Sistemi lineari, Parte II

PROPRIETÀ DISTRIBUTIVA (per somma e prodotto)

a(x+y) = ax + ay

L'insieme dove tutte queste proprietà sono soddisfatte è detto CAMPO

• INSIEME è solo la struttura
• CAMPO è la struttura con le operazioni algebriche

• R CAMPO DEI NUMERI REALI
• Q CAMPO DEI NUMERI RAZIONALI
• N NON È UN CAMPO
• No NON È UN CAMPO
• Z NON È UN CAMPO

OPERAZIONI CON CAMPI

R x R = {(x, y) | x, y ∈ R} = R²

R x R x R = {(x, y, z) | x, y, z ∈ R} = R³

R x R x ... x R = {(x₁, x₂, ..., x_m) | ... }

m volte - n-upla ordinata di numeri reali

x = (x₁, x₂, ..., x_m)

VETTORE NUMERICO REALE DI ORDINE m

componenti del vettore

ESEMPIO

- Ragioniamo in R²

(1,0) + (-2,-5)

Operazione: +

Rappresentiamo l'operazione indicandola in questo modo poiché si ha due vettori

(1,0) + (-2,-5) = (-1, -5)

I componenti del vettore somma si ottengono sommando algebricamente i componenti dei primi vettori.

A/G T 26/09/17

Proprietà distributiva (per somma e prodotto)

a (x + y) = ax + ay

1. L'insieme dove tutte queste proprietà sono soddisfatte si è detto campo
• Insieme è solo la struttura
• Il campo è la struttura con le operazioni algebriche

• ℝ Campo dei numeri reali
• ℚ Campo dei numeri razionali
• ℕ ₀ Non è un campo, manca l'elemento neutro detto somma, infatti nell'insieme in mancanza lo telo.
• ℤ Non è un campo, anche se c'è l'elemento somma negativo infatti non si soddisfa l'ultima proprietà della somma, infatti non ci sono i numeri negativi.

Operazioni con campi

ℝ x ℝ = { (x,y) | x,y ∈ ℝ } = ℝ ²

ℝ x ℝ x ℝ = { (x,y,z) | x,y,z ∈ ℝ } = ℝ ³

ℝ x ℝ ... ℝ = { (x ₁, x ₂ ... x _m) | x ₁, x ₂... x _m ∈ ℝ } = ℝ ^m

x = (x ₁, x ₂ ... x _m) vettore numerico reale di ordine m

Esempio

Ragioniamo in ℝ ²

(1,0) + (-2,-5)

Operazione: +

Si ottengono sommando algebricamente i componenti dei primi vettore.

Nota bene: Operazione somma vedi pagina dopo.

(1,0) + (-2,-5) = (-1,-5)

(X + Y) = (X₁ + Y₁, X₂ + Y₂, X₃ + 3, ..., X_n/m)

X ⊕ Y = Y ⊕ X - - - - - - - -> per la proprietà commutativa

Proprietà dell'operazione ⊖ (prodotto) fra due vettori.

h : R^M x R → R^M

h ⊖ x - - -> h ⊖ x = (h x₁, h x₂, h x₃, ..., h x_m)

1 - Proprietà commutativa

(a ⊖ b) ⊖ x = a ⊖ (b ⊖ x)

2 - Elemento neutro

1 ⊖ x = x ∀ x ∈ R^M

3 - Proprietà distributiva

(a + b) ⊖ x = (a ⊖ x) ⊕ (b ⊖ x)

4 - d ⊖ (X ⊕ Y) = d ⊖ X ⊕ d ⊖ Y ∀ a ∈ R ∀ x, y ∈ R^M

Proprietà dell'operazione ⊕ (somma) fra due vettori

1 - Proprietà commutativa

X ⊕ Y = Y ⊕ X ∀ x, y ∈ R^M

2 - Proprietà associativa

(X ⊕ Y) ⊕ Z = X ⊕ (Y ⊕ Z) ∀ x, y, z ∈ R^M

3 - Elemento neutro

O ⊕ X = X

O = (0,0,0, ..., 0) ∈ R^M

A/G 8 26/09/2017

4 - ESISTE L'OPPOSTO

Se x = (x₁, x₂, x₃, ... x_m) esistel'opposto -x = (-x₁, -x₂, -x₃, ... -x_m)l'operazione ⊕ ha x e -x

x + (-x) = o → elemento neutro

Un insieme dove è possibile effettuare operazione ⊕ e o si imolica(R^m o, o)SPAZIO VETTORALE NUMERICO REALEM - DIMENSIONALE

Per trovare l'opposto basta applicare quest'operazione -1 ()

R³

x = (2, -1, 4)

-1 ⊗ x = -1 ⊗ (2, -1, 4)-x = (-2, 1, -4)

d ⊗ x = o → x = o → d = o

VETTORI UNITARI

R²

o = (0, 0)e₁ = (1, 0)e₂ = (0, 1)

R³

o = (0, 0, 0)e₁ = (1, 0, 0)e₂ = (0, 1, 0)e₃ = (0, 0, 1)

R^m

e₁ = (1, 0, 0 ... 0)e_m = (0, 0, ... 1)

Ragioniamolo in R^m

x, y ∈ R^m si dicono PROPORZIONALI se ∃ h ∈ R | x = h y

Esempio

x = (2, 4)y = (-6, -12)

x = (-⅓) yy = (-3) x

O proporzionale solo a se stesso

Combinazione Lineare

Considerati i vettori di R^m \( u_1 \, u_2 \, \ldots \, u_t \) e scalari α₁, α₂, α₃, ... α_t si dice combinazione lineare di \( u_1 \, u_2 \, \ldots \, u_t \) moltiplicando gli scalari α₁, α₂, ... α_t, il vettore di R^m ottenuto α₁u₁ + α₂u₂ ... α_tu_t

Esempio

R³

\( y = (1, -1, 0) \)

\(\begin{align*}&α_{1} = -1 \\&α_{2} = 2 \\&α_{3} = -3 \\\end{align*}\)

\( u = (0, 1, -1) \)

\( w = (0, 2, 1) \)

α₁ y + α₂ u + α₃ w =

= (-1, 1, 0) + (0, 2, -2) + (0, -6, -3) =

= (-1, -3, -5)

Combinazione Lineare 1 Vettore

R² {(w) = {(n\*u) | n ∈ R\} = {(n, 2n) | n ∈ R\}}

Basta moltiplicare uno scalare (n) ∈ R per u:

\(\begin{align*}&y = (1, 2) \\&Sia \; S; \; u_1, u_2, \; \ldots \; u_4, \; \; u \; \; un \; sistema \; di \; vettori \; di \; R^m \\\end{align*}\)

Il vettore \(\sigma \) ∈R^m si dice DIPENDENTE (o dipendentemente linearmente) da S, se esistono h₁, h₂, ... h_t ∈ R | \(\sigma \) = h₁u₁ + h₂u₂ ... h_tu_t

Ragionando in R³

\( y = (1, -1, 0) \)

\( w = (0, 2, 1) \)

\( u = (3, -1, 1) \)

S: { y, u, w }

Per capire se w dipende da S, dobbiamo calcolare la combinazione lineare tra y e w.

ω = α u + β v

(3, -1, 1) = α (1, -1, 0) + β (0, 2, 1)(3, -1, 1) = (α, -α, 0) + (0, 2β, β)

• 3 = α + 0
• -1 = -α + 2β
• 1 = 0 + β

• β = 1
• α = 3

ω è dipendente da Squando β = 1 e α = 3.

0 è sempre dipendente da un sistema di vettori S, basta porre due scalari uguali a zero, in alcuni casi però gliscalari possono essere diversi da zero, nonostante 0 sia dipendente da S.

A/G 11 26/09/2017