Sistemi lineari

I E

I i x2 X3

+

3x1 2

- =

= 7

5x2

x1 xy

+

+ =

7

7xz

2x

7 +

Xz

2 + =

, equivalenti

Due hanno

lineari

sistemi le stesse

sono se

soluzion equazioni

sulle

Operazioni

D Moltiplicare nullo

scalare

equazione

un per uno non

E

4 x y

+ 4

+ 1

+

1 0 0

= =

-

- = 5x + 15y

3y 450 2

+ - +

x =

+

- -

A scambiare due equazioni

-(

↑

& 4

y +

3y

x

X +

1

+ 0

= 0 =

-

- =

+ 3y

x 4 =

0 0

+ 1

- y

+ +

=

- -

L

& &

ba

an

+

Ax ba

an

+... +

Ax

= +...

, =

,

i i

bi

ainn

X1

ai1 bi

+... + ainn

X1

ai1

= +... + =

* bj

Aj1x1 +

+... bj

+ ajn Aj1x1

=

n +

+... + ajn =

n

! !

X1 bm

A + AmnXn

+... X1 bm

A + AmnXn

= +... =

③ Aggiungere ad di

multiplo

equazione un'altra

un un

equazione 4

E + 12

- + 1

x x3

1

+ x1

=

- = =

- xz)

5(x 5

x3

+2 5

S

2x1 + +

+

x2 2x1 =

x3 +2

=

+ - -

+

- 1

è equivalente

* a

& ba

an

+

Ax +... =

,

i bi

ainn

X1

ai1 +... + = dinxz)

X(ai1x1 by

ajzxz +

+ xbi

+ ajn n +.. + =

+ +

. . . -

! X1 bm

A + AmnXn

+... = e

matrici ad

terminé associato

di :

In sistema

se un -

completa A

motrice

una .

equivalente

sistema

Si ottiene un modifica

al .

sistema dato se si

DMoltiplicando scalare

una riga uno

per o

& A

Scambiando righe di

due

③ multiplo

Aggiungendo ad un'altra

di riga

un

riga

una

ad

tanno quella

diversa da

matrice

Mi passare una

iniziale .

soluzioni

stesse

le

ma con

,

Def Una A

matrice RIDOTTA

tipo Je

di dice

si

man :

. Fi 1

...., m

= i-esima allora

nulla

la

se e

riga anche le

lo

· sono

successive della

è O

il da

diverso

elemento

se primo

dij riga

· allora Lintutte

Vrxi

aij le solto

righe

0 a

= consideratal

quella

Fs15 (in donne prima

tutte le

di quella consider

che

(

10 0 dis

... ↓

....

>

- ↓ deve essere o

ci

dij

L'elemento è

ci deva detto della

pivot

essere o i-esima

riga

esempio 131

0

131 -

2 - o

2

0

1

1 ridotta

ridotta non

è

2

O o 100 0

0

0 0

0 l'ultima riga non

considera

si

10 O

0 è

1 ridotta

0 2 sen o

solo

0 =

0 on 0

il

consideriamo alla

associato motrice

sistema

11

1 1

+2 Xz

E

X + =

- -

i delle

il numero

incognite

13

01 X 3

x3

- =

-

2 decresce visto

è

0012 ridotta

2 che

Xz = ~

&

3

11 ·

2x

21 +2

+ xu 3

xz Xi

+ >

=

- -

-

,

11 1 1 x X2

xy

+

0 1 -

+ xu

2 =

001-17 7

xu =

x 3 - quelle

esattamente a

coincidono

che i pivot

con 3

+

3x2 2xx

13 + x5

xz

Se ↑ =

-

+

S i

- 2x5

xu

* 1

+

3 =

- 1

-1

0 1 xu

0 xs

1 = -

0 -

-

Xu Xs 1

= -

x3(xs 1) 1

2x3 x3

+ x 3 = -

=

- 3x2

3 uxg

x3

3x2 = 5

=

+

2xy 2 /

x

Xs

+ +

x) -

+ -

+ Xs)

(-3xc-UXs

Le 3

soluzioni X5-1

+

sono Xs

x2 - ,

,

, ,

infinite soluzioni

Si dai parametri

dipendenti

tratta di

Xz Xs

, .

Possono scritte

essere : 0)

xg(

0 1) (5

( 1 1

0 0.0

1 -

+

3

x 0 1

0

1 , , =

- ,

, -

- .

,

, ,

, , .

15

~ piano in

esempio &

1

·

13 cuna

- 3xz 1

x3 2

+

- -3

=

- =

,

O Soluzione

-3

x 1 Xz

+ 2xy =

2 = (12 2)

unica -3

12

X,

X3 2 = ,

,

= I

5

1 3x2 1

x

13 i x3 =

-

- 2x3

O 1

+

1 =

X 2 2

x3 =

1

0 = può avene

- non

soluzioni

ammette soluzioni

Il sistema non

il

Se dell'ultima nell'ultima

è colonna

riga

pivot ,

ci soluzioni

o

solo

prima ammette

non

sono ,

Se sola soluzione

n-incognite

ci h-pivot una

no

sono e

Se infinite

incognite avró

pivot

più che

sono

ci ,

Soluzioni

esempio 13 se pivot

1 neo soluzione

no un'unica

no

· un

- ,

1 1

O 2 - se h=0 soluzioni

on 1

O non esistono

·

Trasformare ridotta

in

matrice

una una

I Ri

13

2 - 11

1 Re

ridotta

R2

2 2Ri

è Rz

- >

non -

-

54 35 R3

-

↳ devono essere o

=

moltiplico (-2) prima

la

per seconda

alla

e la

riga sonno

13

12 R3 Ry -SR

>

- -

31 5

0 - -

35

S a - la

moltiplica seconda riga

per -s

> alla

e la terza

sonno

13

12 - S

3 R3

1 Rz 2 Rz

0 >

- -

- -

0 -62 10

-

13 infinite

ammette

Sistema

Il

2

1 -

32 S Soluzion

-

O -

0

000 A

Riduzione Gauss di

di una matrice

termina

Se l'algoritmo

A nulla

e .

· A

Se nulla colonna

indico

è 5 prima

la

· con

non non

nulla Enello

se l'elemento la

scambiare

dij

· prima

posso riga

un'altra mode che dijzo

con in o

· 02

O .... 00

2 ....

01

& moltiplicando

Per prima

is1 i-esima la

alla riga

· riga

sonno

per - Ri =-

d15

O ... diJ

.

0 - -.

l'algoritmo

Applico alla che ottiene eliminando

matrice

· si

la riga

prima finito

L'algoritmo termina ad

porta

numero

in pasti e

un

ridotta

matrice

una .

esempio 131

12 -

2

R 1311 righe

due

ultime

-2 -

, C

31242 di

R2 combinazione lineare

3

- quelle sopra

13 420

- - Il

13112 131 ammette

12 sistema

-

- infinite soluzioni

5 51 da

dipendenti

55

0 -

0

55 due

1 -

- -

- parametri

55 510000

0 O

- -

551 0

0 0

05 0 o

-

Ax - completa)

(matrice

b lineare

Sistema

= C

Ax rappresentato

-

equivalente

Sistema da

b una

= completa

motrice ottenere

possibile

è selpra

sistend equivalente

un

rappresentato una

da

motrice ridotta

I

(0 : pivot

esempio

I I

18

8 2h [ cercando

uh-16

↳ sto

( 4

-

- -

- che interseca

piani si

4

e

2 nello

-8

- 6 spazio

12

2h 2n no

- -

-

6

U h

2 3 8

- 3h

.

- - - -

-

4 3n 14

.

2 24 16 +

0 + 2n-18 Uh-16

4)

2n-18 Uh-16 8

4)

8 - -

- -

- - 64 36 84

64 8

O 40

36 84

8

O 40

I -

- -

-

- -

- -

- - u)

- 6(n

+

Gh

⑧

8 O 2u 10h

O + 40

2n +

12

-

↓ 2(n 4)

+

-

2h 24-0-un-16

2 2n

+1 12 &

3

+

E 4 O

. t

-

2n-18 Uh-16

4)

8

- - -

64 36 84

8

O 40

-

- -

- -

Gh

⑧ O 2u 10h

+ 40

+ non avere

posso

2h soluzioni

8 T

O

O -

O -

Eh = 0

zu

+

>

- soluzioni pivot

esistono

n f non

u

se :

-s

- nell'ultima

8 0

+

2n riga

+

- annullano

le due

-4 ultime

h

se ,

righe

> si

= - due

diventa sistema

un a equazione con

infinita soluzioni

infinite parametro

soluzioni dipendenti da un

E

8 8x 44-10z

n 4 100

u 0

+ =

-

= - - - 8

-8-12 122

By

8 -

0 = -

-

-

-0

00

000 zz

o 1

y -

=

37

8 + 10z 0

u

= =

-

-

- 13z

8x 0

u =

+

-

- 3z

= t

+ +

=

( 3ziz)

zi)

= + -

+

- Il )

(t z)

0) 2

-1

+

1 - -

,

= ,

esempio Due

h) casi

(3 + :

-

>

In

0 0

... . . . & n

!

( ) + 1

3th 70

+h - -

0

0 .

....

... ②n 1

= -

0 01th

.... ....

......... incognite

dim

Un sistema lineare equazioni e

inn

ad

equivalente

sempre sistena ad

associato una

un

forma

completa ridotta

matrice in

Il sistema soluzioni matrice

nella

ammette solo

se se

e

nell'ultima

ridotta pivot adona

vi

non sono

Se soluzioni determinare

possibile

è le

vi sono colonne

alle cui

corrispondenti

incognite i

si trovano

in

funzione delle rimanenti

incognite

in

pivot (suroK) infinite soluzioni

Quindi ammette

sistema

un dei

delle

il

Se del

e numero

è

numero maggiore

solo incognite

se

Pivot . A il

Chiameremo Rango matrice di

numero

una

di di

matrice

qualunque ridotta A

di

pivot una

esempio equazione

1 incognite

11 4

↳ in

3

2

- - 2h-1

3 h

1 -

n

1 1

+

- =

h 5 h

n2 3h

20 U

- -

2h +

- - n

n2

11 h +

2 1

42 3

+

- - - 1

3

1

1 2

- h an

zh 1 2

0 - -

- h2 -2

3h

h h2

2 2h 2

1

0 -