SPAZI FUNZIONALI Sapa
2022
IB
le in da
in
modo modo
usate
estendere suspazi euclidei poterle
astratto
def
vogliano
anche
usare codimensionali
per
spazi
del F è 2 a
isienecon chiuso
su operazioni
Peja un un rispetto
campo
f dello vettori
elemento spazio
E V
E V
Tti
ciò E f
di
2 di scolari
elementi
moltiplicazione di EV
KEEV
DEF È
di è d neutro
associativa
vettori commutativa
sonno e inverso
o
def
sul
è distributiva con
prodotto
di
diritti dà DEF
no neutro
elemento prodotto
e un
esempio R
f reale
se vento
sp
f a un complesso
deg
Wer di se scolari
moltipi
soma e
chiuso per
risp a
sottospazio
del Eh k
anti
se anco
n che
k n
o rei
implica
li
vettori ma i.in sono
con anni LI
se con arto
o
invece sono
qualche
del E
di è
velt.LI più
detto se
mese
un ogni me un
un
insieme contiene
insieme
l'D
altro è
vettore
in qualsiasi
Eun è diV
chiamata Dese
esempio diIR è 1
base e 0,0
canonica I
la 0,1
lo 1
en EV
ri
data base in
oss coordin componenti
una scrivere qualsiasi o
posso
Eventi
E NEF
con di
le
è basi
se hanno vettori
io finito
n o tutte
può finito nu
essere
dimensione
esempio
Pien
dim
dia
Chen E an
ding
esempio
di a dimensionali
sp sp
finzioni
dei reali dellavar reale
colf
insieme se
compl compl
e
polinomi
condizioni 1
2 di
è delle
vettoriali che
astratti strutture
spazi
Sugli definire
permettono
possibileaggiungere lughezza
limite in modo
distanza astratto
continuità
del 19
di fa
7 le ben
distanza proprietà
metrica con
o mappe
di
d'a
b b a
dla ab
b ad
io sala.dk
di
dlab b CEM
c
del
tuo lett è metrico
metrica
dove è mo
una
sp definire sp
possibile
esempio d
d
6 la
in estendo Hermitiana
euclidea con
piglia
dit El
à Ni
Ni
con
e
def di
X X
di
E
di che
è una x
insieme o deve
stesso
un e
e
collezione sottoinsiemi contiene
Topologia
esteretniuso di
ad
di unioni
arbitrario
finito
risp intersez mero
a mero e
un un
T
OE
cioè XE E
Vi Vi
ET Avan NU E T
Va
Va tt a fruito a
o
con
Gli di te
den sono aperti
insiemi
gli
osservazione
la èmica
topol non
th la
è
es aperti
insiemi
su degli
topolog Vi
EIR IAx
vi te
T EVi la sete
E
7 E o
anche
ne definire
posso 33
40 R la 1 KEIR
t a
o 2
è in
l'intern 0,1 non aperto usando
è metrica
intuitivo
metrici introdurre
sp
sugli ma topolog
del di EM
iper centrata li
e
sfera
o a
aperta raggio
I DEMI dla
Blair b e
del Biao
I
X fa nicX
èaperta
M X
se E
sottoinsieme
ogni
osservazione la
bastadefinire
è tramite
metrico balls
sp degli
sp aperti
ogni mo topologia open
topologico
del il
m è
suo
se compl aperto
insieme chiuso
osservazione di limite
di di
metrica
esistenza una
definire successione
me permette
topologi
E In te
and teso Knin
E
EM dlan.at
ed se
a
converge
IR dlanin
limite
i o
oppure plug
serie
Oss parziali
corn some
con succ It ii
i di
pt più insiemechiuso
suoi
insieme chiuso contiene accumulazione piccolo
un
oss che è sì di
chiusura
contiene detto se
se
def E_Y
Y
in la
in
Z è fuso se sua
insieme chiusura
del E
Lu k Ck
in and he
X ad
epato
insieme sp ma
metrico
mo soca sottosocc
ogni
K
di
elemento
un
a
converge
def f Y
i
DX di
X tra la
è
ma due aperto
se
continua
spazi ogni
mappa topologici controimagine
Isso
teso te dise
dille s
E no
fisco se
sfereaperte
ILLI
del te
tre di
te kn.ms
Cowley sentee
teso ha
Esens o si
ne sen
è di in metrico
ogni sp
soca mo
cauchy
converg
dimostrazione
d 3
Ex In
den dlsen.se dato
dlsem.se te
e che
sen se
ma o
e
converge
dlsen.nl kn.ms
Esea
te vale
sia che
stesso
nano per com e
per o
se
d E
E
sen E E
sen
del di
in
empietà le
cui
salience sono
successioni
spazio Cauchy convergenti
NORMATI
SPAZI
del V AIR
Il
è V
di 11
E
norma che
vettoriale
vettore sp una mappa soddisfa
un
F Ad
EV
E In
eco
e ri
tiriIl
Ell
Il o
1 un
so
positività 0
e
drill
Il I il
111
2 IÙ
3 WII NEI
diso thrill
E
triang
del vet nome se
sp normata
con
corollario dire liti
dato
nomoto till
è io
sp me
nemico
sp definire
uno posso E è
La line il
si
normato O
può usare
in mo sp
converg no
esempio 19 all
Iselle
normato
insieme risp
l
Hill
II
So Gv
little E trai
vii
nose
usati f
dalla topologiametrica
aperti
gli sono
B Iii nè till
r
di Iii
disco centrato
2 raggio
Balù lato
me
quadrato centrato a
r e
la il
Sono stessa
ma esattamente
differenti definisce
perché quadrato
definiscono ogni
topologia
lo
che
contenuto
cerchio contiene
o
del
Izis tra normati biunivoca
è
sp una mappa
Il
Ila
f Il Y Ily
x la
la cioè
shut
che norma
Lineare e
preserva
dì tuit DI
Il tuflui
E d
EX
Nilla
Juilly Ef
Kia
Il µ
e
esempio dim
k
ciel cui
Gunz di su
delle a definire
su
continue mett
sp
un possiamo
insieme compatto
la norma superiore
Il
flop Isbell
Ifa
osservazione
tramite Il llsupdefin.it di uniforme
concetto convergenza
del flat
I iii Cal
In o
gn Er
naso griglia 0
oss ma
D
uniforme puntuale
esempio Ctrl
Luz ci
Coi
su
continue R
compatto
Il Il ll'all
2
definiamo nome sup sorse lo
e
Li de
fil
Il Ilse
nona 1 Il Il ll
si dimostra che 111
co u
converg
converg gialle
I
flat
Il
f
Il
Si gli
da fgli Ste
are
vede ghe
o sup
sup atto
f gli
Il spii
E
f gli
cioè ao
le
Ha la In
2 nonsono
nome considero sicc
equivalenti
È
calcoliamo
Il IL
falli da I
là
a i L
_I tent tanta non
invece
ha l'Indo Intel 1 1
là int
se
noo dono 4
Inoltre distanza
concetto di
anche k
è
flat 0 set ao
ao
g a da Fette
flatgialli
Il e
invece o
gi
III
SpazaiBaach vent e
normato completo
spazio Il
Clk
IR Il
Luz di con
Banach
so
continue sono
sp sup
compatto 11 opera
def di è
interno su
o vettoriale
scovare una
uno complesso
spazio mappa
prodotto TV
Tab a
ù il
lei
ù
che soddisfa di
ii dici KAME
ri mirini
1 tutt
linearità Lui
è.ci son
hermiticità asimetria
2 là il è
il
E
3 Positività ed
0 O
so
la 2 nel
anti 10argon
linearità
implica
osservazione I irti
ai turisti ìl
è
ti
del è
mo di hilbert
vett detto
dotato pre
sp suonare
prodotto VIVI
IIII
è si
dato
normato
sp può
che
mo
osservazione scuole
definire
il là
il
di iii là ri
a
dis
la e
Schwarz
scalare soddisfa
prod
dimostrazione io Iii
0
del ieri
tra
ci
d te
pe
prendiamo Arg angolo
li dii
Dalla di
3
di abbiano
cond n so
positività
invii
ciò EEE
Cutie
i p
ma p
significa
0 intrisi
vini viri ha
Ma
dato che e
Arg
Inte Iii
pacea III O
tap
è dato
l'alto lui
che a
vs
una concavità
con
parabola so per
quindi poter
a p
devo avere
intersecare origine
A 12
lì ci iscritti
E eo
g ac
Spazi finito
Hilbert
di dimensionali 11 2022
am
del
Spetilbet di
dotato prodscalare
vettoriale
sp completo
e
esempi E
IR iii it
euclideo
sp vieni
animi
e ri
ri
hermitiana
sp
del iin
due se
vette
sono O
ortogonali
osservazione LI
2 infattise
vette
ortogonali
sono più
il
alè
lì
di Bri
ai
Bù a
ha
si o
O lì
lo ho
stesso B
faccio e
per o ov'tout
in
Bù
di è realtà
quindi
osservazione cit
dem kij
di Sig
gli base sono
una ortonormale n
È Evren
Si ri
è
ha 1 un
inoltre con
ùù cei.it
E
2 vnwa
là e
Ioni di
Krill identità
3 Parseval
E
osservazione It è
di base ortonormale
Hilbert
sp dimensionale costruire
finito una
Ogni a
possibile
sempre
base
da
partire qualsiasi
dimostrazione ii di ii
Dato
di Smith
Gran può
scrivere
si in come
riferimento
ortogonalizz generico
reni
1
è è
IIII pt
v an
parte e
è tile tinte
si
_è
quindi e con
procede
definiamo It
tin utile
K lei
tin
er
il vettore con
esimo
definire come
posso gg
SPAZI DI INFINITO
HILBERT DIMENSIONALI
Ci denso contabile
cioème è
hanno me
separabili
concentriamo sp in
sugli sottoinsieme
KEN
Eè
il 3 di it è
set in Hilbert
che
Diciamo uno un
infinitodimensionale
con sistema
spazio
lei è EN
Si Kij
se
ortonormale FI
ri viè è v1
ti te
se vi
si vie
inoltre può
scrivere con
il Ects
allora è
sistema un'tudou.FI di Hilbert
se è
elementi
la ciò
dibase
abbiano usando possibile
a perché
osserva nozione
generalizzato di limite
abbiano la nozione
È è
tu Vi
non E ci è il
la vi
11
o O
usando norma piu
del Fi
E è dirt
suffer vi
è i
chiamata sono
è
l'espansione coeff
Ling
di
detti Fourier
coeff
teorema E
la 1
SÈ
ci di
serie a
ai converge converge
dimostrazione
ma la delle
sane
serie consideriamo
succ parziali
se
converge
converge
È È tail
è Yn
sei di
ha
si
man
per Ìn
El di
Eni fi
è l
sei Eri
il lait
Il aie
set di
aie Eni In
ai su
leggi
la di certo
è In
è
sen Coway
succ
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Dato di
che è sua
completo Caucus
ogni converg
osservazione
nel dimensionale
caso finito
come io
ti
è
1 o
ci E KE
EH
11
2 INK Età
ìn
Kristi ev
3 ha
si un
1
esempio E E
di 12nF
nevi tali co
end che
successioni uno
con sp
esse formano
complessi EE
di Eni
il
Hibert suonare
con we
prod 4 4
l il di
tale è limite
su n
sichiama Intuitivamente an
per
dimostrazione che
per l 4 deve
mostrare è vettoriale avere
mo sp
Kaine
di Khin E
uni ee e e
ler IaiaIbl
1h14
lobi e a 4
Mose e
usando È Elvil twit
Invituwil alla
ha lui io
e
si anti 1
è Linear
che lineare
abbiamo vettoriale
uno spazio
quindi argomentoseguefacilmente
il ben
faccio che
vedere è
prodscalare definito
È
È Iri
SI da
Iii b
dove
in lato
E Wi
twi
wi I ii
è el
è
l ni
la el
ha
chevale si
Ma linearità se
visto che
per
E l
Ev
Lui l è 3
che è è
se
Questo perché ri ri
ha
allora si co
L co o
il scal è ben definito e
prod converge È Etna
3 3 l
far è
me
vedere E
completo considero
Devo E IEk
llà l
Il
È
dato che kik
Enne se so
kn KEN
Enel di E
è u con
Cauchy
E Etna
3
la
Datoche Kon
tu
a per
succ
completo converge
là 11
E
è no
ans ha le
si
e quando co
definiamo e
in
tu dato
z che
nonna
quindi a
converge
e Effetti
È l
El di
Quindi è
la e
succ Candy sono
con completo
percio Fi
il11
e è si
sp può definire
completo perché
2
esempio If
PUR to
l
Più 4 e
Isen
e o p
E
1
in Paco
gli con co
spazi a fissato
generale di
dotati Banach
di
solamente norma quindisono
sono sp
osservazione
Si perle
di
la
utilizzando Minkowski
può dimostrare serie
disugueg
È P P
II
Eilsen un
lantyn
3
esempio l
IR 4 di
o Banach di
e da
gli limitate dotati
sono
spari norma
e
sp formati success sup
Isen a
sup
aneto 2
sen
per esempio 11 E ben
an311
la
con nonna sup
ne a ma
m
il di è sudi
dimens
di
scalare so
tipico di
Hilbert
sp co
prod quello funzioni
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b
intervallo a con
flatgirl
da
II g
la E in
vista
rientra
norma già categoria
questa le
di int
di di
Tuttavia nei diff Riemann
vediamo sue
entrare
prima con
e
dettagli integrale Lebesgue
I
Sei diRien la
l'int è Gent
è
n
il
già no quando
lime è intega
ggjgiti.sc
itifugifittongpazione
ma nausea sen
sul
la X
misura suo
Il di
è la è
cruciale contro
che unintervallo intervallo
necessaria
non
immagine
punto un
4
esempio Talal
la 1911
sto Ita 10,1
I del
non
riemann
Leb O
I Xa 9.0 IR
è
cioè nulla Si
LI 1
SPAZIO 2022
120Pa
CIR a
di 1
su o
Spazio con norma
definite insieme
funzioni Integrabili
Lebesgue
IIII da
w
18121 o
se finita
Tisura
li 11 di
Banach
sono sp
questi spazi
osservazione L
Lo Ifla
da whales
bi
delle cioè
continue intervallo
so con
a
un norme
sp funzioni
di è
è Banach non
non completo Clab
di fa
ta
fut dice fila
bi si
Intel
Consideriamo su
e che
una continue
funzioni
succ
te I te
no
non o
se
quando da
al
Ifn
Illi un
Jbel E no
Ign E
la Si
se i
consideriamo i
succ
ma iii le
1E
false o se i
1
e k
al
11k
1 EA
Ex
la L
tra
dist della è
due norma
membri in
success allora
di
la è k.ca
se
false co
successione perché
quindi Cauchy
fa Il
Il f E la
il la
fa se
tuttavia orati
limite fa i sego
se C
4,1 C 4,1
felt
è C1,1 è
flat su
ne non
non continua qundi completo
pertanto
L
in norma
osservazione Li di
Se 1 la
Banach dis
sia dobbiamo
me linearità positività triangolare
voglio provare
L'u
nella norma
la da
la dis
Lin si mostrano
e facilmente integrali
propr
triang
Il la
&
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