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Spazi vettoriali e operatori lineari

Xda volelinearisp anch'esso vettdegli eoperatori complessounoe spazioeAa maAa AlA6 lineariCu km EAima ea maaai seµ op HdiXEndX YY èdisi chiamaQuesto isomorfospazio endomorfismo eXIdimle dumatrici Maty e nnemin mmconSPAZI DUALIdel dialetX 4 settde associalin valorea vettorialeGuai ae unsoopdello X XLin dispietutti siidi sichiamasuvettorialesp efunzionariindica XconosservazioneEni Ente33 da Xdm7 habase X X Xsibase cheX e esumasu4 isomorfisonoosservazione daXse èset cheè colonna necessariovettore perrappresentato prodottoInEX sti deicolonnamatrice x vettore complconiugieseD un rigadella SingSi ha che elementi base migli donoinoltrevolta X ilche scalareprodammetteogni dei èL'insieme alineari sua volta vettorialefunzionali spunoX IXEnd Mat 1isomorfo naosservazioneSe 4 di lineare Xè tramitefatHilbert associatosp definire un funzionalepossiamodata set ex1sese 2 nex l3E serbaseSe ortonormale trovo seer sera seespando rispettosire è ser

eriERdaquindi K linearedelKesimo dil'elemento XfunzionaleOPERAI AGGIUNTOdef It HilbertdiA definiamodato aperareggiutasuA che soddisfaoperatorecomeAtw EHKAvo NNwSe A chesiA lamatriceèbase ortonormale so D eunaunascegliamo Av AAjè ij niesimai i Njcomponente AtAtw èAtw Atijugallo imodo v equindistesso wjAtv AitAv niwia ÀAtledue trovoespressioniuguagliandoTeA AtAt Aproprietà AD_ AABIT BAFB A EVAAt ELA ABIT F B BEFB AI HERMITIANIOPERATORI AGGIUNTIAUTO Odel ATAA AtwAv fu.netè cioèse oaltaggine wsedef AtA Aantiè hero seosservazione AtA AT ATSe ATA Aalloraè reale quindiAT A Adire èvuole cioèche simmetricoUNITARIOPERdel iUtunitari invertibili ueop IT'aggiute Ut Oout Uuall'inverso cioèuguale quindiosservazione leunitari scalari eop prod normepreservano quindiCa OwlUwUw UUtow Crewv inItdisono quindi se stessoisomorfismiTeoremamitari basibasi inop autonomeautonomenappanodimostrazione lei3H lidata

eE siVijdi ha dij Ujkenbase eeci definita eiil Sjlei eej.ge1esempio 112rotazioni matricisulpiano ortogonali siGggunitaria2esempio Vieil bnot unitaria 22 piùcomplessa epossibilegenerale I edettebda 1due1 9Reale complessi a madipende eparametroAL B 1DTEORIA 23SPETTRALE 2022magLa diteoria Hilbertstudia sue lineariautovettoriautovalori degli operatorispettrale spaziil dimensionale algebralinearefinitocaso il dimastudiano casodel An dudeA aX ilX A xadisiDato te ntodice cuivalgameaere perconnumerodel A Adil'insieme OCAindicacondiè siautovalori dettodegli esenzodeg dute Anx sinegli minano autovettoriosservazione dimai linearegli unici piùdueriscalarciautovettori non meoosono combinazione autovettoriprendere napossosempreallo trovare un autovettoriautovalore e nuovostessocorrispondonoA Atua Ama LymeaGuyana i ioss autovettori autovalori sonodiversiacorrispondedel 1La adautovaloreassociatidegli autovettorispanautospazioLa tumex An è vettorialeuno spaziosi

trovanocome X x3dmcX havolta sibasetrovata nsiuna con manipolaresu ama puòisomorfo e caan tu fà'è Ilsistema dilineare n in n incogniteequazioni 1Aha IIIdet diè inad poiosoluzione caratteristicoun polinomio ngradoequazionequestaPa d CA 1 Ildel ha4il si n soluzo di npoi esattamenteper fonditeorema in gradodell'algebraconloro molteplicità luiSe iti XamEnistra 1 dilorome siano autore n basegli diversi determinano sonomaassumiamo autovalori conA Amatibasecon questa dev'operatorediagonalizzataPa d haautovalconQuando sinvece molteplicità111 1Pa coiinordine nonzerodello maalgebricadim lad dmla cit2 auto moltsparo sa massociato geomericadegmaCal erigerese 1 Dosservazione Chenil E dmtear na xper fond dev'algebra 1mech mgd anchPerò none sonorecess ugualicold1amin enmageneraleteorema 7 suAad maa si basedice ia sipuòcuimacos tornascrivere diagonalediagonalizzabiledimostrazioneSeti fimoltiltimoltiHis s die quindimg mgAgiain

Formattazione del testo

base micasoquesto diagonalizzabileAAmat u natsiscrive conma unitariadiegodiagonale A7 colse a duecioè nightsimainvece eseautovalorialmeno ancoracoincidenti mediagonalizzarepossolui daindevotrovarenuoviquindi vettori autospazio EChi3 sxdm da di5 X3 un.usunansbaseeper esempio A Isfso sibase scriveu comeautovettoridegli ELai mila 33allora sui matrovandoe matrice base usma nuovasottosp ma.msdiagonalizzareoperarepossodi menodo dj Adi dimase èinvece noning diagonalizzabileesempioA g vogliodiagonalizzg IIIPaCH A 1A ttodet det 1godidi 4i due Cheautovalori 20 matu tuèL'auto 0associato usospazio fydm lo coe 1 1 ma 2omgI diA sicuibase insu scrivere formana ogpossaPER unitarispettraleTEOREMA Operatori Hernitiani oteorema APer ItsiHermitianaopere vengonoA1 sonorealiAntona A ad2 di associati sonoAutoven autovalori ortogonalibaseCopportanamnomalizzati3 ma ortonormaleformanodimostrazione tuAnAdi si naprendo autovett Ad tu tuTim.nl Atul don.nlcnn.nl Amin1 n udèa autoag

In Anal da nellud Annadicui mi2 nnanaenau miscriviamoeprendo dimild midaIn didelluiho cu da unasena sonoooquindi ortogonalidi nelda cuise sonoo ortogonali di3 nelPer diversi ci23 chebasetrovare casou per poisonouso risconomostrare eortonormale con perortogonalila loro nonna II11 Itse ti sedi ditutti distintii unconcettonon sono comesottospaziocomplemento ortogonale3f disessa metti 7in.si tuoquindi il devecidicecheo fond autovalore conalmeno midev'algebraèautorea amenoassociato ua autovettorenmolteplicità questo Idadello uautore cioènsp spennatoprendocompi ortogonaleI EHdmè Hilbertdi imo nsp idimensioneI NEI AVEAAè a cioèseall'azioneinvarianterispetto ÌAnal EAv Auvinfatti quindidifenile It À7A se èilallora alloraad Asui ePosso èariano hermitianahermitiananuovoagire operatoresottosprestringereil Pacilio diè noicaratteristicosuo polinomiopolinomio gradoÈdm in 2teorema AmeIn unitariomodo persi

valgonoanalogo puòprovarede 11141 1maautovalori concomplessiI base3 ortonormale costruita autovettoridaglidi 1dimostrazioneAntse v1dalCvv1 111Aw 1112Uv 1112Uv 11 cioèDoosservazione ed AAT ATAdiunitarihermitiani unastessaclasseoperata normalioperatorisempreappartengonotali dibase quindisonoena autovettoperatori ammettonosempre diagonalizzDiFunzioni OperatoriDati AiAa X Xdue lineari defsp saunaevettoroperatori prodottopossiamoArlo ArvKane eXtv Arte a ata aa IANIAALIN AI È Pr AanziX edi tramite1sepolinomi conquindi operatoridefinire all'operatoreapplicandopossoSI APrCal A Ea

Dettagli
Publisher
rebecca.novara
A.A. 2022-2023
79 pagine
SSD Scienze matematiche e informatiche MAT/07 Fisica matematica
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher rebecca.novara di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica per la fisica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi di Milano - Bicocca o del prof Alioli Simone.