Sistemi lineari, Parte II

Proprietà Distributiva (per somma e prodotto)

a(x+y) = ax + ay

1. L'insieme dove tutte queste proprietà sono soddisfatte è detto CAMPO
2. INSiEME se solo la struttura
3. IL CAMPO è la struttura con le operazioni algebriche

• R CAMPO DEI NUMERI REALI
• Q CAMPO DEI NUMERI RAZIONALI
• N NON È UN CAMPO manca l'elemento neutro detto somma, infatti nell'insieme N manca lo zero
• N₀ NON È UN CAMPO anche se c'è lo zero non soddisfa l'ultima proprietà detta somma infatti non ci sono i numeri negativi
• Z NON È UN CAMPO non soddisfa l'ultima proprietà del prodotto

Operazioni con campo

R x R = {(x,y) | x,y ∈ R} = R² RxRxR = {(x,y,z) | x,y,z ∈ R} = R³ RxRxR...R = {(x1,x2,...xm) | x1,x2,...xm ∈ R} = R^m

x = (x1, x2, ..., xm) = componente del vettore = vettore numerico reale di ordine m

Esempio

ragioniamo in R² vettore = ( 1 ; 0 ), (-2 ; -5 ) operazione : + (-1 ; -5) operazione somma vedi pagina dopo i componenti del vettore somma si ottengono sommando algebricamente i componenti dei primi vettori

A/G 26/09/17

X⊕Y = (X₁+Y₁, X₂+Y₂, X₃+Y₃, ..., X_n+Y_n)

X⊗Y = Y⊗X per la proprietà commutativa

Proprietà dell'operazione ⊙ (prodotto) fra due vettori.

ℝ^m × ℝ^m → ℝ^m

h: x × x → h(x, ß) = (h₁x₁, h₂x₂, h₃x₃ ..., h_nx_m)

• SCALARE

1. PROPRIETÀ COMMUTATIVA

   (a⊙b)⊙x = a⊙(b⊙x)

2. ELEMENTO NEUTRO

   10⊗x = x ∀x ∈ ℝ^m

3. (a+b)⊙x = (a⊙x)⊕(b⊙x)

Proprietà dell'operazione ⊕ (somma) fra due vettori

ℝ^m × ℝ^m → ℝ^m

1. PROPRIETÀ COMMUTATIVA

   X⊕Y = Y⊕X ∀x; y ∈ ℝ^m

2. PROPRIETÀ ASSOCIATIVA

   (X⊕Y)⊕Z = X⊕(Y⊕Z) ∀x; y; z ∈ ℝ^m

3. ELEMENTO NEUTRO

   X⊕0 = X

0 = (0, 0, 0, ..., 0)_m vettore nullo

A/G 8 26/01/2017

Linearmente Indipendente

Un sistema di vettori S = {u₁, u₂, ..., u_r} si dice linearmente indipendente se l'unica combinazione lineare che li restituisce il vettore nullo (0) è quella con gli scalari uguale a zero.

Linearmente Dipendente

Un sistema di vettori S = {u₁, u₂, ..., u_r} si dice linearmente dipendente se esiste almeno una combinazione lineare che li restituisce il vettore nullo (0) che abbia almeno uno scalare diverso da zero.

Esempio:

ℝ³

• u = (1, 2, 1)
• v = (0, 4, 2)
• w = (1, 1, 0)

αu + βv + γw = 0

α (1, 2, 1) + β (0, 4, 2) + γ (1, 1, 0) = (0, 0, 0)

(α, 2α, α) + (0, 4β, 2β) + (γ, γ, 0) = (0, 0, 0)

(α + γ, 2α + 4β + γ, α + 2β) = (0, 0, 0)

• α + γ = 0
• 2α + 4β + γ = 0
• α + 2β = 0

α + γ = 0 → α = 0

2 (α + 2β) + γ = 0 → γ = 0

α + 2β = 0 → β = 0

Dato che l'unico modo per ottenere il vettore nullo (0) dalla combinazione lineare dei vettori u, v, w, è imporre gli scalari α, β, γ uguale a zero, allora i vettori sono linearmente INDIPENDENTI.