Spazi di Funzioni

Proprietà degli spazi L, C, R e C

L spazio L ha anche un'altra particolarità: vi si può introdurre un prodotto scalare: ∀u, ∈ ∀λ ∈ ∀p ∈ pv L, C, [1, +∞].

Lo spazio L ha anche un'altra particolarità: vi si può introdurre un prodotto scalare: ∀u, ∈ ∀λ ∈ ∀p ∈ pv L, C, [1, +∞].

Lo spazio L ha anche un'altra particolarità: vi si può introdurre un prodotto scalare: ∀u, ∈ ∀λ ∈ ∀p ∈ pv L, C, [1, +∞].

Lo spazio L ha anche un'altra particolarità: vi si può introdurre un prodotto scalare: ∀u, ∈ ∀λ ∈ ∀p ∈ pv L, C, [1, +∞].

Lo spazio L ha anche un'altra particolarità: vi si può introdurre un prodotto scalare: ∀u, ∈ ∀λ ∈ ∀p ∈ pv L, C, [1, +∞].

Lo spazio L ha anche un'altra particolarità: vi si può introdurre un prodotto scalare: ∀u, ∈ ∀λ ∈ ∀p ∈ pv L, C, [1, +∞].

Lo spazio L ha anche un'altra particolarità: vi si può introdurre un prodotto scalare: ∀u, ∈ ∀λ ∈ ∀p ∈ pv L, C, [1, +∞].

Lo spazio L ha anche un'altra particolarità: vi si può introdurre un prodotto scalare: ∀u, ∈ ∀λ ∈ ∀p ∈ pv L, C, [1, +∞].

Lo spazio L ha anche un'altra particolarità: vi si può introdurre un prodotto scalare: ∀u, ∈ ∀λ ∈ ∀p ∈ pv L, C, [1, +∞].

Lo spazio L ha anche un'altra particolarità: vi si può introdurre un prodotto scalare: ∀u, ∈ ∀λ ∈ ∀p ∈ pv L, C, [1, +∞].

Lo spazio L ha anche un'altra particolarità: vi si può introdurre un prodotto scalare: ∀u, ∈ ∀λ ∈ ∀p ∈ pv L, C, [1, +∞].

Lo spazio L ha anche un'altra particolarità: vi si può introdurre un prodotto scalare: ∀u, ∈ ∀λ ∈ ∀p ∈ pv L, C, [1, +∞].

Lo spazio L ha anche un'altra particolarità: vi si può introdurre un prodotto scalare: ∀u, ∈ ∀λ ∈ ∀p ∈ pv L, C, [1, +∞].

Lo spazio L ha anche un'altra particolarità: vi si può introdurre un prodotto scalare: ∀u, ∈ ∀λ ∈ ∀p ∈ pv L, C, [1, +∞].

Lo spazio L ha anche un'altra particolarità: vi si può introdurre un prodotto scalare: ∀u, ∈ ∀λ ∈ ∀p ∈ pv L, C, [1, +∞].

Lo spazio L ha anche un'altra particolarità: vi si può introdurre un prodotto scalare: ∀u, ∈ ∀λ ∈ ∀p ∈ pv L, C, [1, +∞].

Lo spazio L ha anche un'altra particolarità: vi si può introdurre un prodotto scalare: ∀u, ∈ ∀λ ∈ ∀p ∈ pv L, C, [1, +∞].

Lo spazio L ha anche un'altra particolarità: vi si può introdurre un prodotto scalare: ∀u, ∈ ∀λ ∈ ∀p ∈ pv L, C, [1, +∞].

Lo spazio L ha anche un'altra particolarità: vi si può introdurre un prodotto scalare: ∀u, ∈ ∀λ ∈ ∀p ∈ pv L, C, [1, +∞].

Lo spazio L ha anche un'altra particolarità: vi si può introdurre un prodotto scalare: ∀u, ∈ ∀λ ∈ ∀p ∈ pv L, C, [1, +∞].

Lo spazio L ha anche un'altra particolarità: vi si può introdurre un prodotto scalare: ∀u, ∈ ∀λ ∈ ∀p ∈ pv L, C, [1, +∞].

Lo spazio L ha anche un'altra particolarità: vi si può introdurre un prodotto scalare: ∀u, ∈ ∀λ ∈ ∀p ∈ pv L, C, [1, +∞].

Lo spazio L ha anche un'altra particolarità: vi si può introdurre un prodotto scalare: ∀u, ∈ ∀λ ∈ ∀p ∈ pv L, C, [1, +∞].

Lo spazio L ha anche un'altra particolarità: vi si può introdurre un prodotto scalare: ∀u, ∈ ∀λ ∈ ∀p ∈ pv L, C, [1, +∞].

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Lo spazio L ha anche un'altra particolarità: vi si può introdurre un prodotto scalare: ∀u, ∈ ∀λ ∈ ∀p ∈ pv L, C, [1, +∞].

Lo spazio L ha anche un'altra particolarità: vi si può introdurre un prodotto scalare: ∀u, ∈ ∀λ ∈ ∀p ∈ pv L, C, [1, +∞].

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Lo spazio L ha anche un'altra particolarità: vi si può introdurre un prodotto scalare: ∀u, ∈ ∀λ ∈ ∀p ∈ pv L, C, [1, +∞].

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Lo spazio L ha anche un'altra particolarità: vi si può introdurre un prodotto scalare: ∀u, ∈ ∀λ ∈ ∀p ∈ pv L, C, [1, +∞].

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Lo spazio L ha anche un'altra particolarità: vi si può introdurre un prodotto scalare: ∀u, ∈ ∀λ ∈ ∀p ∈ pv L, C, [1, +∞].

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Lo spazio L ha anche un'altra particolarità: vi si può introdurre un prodotto scalare: ∀u, ∈ ∀λ ∈ ∀p ∈ pv L, C, [1, +∞].

Lo spazio L ha anche un'altra particolarità: vi si può introdurre un prodotto scalare: ∀u, ∈ ∀λ ∈ ∀p ∈ pv L, C, [1, +∞].

Lo spazio L ha anche un'altra particolarità: vi si può introdurre un prodotto scalare: ∀u, ∈ ∀λ ∈ ∀p ∈ pv L, C, [1, +∞].

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Lo spazio L ha anche un'altra particolarità: vi si può introdurre un prodotto scalare: ∀u, ∈ ∀λ ∈ ∀p ∈ pv L, C, [1, +∞].

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Lo spazio L ha anche un'altra particolarità: vi si può introdurre un prodotto scalare: ∀u, ∈ ∀λ ∈ ∀p ∈ pv L, C, [1, +∞].

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Lo spazio L ha anche un'altra particolarità: vi si può introdurre un prodotto scalare: ∀u, ∈ ∀λ ∈ ∀p ∈ pv L, C, [1, +∞].

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non sono altro che delle successioni).→ convoluzione

La Convoluzione. Per ogni coppia di funzioni f, g : R C, si definisce di f eg la funzione −∗ f (t τ )g(τ ) dτ, (1.5)(f g)(t) := R∈per tutti i t R per cui questo integrale ha senso (ovvero esiste finito). (Regola pratica: se laconvoluzione è valutata in t, allora la somma degli argomenti degli integrandi deve valere t.) Ilseguente risultato può essere verificato facilmente.→Per ogni

Proposizione 1.1 f, g, h : R C,∗ ∗ ∗se ha senso,f g = g f f g (1.6)∗ ∗ ∗ ∗ se tutte queste convoluzioni hanno senso.(f g) h = f (g h) (1.7)∈→ (t) := g(−t) per ogni t R,Si noti anche che per ogni f, g, h : R C, posto g − ∗ ∗(f g)(t) h(t) dt = f (t) g(τ ) h(t + τ ) dτ dt = f (t) (g h)(t) dt, (1.8)−2R R R ∗(f g)(t) dt = f (t) dt g(t) dt, (1.9)R R Rnon appena gli integrali scritti abbiano senso.Alcuni

Spazi di Funzioni 3−1∞Ponendo si ha:Proposizione 1.2 := 0,−1 −1 −1∈ ∗ ⊂p q r(i) per ogni se allora . Più precisamentep, q, r [1, +∞], p + q = 1 + r L L L∈ ∈ ⇒ ∗ ∈ ∗ ≤p q rf L , g L f g L , f g f g ; (1.10)r p qL L L−1 −1 · ⊂∈ 1p qallora . Più precisamente(ii) per ogni se + q = 1 L L Lp, q [1, +∞], p ∈ ∈ ⇒ ∈ ≤1p qf L , g L f g L , f (t)g(t) dt f g . (1.11)p qL LRQuindi in particolare ∞∗ ⊂ ∀p, ∗ ⊂ · ⊂1 2 2 2 2 1p pL L L L L L , L L L . (1.12)Inoltre, indipendentemente da quest’ultima Proposizione, si verifica facilmente che∞ · ⊂ ∀p.p pL L L ∗funzioneSi noti anche che l’impulso unitario g = δ è l’unica tale che f g = f per ogni∈ pf L (per ogni p). Comunque, δ non è una funzione definita puntualmente, ma una

funzionegeneralizzata; quindi questo richiederebbe un’estensione (peraltro abbastanza naturale) delladefinizione di convoluzione. −1 −1 −1∈Per ogni tali che ,

Proposizione 1.3 p, q, r [1, +∞] p + q = 1 + r∈ ∈ ⇒ ∗ ∗p q rf, Df L , g L D(f g) = (Df ) g (∈ L ). (1.13)(Qui D sta per l’operatore di derivazione.) Applicando ripetutamente questo risultato, si∈ottiene che, per ogni n N, ∈ ∈ ⇒ ∗ ∗n p q n n rf L , g L D (f g) = (D f ) g (∈ L ). (1.14)f, Df, ..., DIncidentalmente osserviamo che anche per la convoluzione vale la regola di annullamentodel prodotto, secondo quanto afferma il seguente teorema, di dimostrazione non banale.→ ∗ ∗+ tali che ha senso. Se si(Titchmarsh) Siano C f g f gProposizione 1.4 f, g : R+annulla identicamente in , allora lo stesso vale per o per (o per entrambe).R f g∈ ≤* Spazi di Successioni. Per ogni x R, sia m(x) il più

grande intero x; questo ovviamente}→ {u (a valori complessi) puòdefinisce una funzione m : R Z. Ogni successione U := n n∈Zessere pensata come un vettore ad infinite componenti. Ad esso si può associare la funzione∈ ∈f (x) := u(m(x)) per ogni x R, che è costante in ogni intervallo [n, n + 1[ (n Z). QuestoUconsente di estendere le precedenti definizioni alle successioni.∈ {U {u }p p pPer ogni p [1, +∞], si indicano con i corrispondenti spazi L ; ovvero = := :n∈ }.pf L QuindiU 1/p{{u } |u | {u } |u |p p p:= : < +∞}, := pn n n nn∈Z n∈Z (1.15)∀{u } ∈ ∀p ∈p , [1, +∞[,n4 Metodi Matematici per TLC – aa 2002-03 – A. Visintin∞ →:= spazio delle successioni Z C limitate, (1.16)∞} |u | ∀{u } ∈{u := sup .∞n n nn∈Z p . Comunque, a differenza diA questi spazi si estendono tutte le considerazioni viste per gli Lpquanto succede per gli spazi L

∞⊂ ⊂ ∀p ∈]1,1 p +∞[,poiché } |u | ⇒ {u } |u |{u p p= < +∞ = < +∞,1n n n n pn∈Z n∈Zed ogni successione sommabile è limitata.convoluzione per successioni:Si introduce anche una ∀n ∈ ∀U {u }, ∀V {v }∗ := u v Z, := := , (1.17)(U V )n n−m m n nm∈Zse questa serie converge per ogni n. Le Proposizioni 1.1 e 1.2 si estendono allora facilmente allesuccessioni. funzionaleFunzionali ed Operatori. Si dice una trasformazione che manda funzioni inoperatorenumeri; si dice una trasformazione che manda funzioni in funzioni. Ad esempio,l’integrazione definita è un funzionale; l’integrazione indefinita e la derivazione sono operatori.∈ →p q pSiano p, q [1, +∞] e sia A : L L un operatore che trasforma funzioni di L in funzioniq stabiledi L . Si dice che A è se e solo se esiste una costante C > 0 tale che≤ ∀u ∈ pC u L . (1.18)Au q pL L2 *

L'integrale di Lebesgue è utilizzato sistematicamente in questo corso; ad esempio, nella definizione degli spazi L gli integrali sono da intendersi nel senso di Lebesgue. Nei corsi di analisi si è introdotto l'integrale di Riemann, e si è visto che questo esiste finito per integrandi continui e limitati definiti su un insieme limitato (oltre che per altre funzioni). Si è poi esteso questo integrale, giungendo a definire il cosiddetto integrale generalizzato per funzioni illimitate su un insieme limitato, o limitate su un insieme illimitato. Per un gran numero di funzioni l'integrale di Lebesgue coincide con il consueto integrale di Riemann (o con quello generalizzato), ed infatti si utilizza la stessa notazione per entrambi gli integrali. Qui ci limiteremo ad accennare a due aspetti della teoria di Lebesgue. Insiemi Trascurabili. intervallo -dimensionale (i) Preliminarmente, denominiamo N ogni intervallo per N = 1, ogni rettangolo per N = 2,

Ogni paralelepipedo per N = 3. Per questi insiemi diciamo misura N-dimensionale la lunghezza per N = 1, l'area per N = 2, il volume per N = 3. La teoria della misura di Lebesgue estende la misura N-dimensionale ad insiemi più generali. Qui ci accontentiamo di dire che un insieme A R ha misura N-dimensionale trascurabile nulla, ovvero è (in R), se e solo se:

"per ogni ε > 0, A è contenuto nell'unione di un opportuno insieme finito o di una successione di intervalli N-dimensionali, la somma delle cui misure N-dimensionali è ε."

Ad esempio per N = 1, l'unione degli elementi di una successione di punti è trascurabile. Comunque "c'è infinito ed infinito": non tutti i sottoinsiemi infiniti di R si possono rappresentare come successioni; ad esempio questo non vale per i punti di un intervallo (insieme che pertanto non è trascurabile). - Si può mostrare che ogni

unione finita e ogni successione di intervalli (N 1)-dimensionali (punti per N = 1) ha misura N-dimensionale nulla. Per contro, ogni palla di R ha misura N-dimensionale non nulla. Vale poi una regola del tutto naturale: ogni sottoinsieme di un insieme trascurabile è esso pure trascurabile; pertanto ogni soprainsieme di un insieme nontrascurabile non è trascurabile. ∈ NSe una proprietà vale per ogni punto x A (⊂ R), ad eccezione al più dei punti di un∈quasi per ogni quasi ovunque quasiinsieme trascurabile, si dice che vale x A, o che vale (odappertutto) in A. ⊂ NL’integrale di Lebesgue di una funzione definita su un insieme A R non muta se simodifica l’integrando in un sottoinsieme trascurabile di A (il che giustifica il termine adottato).→Si noti come sia naturale che l’integrale di una funzione f : R → R non risenta del comporta-magromento dell’integrando in un insieme tanto quanto un’unione finita di punti. Comunquechequesto valga anche per una successione infinita di punti è meno intuitivo.
Assoluta Integrabilità.
(ii) Perché una funzione sia integrabile secondo Lebesgue, non si richiede né che sia limitata, né che sia definita su un insieme limitato. Per contro, ogni funzione integrabile secondo Lebesgue è necessariamente assolutamente integrabile secondo Lebesgue; ovvero:
∫ |u(t)| dt esiste finito. (2.1)
Questa implicazione non vale per l'integrale generalizzato di Riemann. (Si noti che invece l'implicazione inversa della (2.1) vale per entrambi gli integrali, sotto opportune ipotesi di regolarità.) Ad esempio, la funzione t sinc(t) := sin(πt)/πt è integrabile su R nel senso generalizzato di Riemann, ma non secondo Lebesgue, poiché ∫ sinc(t) dt = +∞.
Questa differenza è analoga a quella tra serie assolutamente convergenti e serie semplicemente convergenti: l'integrale di Lebesgue converge assolutamente, mentre

quello generalizzato di Riemann può convergere anche solo s