Matrici e sistemi lineari

MATRICI

Una matrice di tipo m x n è una tabella di numeri disposti su m righe ed n colonne. Quando m = n la matrice si dice quadrata od di ordine n. I singoli numeri si dicono coefficienti o elementi della matrice. Dentro una matrice ogni coefficiente occupa una ben precisa posizione, identificata dalla riga e dalla colonna a cui appartiene. L'insieme delle matrici a coefficienti reali si indica con R^m,n, analogamente l’insieme delle matrici a coefficienti complessi si indica con C^m,n. Diciamo che due matrici sono uguali se sono uguali i coefficienti che hanno la stessa posizione. In generale, dato una matrice, si denota con a_ij l’elemento che appartiene alla i-esima riga e alla j-esima colonna. Da qui avremo una matrice di tipo 3 x 4 e si può quindi indicare con:

(_{a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34})

Ancora più in generale si può indicare una matrice con A = (a_ij) senza specificarne il tipo.

Definizione.

La TRASPOSTA di una matrice A è la matrice che si ottiene scambiando tra loro le righe e le colonne, si indicherà con A^T. Se A ∈ R^m,n, si ha A ∈ R^n,m. In particolare (A^T)^T = A.

Esempio (^{1 1 2 3}) (^{1 6} + ⁰) = (^{0 1})

+ (^{6 3 6}) = (^{2 5}) ¹) = (^{0 0 1})

VETTORI

Sono di particolare importanza le matrici che hanno soltanto una riga o soltanto una colonna; si dicono rispettivamente VETTORE RIGA e VETTORE COLONNA. Spesso la distinzione tra vettore riga e vettore colonna non è importante; in particolare si suole identificare gli insiemi R^m,1 e R^n,1 con R^m ed Rⁿ esattamente come quando si servono le coordinate cartesiane di un punto nel piano (vettore

di Rⁿ) o nello spazio (vettori di R³). Vettori riga e vettori colonna non sono solo casi particolari di matrici: infatti, data una qualsiasi matrice A ∈ R^m×n, possiamo considerare i suoi vettori riga v₁, ..., v_m ∈ R^1×n e i suoi vettori colonna c₁, ..., c_n ∈ R^m×1.

Sulle matrici si possono eseguire operazioni algebriche che generalizzano quelle che si fanno abitualmente con i numeri:

SOMMA DI MATRICI

Se A + B sono matrici m × n, si dice MATRICE SOMMA A + B la matrice m × n tale che il coefficiente che appartiene alla i-esima riga j-esima colonna è la somma dei coefficienti che appartengono alla i-esima e j-esima colonna di A e B.

PRODOTTO DI UN NUMERO PER UNA MATRICE

Data la matrice A di tipo m × n e il numero k, la matrice kA è la matrice di tipo m × n tale che il coefficiente che appartiene alla i-esima riga a j-esima colonna è k volte il coefficiente che appartiene alla i-esima e alla j-esima colonna. In particolare se k = 0, otteniamo la matrice nulla. Se k = -1, indichiamo kA con -A e A + (-A) = A - A = 0 e la matrice nulla. Osserviamo che matrici nulle di tipo diverso sono diverse anche se usiamo lo stesso simbolo O per indicarle.

Teorema

Le precedenti operazioni soddisfano le seguenti proprietà:

• la somma è commutativa (ossia A + B = B + A);
• la somma è associativa (ossia (A + B) + C = A + (B + C));
• il prodotto per un numero è distributivo rispetto alla somma (ossia k(A + B) = kA + kB);
• dati i numeri k, μ (k + μ) A = kA + μA;
• dati i numeri k, μ (kμ) A = k(μA)

Oltre alle precedenti operazioni, è possibile definire per le matrici anche un'operazione di prodotto: il prodotto riga per colonna (...

ossia:

• non ci sono due indicatori sulla stessa colonna;
• procedendo dall'alto verso il basso, gli indicatori si spostano da sinistra a destra;
• eventuali righe nulle sono tutte in basso.

esempi:

la matrice (¹ _{2 3 0 1} ⁰ _{1 2}  ⁰ _{0 0} ⁰ _{0 0 0}) è ridotta per righe e è anche ridotta a scaldi

la matrice B = (¹ _{2 3} ¹ _{0 9}) è ridotta per righe, non è ridotta a scaldi

Definizioni

a)

Dati i vettori riga R₁, ..., R_k appartenenti a Rⁿ, una loro COMBINAZIONE LINEARE è un vettore riga della forma a₁R₁ + ... + a_kR_k con a₁, ..., a_k ∈ R

Analoga definizione se R₁, ..., R_k sono vettori colonna appartenenti a R^m.

b)

I vettori riga R₁, ..., R_k si dicono LINEARMENTE INDIPENDENTI se l'equazione: x₁R₁ + ... + x_kR_k = 0 (dove 0 è il vettore riga di Rⁿ che ha coefficienti tutti nulli) ha solo la soluzione x₁ = ... = x_k = 0.

c)

I vettori riga R₁, ..., R_k si dicono LINEARMENTE DIPENDENTI se non sono linearmente indipendenti, ossia se uno di essi si può esprimere come combinazione lineare degli altri (basta osservare che scrivere R_k = a₁R₁ + ... + a_k-1R_k-1 è equivalente a scrivere a₁R₁ + ... + a_k-1R_k-1 + (-1)R_k = 0).

Proposizione

a)

Le righe non nulle di una matrice A ridotta a scaldi sono linearmente indipendenti; le colonne in generale no, ma sono linearmente indipendenti le colonne dotate di indicatori.

b)

Una colonna di A che è priva di indicatori se e solo se è combinazione lineare di quelle che la precedono.

Definizione

Sia A una matrice ridotta a scaldi; si dice

Osservazione

È chiaro che il numero m delle equazioni del sistema dato è definitivamente relativo a quello che conta il numero delle equazioni risolventi indipendenti. Ognuna di queste permette di esprimere una delle incognite in funzione delle altre.

Definizione

Dato un sistema lineare non omogeneo AX=B, il sistema AX=0 si dice sistema omogeneo associato.

Supponiamo di conoscere una soluzione Y del sistema AX=B e una soluzione Z del sistema omogeneo associato AX=0, allora A(Y+Z)=AY+AZ=3+B=0=B cioè Y+Z è un'altra soluzione del sistema AX=B, viceversa, trovata in qualche modo una soluzione particolare Y di AX=B, per ottenerle tutte basta sommarla con tutte le soluzioni del sistema AX=0.

Matrice Inversa

Operando fondamentalmente nello stesso modo, si possono applicare il metodo di Gauss e il teorema di Rouche-Capelli a sistemi lineari del tipo AX=B, con A∈R^(m,n), X∈R^(n), B∈R^(m). In questo caso, si può interpretare AX=B come un sistema di equazioni lineari sulle n righe di X. Consideriamo il caso particolare in cui il sistema è: AX=I_n con A, X∈R^(n,n), per definizione la soluzione (se esiste) è la matrice A^(-1) (inversa di A).

Corollario: Regola di Cramer

Il sistema lineare AX=B con A∈R^(n,n) invertibile ha una sola soluzione data da X=A^(-1)B.