SISTEMI LINEARI PARTE III

R³

x₁ = (1, 0, 1)

x₂ = (0, -1, 2)

x₃ = (1, -2, 5)

α x₁ + β x₂ + γ x₃ = (x, 0, x) + (0, -β, 2β) + (γ, -2γ, 5γ)

(α + γ, -β - 2γ, α + 2β + 5γ) = (0, 0, 0)

α + γ = 0

β - 2γ = 0

α + 2β + 5γ = 0

{α = -γ

β = -2γ

{-γ - 4γ + 5γ = 0 identità}

{α = -γ

β = -2γ

γ = γ

Qui noi possiamo prendere tre scalari α, β, γ diversi da zero, questo a dire che i tre vettori x₁, x₂, x₃, sono linearmente dipendenti

UN SINGOLO VETTORE

Considerando un singolo vettore u, vogliamo sapere se è linearmente DIPENDENTE o INDIPENDENTE.

α u = 0

• Nel caso in cui α = 0 e y ≠ 0, il vettore è linearmente INDIPENDENTE
• Nel caso in cui α ≠ 0 e y = 0, il vettore è linearmente DIPENDENTE

A/G 13 29/09/2017

Due vettori sono linearmente dipendenti ⇔ sono proporzionali

Due vettori sono linearmente proporzionali ⇔ sono dipendenti

Partiamo dalla prima ipotesi (tesi)

u e v sono linearmente dipendenti (tesi)

Questo significa che ∃ α, β ∈ ℝ non entrambi nulli / αu + βv = 0

1° caso

α ≠ 0

β = 0 oppure β ≠ 0

u₁ = -β/α u₂

v₁ = u₂ σ

questa è la condizione di proporzionalità

2° caso

α = 0

β ≠ 0

uno del due deve essere diverso da zero, altrimenti non sono indipendenti.

u = λ v

questa è la condizione di proporzionalità.

Abbiamo dimostrato che due vettori i quali sono linearmente dipendenti risultano essere anche proporzionali.

Partiamo dalla seconda ipotesi (tesi)

u e v sono proporzionali (tesi)

∃ n ∈ ℝ / u = nv

u₁ = n u₂ = 0

(1) u = (2) n = β

I due vettori risultano essere linearmente dipendenti, perché

la loro combinazione lineare è data o dal vettore nullo, e almeno uno

dei due scalari (ovvero α) è diverso da zero

A/G 14 29/09/2017

Se    x ⊆ y    →   L(x) ⊆ L(y)

y ∈ L(x)        y = X_u|y|       →      L(x) = L(y)

y ∉ L(x)         y = X_u|y|       →      L(x) ≠ L(y)

ATTENZIONE!!Se siamo in R² per avere l'intera chiusura lineare = R² ci servono almeno due vettori indipendenti.

DEF. Un sistema di vettori    ∈ R^M si dice Base se :

• è un sistema di generatori di R^M
• è linearmente dipendente.

PROP. Sia B un sistema di vettori di R^M. Sono equivalenti :

1. B è una base di R^M
2. B è un sistema di generatori minimale
3. B è un sistema di generatori di ordine "m" (perché per essere un sistema di generatori deve essere il più piccolo quindi: in R² 2 vettori , in R³ 3 vettori , in R^M m vettori).
4. B è un sistema linearmente indipendente massimale
5. B è un sistema linearmente indipendente di ordine "m" (se sono in R³ e ho 4 vettori che fanno parte del mio sistema, il sistema sarà sicuramente linearmente dipendente).

Il punto 2 e 3 indicano che se siamo in Rⁿ dobbiamo avere un minimo di n+1 vettori "indipendenti"; altrimenti non è un sistema di generatori più in generale se siamo in Rⁿ dobbiamo avere un minimo di n vettori affinché il sistema sia un generatore.

A.G. 18 02/10/2017