Esercizi microeconomia con soluzioni

R

  x

y x

p p

y y

Da questa trasformazione è semplice vedere che il vincolo può essere disegnato così:

Il vincolo di bilancio per il consumatore presentato dall’esercizio è il seguente:

b)  

100 2 x 4 y

Per poterlo disegnare esplicitiamo y: 1

 

y 25 x

2

Calcoliamo inoltre le intercette:

 . Questo è il punto in cui il vincolo tocca l’asse y ed economicamente

quando x = 0, allora y 25

ha il significato di indicare, ipoteticamente, quanto bene y verrebbe acquistato se il consumatore

non comprasse x.  . Questo è il punto in cui il vincolo tocca l’asse delle x ed

quando y = 0, allora x 50

economicamente il il significato di indicare, ipoteticamente, quanto bene x verrebbe acquistato se il

consumatore non comprasse y.

La pendenza del vincolo è -1/2

Ecco la rappresentazione grafica:

L’area sottostante il vincolo di bilancio rappresenta tutte le combinazioni di beni acquistabili dal

consumatore. L’area sovrastante tutte le combinazioni non acquistabili.

c) Se il prezzo del latte (y) aumenta del 20% arriva ad un valore di 4,8.

Il nuovo vincolo di bilancio è definito dunque dalla seguente equazione:

 

100 2 x 4

.

8 y

Esplicitando, per comodità, y:  

y 20

,

8 3 0

, 41 6 x

Calcoliamo le intercette:



quando x = 0, y 20

,

8 3



quando y = 0, x 50

Ecco la rappresentazione grafica:

d) Se il reddito del consumatore passa a 200, il nuovo vincolo di bilancio è il seguente:

 

200 2 x 4 y

Esplicitando per comodità la y, troviamo: 1

 

y 50 x

2

Calcoliamo le intercette:



quando x = 0, y 50



quando y = 0, x 100

Ecco la rappresentazione grafica rispetto al baso b).

–

Esercizio 2 Curve di indifferenza.

Sia un consumatore razione e sia la sua funzione di utilità:

1 1

 2 2

U x y

Definire:

a) se questa funzione di utilità è una funzione corretta secondo la teoria del consumatore;

b) la mappa delle curve di indifferenza, definendone graficamente alcune, a titolo di esempio,

esplicitando ogni valore preso come riferimento;

la curva di indifferenza con l’utilità pari ad 1;

c) la curva di indifferenza con l’utilità pari a 2;

d)

e) il saggio marginale di sostituzione e la sua caratteristica lungo la curva di indifferenza con U

= 1.

a) Per rispondere a questo primo punto dobbiamo capire se la funzione rispetta i cinque

“assiomi” della teoria.

Innanzitutto possiamo già dire che la funzione è continua, dunque i primi tre assiomi sono

soddisfatti.

Infatti, se una funzione è continua significa che è in grado di attribuire un numero ad ogni paniere, è

quindi in grado di ordinarli correttamente è il consumatore può sempre scegliere (completezza e

riflessività), ordinandoli in base alle proprie preferenze (transitività).

Per quanto riguarda la non sazietà (una unità in più è sempre meglio per il consumatore), dobbiamo

verificare che l’utilità marginale sia decrescente, vale a dire che la funzione sia concava (oppure,

per gli studenti più temerari, anche quasi-concava).

Una funzione concava deve avere derivata prima positiva e derivata seconda negativa.

Vediamo dunque le derivate parziali:

Derivata prima fatta rispetto ad x:  1 1



U 1

 2 2

x y



x 2

Questo ha un valore sempre positivo, poiché x ed y sono variabili che per ipotesi non possono

essere negative, dato che si tratta di quantità.

Derivata seconda fatta rispetto ad x:    3 1

2 

U 1 1

 

  2 2

x y

  

2 2 2

x

Questo ha un valore sempre negativo.

Le derivate fatte rispetto ad y sono ovviamente simmetriche, quindi la funzione è concava.

Per quanto riguarda l’ultimo “assioma”, la convessità, vediamo se le curve di indifferenza generate

da questa funzione sono convesse.

Per calcolare la mappa delle curve di indifferenza è sufficiente esplicitare y dalla funzione di utilità:

2

U



y x

Come vediamo, qualsiasi sia il livello di utilità che possiamo definire, la curva di indifferenza sarà

sempre un’iperbole, che è convessa per definizione.

La nostra funzione di utilità rispetta tutti gli assiomi, è dunque corretta.

b) Come sopra, la mappa delle curve di indifferenza si ottiene esplicitando y dalla funzione di

utilità: 2

U



y x

Se, ad esempio, prendiamo i livelli di utilità U = 10 ed U = 20, possiamo definire due curve di

indifferenza tra le infinite possibili: 100



y x

400



y x

E possiamo passare alla loro rappresentazione grafica:

Come vediamo, man mano che si sposta verso nord-est, alle curve di indifferenza corrispondono

valori dell’utilità maggiori.

c) la curva di indifferenza con utilità pari a 1 è definita dalla seguente equazione:

1



y x