{2}} = \|u\|_{L^{2}}^{2}\). Questo non vale per gli altri \(L^{p}\), e nemmeno per \(C_{b}\). Si noti l’analogia con il prodotto scalare di \(\mathbb{C}^{N}\) (e di \(\mathbb{R}^{N}\)).