Soluzioni esercizi Moodle Elettrotecnica

CC 170712

Es 1

• Generatore equivalente:

Spengo E₁ e J

Req = R₄ + (R₁+R₂)//R₃ =

= R₄ + (R₄+R₂) R₃ / R₄+R₂+R₃ = 15 + (20+10)30 / 20+10+30 = 30 Ω

E_eq è tensione in R₃ e si trova per sovrapposizione degli effetti

E₁ spento

I₂₃ = J R₁ / R₁+R₂+R₃ = J 10 / 30

V_B-V_AB = R₃ I₂₃ = 30 x 10 / 3 = 100V

J spento

V_B-V_AB^'' = E₁ R₃ / R₁+R₂+R₃ = 50V

V_AB = V_AB^'' + V_AB^' = 150V

Es 1

. Generatore equivalente:

Spengo E₁ e J

Req = R₄ + (R₁ + R₂)//R₃ =

= R₄ + (R₄ + R₂) R₃ / (R₄ + R₂ + R₃) = 15 + (20 + 10) 30 / (20 + 10 + 30) = 30 Ω

E_eq e tensione in R₃ e si trova per sovrapposizione degli effetti

_{E1 spento}

I₂₃ = J · R₁ / (R₁ + R₂ + R₃) = J · 20 / 3

V₃ - V_AB = R₃ I₂₃ = 30 · 10 / 3 = 100 V

_{J spento}

V₃ - V_AB ^'' = E₁ R₃ / (R₁ + R₂ + R₃) = 50 V

V_AB = V_AB ^'' + V_AB ^''' = 150 V

Req = 30 Ω

E_eq = 150 V

• Valore di Rx

P_Rx = V_tRx = R (E_eq² / (R_eq + Rx)²)

• P max è tale che dP_x / dRx = 0

dP_x / dRx = E_eq²(R_eq + Rx)² - 2R_x(R_eq + Rx)E_eq² / (R_eq + Rx)⁴ = 0 =

R_eq + Rx - 2R_x = 0 ⇒ R_eq = Rx = 30Ω

• Potenza uscente da E_s

LKT E_eq = V_u + V_s + E_s

Da cui E_eq - E_s = (R_t + R_s)I

I = (E_eq - E_s) / (R_t + R_s) = 2A

P_s = V.I = E_s.I = -50.2 = -100W [negativo perché scorre contro il generatore G_s]

E_S 2:

• X_c1 = 1 / ωc = 1 / 2.50⋅π.1.582⋅10^-5 = 20
• Ī = 20ej^{(π/2 + π/2)}
• Ī = 20 / √2 e^jπ/2 = 20 / √2
• Ē_c1 = -20β = Ē_c2

• Con interruttore chiuso:

Ē_c2 = 1 / (1 / Ē + 1 / R_z) = 4 - 8j

V̂_c2 = Û_c2 + VR = Z_Cc2•J = 80UR + 40US

Vc1 = V_{(80√2)/(cos1Ωt)}cos1Ωt

Vc2 = arctan( 6Ω/5)

V_φ(0) = 80 V

V_RM = P_U ÷ J = 200:2Ωs = 600/V_{2 Ωs}

Con interruttore aperto:

Trovare equazione del circuito:

LKC in A: J = i₂ + i_c

J = ^V₂/_R2 + C₂ ^dVC₁(t)/_dt = 0

Trovo l’omonogena cioè con J sparato:

¹/_R2 + Cs = 0 => s = ^-1/_R2C2 = -3/1.5

VC omogenea = A e_3t²

Trova la particolare:

Z_xor = ^{Z_or × (0-10₈)}/_{Zor + R2} => V_Zor = Z_xorJ = ^200_4/_V2(5)

V_c2 = N² ( ²⁰⁰/_√2 ) = 200

< V_cz = arctan 1 = pi

V_c# = 200√2 sin(ωt + π/²) => V_c2(0) = 200

Trovare A:

80 = A + 200; A = –120

[ V_c3(t = 2 ) = A e_3 + 200 ]

V_c2(t)=-120e^-3t/4+200U2sin(wt+π/4)

V_AB(t)=V₂-V_c1 = -120e^-3t/4+200U2sin(wt+π/4) - 60U2sin(wt+0.68)

Esame 23/08/12

E₁

e₁(t)=V₂E₁sin(wt) ⇒ Fasore Ē = (V_RE^j0/V₂) e^j0 = Ē₁

e₂(t)=V₂E₂sin(wt) ⇒ Ē₂=Ē₂

X_L1=wL1=2⋅50⋅π⋅0.006366=2 ⇒ _jZ_L1=2j

X_L3=10 ⇒ Z_L3=10j

X_C2=-1/wC = -8 ⇒ Ē_C2 = -8j

Ē₁=R₁+jX_L1=6+2j

Ē₂=R₂+5X_C=6-8j

Ē₃=R₃+jX_L3=10+10j

Per sovrapposizione degli effetti:

E₂ spento: il circuito diventa

Z_eq=Z₂+(Z₁//Z₃)=Z₂+ (Z₃/(Z₁+Z₃))

Z_eq=8-5j

Ē₁'= (E₂//Z_eq)= (50/8-5j) = (4+3j)

I_A= (V₁/Z₄)

Trovo V₁ = I_E("(Z₁//Z₃))=10+20j

Quindi V̅_i = 10 + 20J

I̅_t = V̅_i/_z = 5/2 + 5/2J

E_spento:

I̅_t = E_i/Ẑ_tot = 7 + 5J

Analogamente I̅_b2 = V̅_i/Ẑ_b2 = 5 + 5J

Con U₂ = I_e1 (Ẑ₂/Ẑ₃)= 60 - 20J

I̅_e1 = I_e1 - I_e1 = 7 + 5 - 5/2 - 5/2J = 3/2 - 3/2J

[-] Negativo perché con E spento somma nell'altro verso

Analogamente I̅_e2 = I_e2 - I_e2 = (4 + 3J) - 5/2 - 5/2J = 1 - 2J

Potenza:

Ŝ_I = E_i I̅_a^{^} = 100 · (4,5 + 1,5J) = 650 + 450J

Ŝ₂ = E₂ I̅_e2^{^} = 50 · (1 + 2J) = -50 + 100J

Complesso coniugato

Riescrivo fasori delle correnti in reali funzioni del tempo:

I̅_e1 = √(4,5² + 4,5²) = 6,7 ¦∠ I_e1 = atan(I_I / I_S) = -0,322 rad

I_e1(t) = 6,7 √2 sin(wt - 0,322) con w = 2 π Θ

I_e2 = 2,2J ¦∠ I_e2 = 2,036 rad

I_e2(t) = √2 2,2 sin(wt, 2,036)

Es 2:

Con interruttore chiuso: Trovo condizioni iniziali, cioè Vc, Vl...dei bipoli con memoria

In regime stazionario:

Per sovrapposizione degli effetti:

• J spento: Rtot = R2 + ^R3Rc/_R3+Rc = Ω
• Vo' = Va = Rta ⁵/₂ = 5 V
• I0 = Ia = 5 A
• E spento

I3a = J ^R3/_R2+R3/Rc = 5 A

Le condizioni iniziali sono

Voc = 10.45 = 5 V = Vco' + Vco''

I0 = I0a + I0a'' = ⁵/₂ + ⁵/₆ = 3.75 A

Con interruttore aperto il circuito si divide in 2:

Si può semplificare trovando il generatore di Thevenin tra A e B:

Req = R₂     con 5 spanto         E = 10V = V_ab'

                     con E spento       V_ab' = R₂₅ = 20V

Eeq = 20 + 10 = 30V

Parto da quello di destra che non avendo generatori non necessito

di soluzioni particolari basta l’omogeneo:

LKT:     U_B3 + R_a + U_C + U_L = 0

LXC:     I_B = I_X - I_C

S = -1/(R₃ + R_a)L = -3000

                       R₃I + R_nI + L dI(t)/dt = 0

                                      da cui R₃ + R_a + LS = 0

                                                                     I (0) = A = 3,75

                  I(t) = 3,75 e^-3000t

Il circuito di sinistra:

LKT:     Eeq = V_L + V_C + U_L

LXC:     I_C = I₂ = I_C + I_T1

Trovo Omogenea:

(R₂ + R₁) C S + 1 = 0

                          S = -1/(R₃ + R_a)C = -2500

V_C(t)_om = Ae^-2500t

Trovo la particolare che in regime stazionario è molto semplice

perché il condensatore da circuito aperto:

V_C(t)_part > Eeq = 30V

V_C(t) = Ae^2500t + 30

Trovo A => V(0) = 15 = A + 30 => A = -15

                        condizione iniziale

V_d(t) = -15e^2500t + 30

V_L(t) e I_C(t) si trovano dalle equazioni caratteristiche:

V_L(t) = L ^dI(t)/_dt = L 3.75 (8000I) e^-2500t = -30 e^-2500t

I_C(t) = C ^dV_c(t)/_dt = C (4.15) (-2500) e^-2500t = 3.75 e^-2500t

ESAME 30/04/13

XC = -1/_ωC = -1/_{1000 2·π·3·(8,0^45°)} = 50

Z_EC = 50J

I = ^{E₁ - E₂}/_R1+R2+ZC = 0,8 J

V_AB = E₁ - V_M - V_C + E₂ = -40 J·(RI) = -6J [Da ^kir]

wattmetro = V_AB I = -6J · 0,8 J = 3,2 W

|V_AB| = ^{E₁ - E₂}/_R1+R2 = 1,325

|T| = 0,8 < E₁ = 0,674

P₁ = E₁ · Î = -40J · 0,8J = 32 + 0j

P₂ = -6J · Î = -40J·0,8J = -0 32J

scorre nell'altro verso

J_second = Z_c I² = 32 J³ = 32VAR