Sistemi lineari, parte V

X' = {X_1, X_2, }

COSTRUIRE UNA BASE IN R^m

1. Se X è un sistema di generatori di R^m linearmente dipendente, posso estrarre da X un sistema linearmente indipendente di generatori.
2. Se X è un sistema di R^m linearmente indipendente ma non è un sistema di generatori, posso aggiungere dei vettori conservando l'indipendenza.

Prop. Sia X un sistema di vettori linearmente indipendente di R^m e sia ϕ ∉ L({X}) (non dipendente dai vettori del sistema). Il nuovo sistema che contiene anche ϕ - X_u{ϕ} sarà anch'esso linearmente indipendente.

Dim.

|X| = t

ordine (numero dei vettori)

X = {v₁, v₂, v₃, ..., v_t}

t < m

condizione necessaria affinché X sia linearmente indipendente

⇒ se t = m allora è anche un sistema di generatori e quindi X è già una base.

Siano α₁, α₂, α₃, ..., α_t ∈ ℝ

X è linearmente indipendente quindi α₁v₁ + α₂v₂ + α₃v₃ + ... + α_tv_t = 0

Aggiungiamo ϕ e affinché X_u{ϕ} continui ad essere indipendente deve verificarsi che...

AIG. 25 02/10/17

αu + α₁v₁ + α₂v₂ + α₃v₃ ... - αt v_t = 0

Se α ≠ 0 il sistema non è più linearmente indipendente

αu + α₁v₁ + α₂v₂ - α₃v₃ ... - αt v_t

α₁v₁ + α₂v₂   - α₃v₃ ... - αt v_t

u = n₁v₁ + n₂v₂ + n₃v₃ ... + n_tv_t

questo significato che u ∈ l(v₁, v_t)

ASSURDO

Opposto di questo affermato nella tesi.

Quindi α = 0

Se α = 0

αu + α₁v₁ + α₂v₂ ... - αt v_t = 0

α₁v₁ + α₂v₂ + ... - αt v_t = 0

Questa è la combinazione lineare di X, ovvero dell'insieme di partenza che era linearmente indipendente e quindi così non si può fare con α = 0.

TEOREMA DEL COMPLETAMENTO A UNA BASE

Sia X un sistema linearmente indipendente di ℝ^m   esiste una base di ℝ^m che contiene x.

Esempio

ℝ³

W = { (0, 1, 1) ; (2, 1, -1) }

(2, 1, -1) = n(0, 1, 1)

(2, 1, -1) = n(0, n, 1)

n = 1 impossibile

n = -1

indipendente

A/G 26 02/10/2017

OSS.

Non vale la legge dell' an nullamento del prodotto

< (1, 0, -1), (0, 1, 0) > =

= (1, 0) + (0, 1) + (-1, 0) =

= 0

OSS.

I vettori iniziali sono tali perchè la loro lunghezza e' pari a 1.

Ad esempio in ℝ³ i vettori iniziali sono :

_e1 = (1, 0, 0)

_e2 = (0, 1, 0)

_e3 = (0, 0, 1)

|_e1| = √^{12 + 02 + 02} = 1

|_e2| = √^{02 + 12 + 0} = 1

|_e3| = √^{02 + 0 + 12} = 1

• Tutti gli altri vettori che hanno lunghezza unitaria sono detti versori.

Possiamo ottenere un versore partendo da un vettore la cui lunghezza e' diversa da uno.

ℝ³

u = (1, 1, -1)

|u| = √³

v = ¹/_|u| . u = (1/√³ . 1 ; 1/√³ . 1 ; 1/√³ (-1) )

v = (

1/√³

1/√³

1/√³

)

|v| = √⁽(¹/_√³)² + ((¹/_√³)² + ((¹/_√³)² = 1