SISTEMI LINEARI PARTE III

R³ X₁ = (1,0,1)   X₂ = (0,-1,2)   X₃ = (1,-2,5) α X₁ + β X₂ + γ X₃ = (x,0,x) + (0,-2,2β) + (γ, -2γ, 5γ) (x+γ, -β-2γ, x+2β+5γ) = (0,0,0)

{  x + γ = 0   -β-2γ = 0   x + 2β + 5γ = 0 }

{  x = -γ   β = -2γ   -γ-4γ+5γ=0 identità }

α = -γ β = -2γ γ = γ

Qui noi possiamo prendere tre scalari α, β, γ diversi da teα, questo a dire che i tre vettori X₁, X₂, X₃ sono linearmente dipendenti

UN SINGOLO VETTOREConsiderando un singolo vettore u, vogliamo sapere se è linearmente dipendente o indipendente.

α u = 0 - Nel caso in cui α ≠ 0 e y ≠ 0, il vettore è linearmente indipendente. - Nel caso in cui α ≠ 0 e y = 0, il vettore è linearmente dipendente.

A/G 13 29/09/2017

R³

X₁ = (1, 0, 1)   X₂ = (0, -1, 2)   X₃ = (1, -2, 5)

α X₁ + β X₂ + γ X₃ = (x, 0, x) + (0, -2, 2β) + (γ, -2γ, 5γ)

(x + γ, -β - 2γ, x + 2β + 5γ) = (0, 0, 0)

• x + γ = 0
• -β - 2γ = 0
• x + 2β + 5γ = 0

• x = -γ
• β = -2γ

-γ - 4γ + 5γ = 0 identità

• α = -γ
• β = -2γ
• γ = γ

Qui noi possiamo prendere tre scalari α, β, γ diversi da zero, questo a dire che i tre vettori X₁, X₂, X₃ sono linearmente dipendenti

Un singolo vettore

Considerando un singolo vettore y, vogliamo sapere se è linearmente dipendente o indipendente.

α y = 0

• - Nel caso in cui α = 0 e y ≠ 0, il vettore è linearmente indipendente
• - Nel caso in cui α ≠ 0 e y = 0, il vettore è linearmente dipendente

A/G 13 29/09/2017

Due vettori sono linearmente dipendenti solo e soltanto se

Due vettori sono linearmente proporzionali

Partiamo dalla prima ipotesi (tesi)

u e v sono linearmente dipendenti (tesi)

Questo significa che: ∃ α, β ∈ ℝ non entrambi nulli αu + βv = 0

• 1 caso
• α ≠ 0
• β ≠ 0 oppure β ≠ 0

v₂ = v₁ α v = -β/α u

In questo caso non possiamo dividere con α perché potrebbe essere β = 0

questa è la condizione di proporzionalità

• 2 caso
• α = 0
• β ≠ 0

una delle due deve essere diversa da zero, altrimenti non sono indipendenti

u₂ = u₁ α v = -α/β u

In questo caso non dividiamo con α perché sappiamo che α ≠ 0

questa è la condizione di proporzionalità

Abbiamo dimostrato che due vettori, quelli sono linearmente dipendenti risultano essere anche proporzionali

Partiamo dalla seconda ipotesi (tesi)

u e v sono proporzionali (tesi)

∃ k ∈ ℝ | u = kv

u - kv = 0

u₂ = u₁ α v = u₂ α v = 0

I due vettori risultano essere linearmente dipendenti perché

la loro combinazione lineare è la 1° vettore nullo, e almeno uno

dei due scalari (ovvero α⁺) è diverso da zero.

A/G 14 29/09/2017

ALTRA CASI

R^m

S = [ u₁, u₂ ... u_t ]

Supponiamo che u₄ = 0

Sia mai il sistema di vettori sarà linearmente dipendente, perché:

(α_xu₁ + α₂u₂ ... + α_tu_t) = 0

Basta imporre lo scalare di u₁ (che è α₁), diverso da tero, che moltiplicato con u₄, divola il vettore nullo, poi possiamo imporre tutti gli altri scalari (α₂, α₃,... α_t) uguali a tero, riuscamo cosi a trasformale tutti i vettori uti S in vettore nulli la cui combinazione lineale sarà un vettore nullo e visto che lo scalare α₁ ≠ 0 saranno linearmente dipendenti.

R^m

S = [ u₁, u₂ ... u_t ]

Supponiamo che u₁ = 2u₂ (sono propizionali)

(u₁, -1u₂ = 0)

essendo proporzionali sono linearmente dipendenti e qui nulla la loro combinazione lineale è uguale a 0 e almeno uno dei loro scalari scalari diverso da tero.

(α (u₁ + βu₂) + ϝu₃ ... δu_t = 0

I vettori uti S sono quindi linearmente dipendenti: bastai imporre tutti gli scalari uguali a tero tranne i primi due perché la combinazione lineale dei primi due è gia uguale a 0 e almeno uno dei due scalari è diverso da tero.

A/G 15 29/09/2017

R^m

S = {u₁, u₂, ..., u_t}

Supponiamo u₁ = u₂

αu₁ + α₂u₂ + α₃u₃ ... - αt u = 0

Affinché tutti i vettori di S siano linearmente indipendenti basta imporre i primi due scalari α = -α ≠ 0 e tutti gli altri scalari α₃ = α₄ = ... = α_t = 0. In questo modo i primi due vettori si annullano a vicenda (sommando 0) e tutti gli altri saranno uguali a 0 perché moltiplicati con 0.

R^m

S = {u₁, u₂, ..., u_t}

u₁ = α u₂ + β u₃0 = α u₂ + β u₃

La combinazione lineare dei primi tre vettori ci fornisce il vettore nullo (0), questi tre vettori (u₁, u₂, u₃) sono sicuramente linearmente dipendenti, in quanto γ ≠ 0. Basterà poi imporre tutti gli altri scalari degli altri vettori pari a zero. In questo modo i vettori di S saranno linearmente dipendenti.

Un sistema di vettori si dice linearmente dipendente <=> esiste un vettore del sistema che dipende linearmente dai vettori rimanenti.

ALG 16 29/09/17

ℝ^m

X = {x₁, x₂, x₃, ..., x_ℓ}

Si dice chiusura lineare L(x) e' l'insieme costituito da tutte le possibili combinazioni lineari di un insieme di vettori (x) ed e' generato da essi, per questo tali vettori costituiscono un insieme di generatori.

L(x) = {α₁x₁ + α₂x₂ + α₃x₃ + ... α_xx_ℓ, ...} α₁, α₂, α₃, ..., α_x ∈ ℝ

Proprietà

Se consideriamo l'insieme S = {u, v}

• Se 0 ∈ S: {u, v}
  • 0 ∈ L(S)
  • u ∈ L(S)
• Se consideriamo l'insieme S₁ = {u, v}

• Se S ⊂ S₁ ⇒ L(S) = L(S₁)

Se abbiamo l'insieme X e a quest'insieme aggiungiamo il vettore u ∉ L(X), cioè che non appartiene alla sua chiusura lineare e quindi non e' linearmente dipendente da X, ottengo l'insieme X_u.

L(X) ≠ L(X_u)

Definizione

Un sistema di generatori di ℝ^m si dice tale se

• L(X) = ℝ^m