Sistemi lineari Parte IV

I punti 4 e 5 ci dicono che se ad esempio siamo in _R³ devo avere un massimo di 3 vettori, altrimenti il sistema risulta non essere linearmente indipendente.

Esempio

_R²

e₁ = ( 1, 0 )

e₂ = ( 0, 1 )

B = { e₁ , e₂ }

linarmente indipendenti

Chiusura Lineare

| B ) = { | α e₁ + β e₂ | α, β _ε R | } =

= { | (α, 0 ) + ( 0, β ) | α, β _ε R | } =

= { | ( α+0 , 0+β ) | α, β _ε R | } =

= { | ( α, β ) | α, β _ε R | }

L’insieme ci da’ quindi il vettore generale (α, β ) detta la sua chiusura lineare, questo ci dice che la chiusura lineare ci fornisce tutti i vettori che _{ε R}², quindi è un insieme di generatori.

B è una base.

Trovata una base ne troviamo infiniti basta moltiplicare i vettori della base con scalari diversi da zero ATTENZIONE!! non bisogna fare la chiusura lineare ma semplicemente moltiplicatori per scalari diversi da zero, se si moltiplicano per scalari uguali a zero perdono l’indipendenza.

A/G 2° 02/10/2017

Esempio 2

ℝ³

e₁ = (1, 0, 0)    e₂ = (0, 1, 0)    e₃ = (0, 0, 1)

B = { e₁, e₂, e₃ }

α(1, 0, 0) + β(0, 1, 0) + γ(0, 0, 1) = 0

α(0, 0, 0) + β(0, 0, 0) + γ(0, 0, 0)

α = 0

β = 0

γ = 0

linearmente indipendenti

L(B) = { (x, y, z) | x, y, z ∈ ℝ }

B è una base

INFO !!

I VETTORI UNITARI e₁, e₂, e₃, ... e_n DANNO SEMPRE UNA BASE detta BASE NATURALE (B_N)

X₂ - controlliamo se è dipendente da X₁

(0,1,1) = n(-1,0,1)

(0,n+1,n) = (-n,0,n)

• n = 0
• 0 = 1
• n = 1

impossibile

X' = {X₁, X₂, ...}

X₃ - controlliamo se dipende da X₁ e X₂

α(-1,0,1) + β(0,1,1) + γ(-1,2,-1) = 0

(-α,0,α) + (0,β,β) + (-γ,-2γ,-γ) = 0

• -α-γ = 0 → α = γ
• β-2γ = 0 → β = 2γ
• α+β-γ = 0 → γ+2γ-γ = 0

impossibile

X₃ dipende da X₁ e X₂

X₄ - controlliamo se dipende da X₁ e X₂

α(-1,0,1) + β(0,1,1) = (0,-2,-2)

(-α,0,α) + (0,β,β) = (0,-2,-2)

• -α = 0
• β = -2
• β+α = -2

linearmente dipendente