Sistemi lineari Parte IV

Il punto 4 e 5 ci dicono che se, ad esempio, siamo in ℝ³ devo avere un massimo di 3 vettori, altrimenti il sistema risulta non essere linearmente indipendente.

Esempio 1

ℝ²

_e1 = (1, 0)

_e2 = (0, 1)

_e2 = 1/2 (_e1)

(0, 1) = 1/2 (1, 0)

_B = {_e1, _e2}

Due vettori risultano non essere dipendenti e quindi non proporzionali!

Linearmente indipendenti.

|_B〉 = {α_e1 + β_e2 | α, β ∈ ℝ } =

Chiusura lineare

= { (α, 0) + (0, β) | α, β ∈ ℝ } =

= { (α + 0, 0 + β) | α, β ∈ ℝ } =

= { (α + β) | α, β ∈ ℝ }

L'insieme ci dà quindi il vettore generale (α, β) dallo sua chiusura lineare, questa ci dice che la chiusura lineare ci fornisce tutti i vettori che ∈ ℝ², quindi è un sistema di generatori.

_B è una base.

Trovata una base ne troviamo infinite basta moltiplicare i vettori della base con scalari diversi da zero (ATTENZIONE!! non bisogna fare la chiusura lineare ma semplicemente moltiplicare per scalari diversi da zero), se si moltiplicano per scalari uguali a zero perdono l'indipendenza.

A/G 19 02/10/2017

I punti ⁴ e ⁵ ci dicono che se ad esempio stiamo in ³ devo avere un massimo di 3 vettori, altrimenti il sistema risulta non essere linearmente indipendente.

Esempio 1

²

e₁ = (1,0) e₂ = (0,1) B = { e₁ , e₂ }

e₂ = 1/2 (e₁) (0,1) = 1/2 (1,0)

→ i due vettori risultano non essere dipendenti e quindi non proporzionali!

linearmenteindipendenti

(B) = {e₁ +e₂ |,∈ℝ} = = {(,0) + (0,) |,∈ℝ} = = {(+0,0+) |,∈ℝ} = = {(+) |,∈ℝ}

L'insieme ei da' quindi il vettore generale (,) detta sua chiusura lineare, questa ci dice che la chiusura lineare ci fornisce tutti i vettori che ∈ ², quindi è un sistema di generatori.

B è una base.

Trovata una base ne troviamo infinite basta moltiplicare i vettori della base con scalari diversi da zero ( ATTENZIONE !! non bisogna fare la chiusura lineare ma semplicemente moltiplicare per scalari diversi da zero ) , se si moltiplicano per scalari uguali a zero perdono l'indipendenza.

A/G 19 02/10/2017

Esempio 2

ℝ³

e₁ = (1, 0, 0)

e₂ = (0, 1, 0)

e₃ = (0, 0, 1)

B₃ = {e₁, e₂, e₃}

α (1, 0, 0) + β (0, 1, 0) + r (0, 0, 1) = 0

(α, 0, 0) + (0, β, 0) + (0, 0, r) = 0

α = 0

β = 0

r = 0

linearmente indipendenti

L(B) = { (x, y, z) | x, y, z ∈ ℝ }

B è una base

INFO!!

I VETTORI UNITARI e₁, e₂, e₃ ... e_n DANNO SEMPRE UNA BASE detta BASE NATURALE (B_N)

Esercizi svolti

ℝ³

S = { (0, 1, 0) , (2, 0, -1) , (0, 0, 1) }

X il punto 4 e 5 a pagina 18 sappiamo che

SONO INDIPENDENTI

VERIFICA

α (0, 1, 0) + β (2, 0, -1) + γ (0, 0, 1) = 0

(0 α, 0 α) + (2β, 0, -β) + (0, 0, γ) = 0

2β = 0   β = 0

α = 0   α = 0

γ - β = 0   γ = 0

∴ α = 0, β = 0, γ = 0

→ x = 0

→ x = 0

Sono INDIPENDENTI

Per il punto 2 e 3 a pagina 18 sappiamo che

SONO GENERATORI

VERIFICA

α (0, 1, 0) + β (2, 0, -1) + γ (0, 0, 1) = (a, b, c)

(0 α, 0 α) + (2β, 0, -β) + (0, 0, γ) = (a, b, c)

2β = d     β = a/2

α = b     α = b

γ - c - d/2     γ = c + d/2

Se è una base di ℝ³

Esercizio 2

ℝ³ T = { (-1, 1, 0) , (2, -2, 0) , (1, 1, -1) , (1, 1, 0) }

Per il punto 4 e 5 a pagina 18 sappiamo che sono

DIPENDENTI

VERIFICA

α(-1, 1, 0) + β(2, -2, 0) + γ(1, 1, -1) + δ(1, 1, 0) = 0

(-α, α, 0) + (2β, -2β, 0) + (γ, γ, -γ) + (δ, δ, 0)

α + 2β + f + δ = 0

-α = 2β + γ + δ = 0

α + 2β + γ + δ = 0

…alipendenti

Essendo dipendenti creiamo un sistema T' a partire dal sistema T, che avrà solamente i vettori indipendenti fra loro

T = { (1, 1, 0), (2, -2, 0), (1, 1, -1), (-1, 1, 0) }

w₁

w₁ - Controlliamo il primo vettore rispetto a sé stesso, questo risulterà essere sempre INDIPENDENTE

w₁ = 0

Affinché ciò sia vero devo verificarlo.

w₁ = 0 sappiamo non essere vero perché (-1, 1, 0) quindi 1 ≠ 0. Questo conferma che w₁1 è INDIPENDENTE

È indipendente, quindi lo aggiungiamo a T'.

T' = { (1, 1, 0), ... }

w₂

w₂ - Controlliamo se w₂ è dipendente rispetto a w₁.

(2, -2, 0) = n (1, 1, 0)

(2, -2, 0) = (n, n, 0)

• n = 2 → n = -2
• n = -2

w₂ dipende da w₁, quindi non lo aggiungiamo a T'.

w₃

w₃ - Controlliamo se è dipendente da w₁.

(1, 1, -1) = n (1, 1, 0)

(1, 1, -1) = (n, n, 0)

• n = 1 → n = -1
• n = 1 → impossibile

w₃ è indipendente da w₁, quindi lo aggiungiamo a T'.

A/C 99 22/10/2017

T^-1 = { (-1,1,0), (1,1,-1), ... }

w₄ - controlliamo se è indipendente da w₁ e w₃

α(-1,1,0) + β(1,1,-1) + γ(1,1,0) = 0

(-α, α, 0) + (β, β, -β) + (γ, γ, 0) = 0

Possiamo anche dire :

Controlliamo se w₄ appartiene alla chiusura lineare di w₁ w₃

_L( {w₁, w₃} )

{

α+β+γ=0 ----> γ+0+γ=0

α+β+γ=0 ----> γ+0=-γ

-β=0 ----> β=0

w₄ è linearmente indipendente quindi lo aggiungiamo a T^*

ℝ³

T^-1, w₁, w₃, w₄

T^* = {(-1,1,0), (1,1,-1), (1,1,0)}

T^* è un sistema di vettori linea monta i moldipendenti.

T^* ⊂ T

- sistema di generatori che ha perso l'indipendenza

- vettori indipendenti - sistema di generatori

T^* è una BASE

Esercizio 3

X = {

X₁ (-1,0,1), X₂ (0,1,1) X₃ (-1,-2,-1), X₄ (0,-2,-2) }

ℝ³

Siamo in ℝ³ questo sistema è formato da 4 vettori, quindi questi sarannosicuramente dipendenti.

Cerchiamo quindi di trovare un insieme X^* che contenga solo i vettori indipendenti fra loro

X₁ è linearmente indipendente (vedi esercizio 2). Lo aggiungiamo a X^*

X^* = {X, ... }

A/G 23 02/10/2017