Matrici e sistemi lineari

Matrici

Una matrice di tipo m x n è una tabella di numeri disposti su m righe e n colonne. Quando m = n, la matrice si dice quadrata di ordine n. I singoli numeri si dicono coefficienti o elementi della matrice. Dentro una matrice, ogni coefficiente occupa una ben precisa posizione, identificata dalla riga e dalla colonna a cui appartiene.

L'insieme delle matrici a coefficienti reali si indica con ℜ^m,n, analogamente l'insieme delle matrici a coefficienti complessi si indica con ℭ^m,n. Diciamo che due matrici sono uguali se sono uguali i coefficienti che hanno la stessa posizione.

In generale, dato una matrice, si denota con a_ij l'elemento che appartiene alla i-esima riga e alla j-esima colonna. Ad esempio, una matrice di tipo 3x4 può quindi indicarsi con:

(a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁₄ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₂₄ a₃₁ a₃₂ a₃₃ a₃₄)

Ancora più in generale, si può indicare una matrice con A = (a_ij) senza specificarne il tipo.

Definizione

La trasposta di una matrice A è la matrice che si ottiene scambiando tra loro le righe e le colonne; si denota con A^T. Se A ∈ ℜ^m,n, si ha A^T ∈ ℜ^n,m. In particolare, (A^T)^T = A.

Esempio

(1 2 3 6 5 6)^T = (1 6 2 5 3 6), * (0 1 1) = (0,1,0,1)

Vettori

Sono di particolare importanza le matrici che hanno soltanto una riga o soltanto una colonna, e si dicono rispettivamente vettori riga e vettore colonna. Spesso la distinzione tra vettore riga e vettore colonna non è importante, in particolare si usano per gli insiemi ℜⁿ, ℜⁿ e ℜⁿ esattamente come quando si serve la coordinata cartesiana di un punto nel piano.

Matrici

Una matrice di tipo m x n è una tabella di numeri disposti su m righe ed n colonne. Quando m=n, la matrice si dice quadrata di ordine n. I singoli numeri si dicono coefficienti o elementi della matrice. Dentro una matrice, ogni coefficiente occupa una ben precisa posizione identificata dalla riga e dalla colonna a cui appartiene.

L'insieme delle matrici a coefficienti reali si indica con R^{m x n}, analogamente l'insieme delle matrici a coefficienti complessi si indica con C^{m x n}. Diciamo che due matrici sono uguali se sono uguali i coefficienti che hanno la stessa posizione.

In generale, dato una matrice, si denota con a_ij l'elemento che appartiene alla i-esima riga e alla j-esima colonna. Ad esempio, una matrice di tipo 3 x 4 può quindi indicarsi con:

• (a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁₄)
• (a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₂₄)
• (a₃₁ a₃₂ a₃₃ a₃₄)

Ancora più in generale, si può indicare una matrice con A = (a_ij), senza specificarne il tipo.

Definizione

La trasposta di una matrice A è la matrice che si ottiene scambiando tra loro le righe e le colonne, si denota con A^T. Se A ∈ R^{m x n}, si ha A^T ∈ R^{n x m}. In particolare, (A^T)^T = A.

Esempio

(1 2 3) (1 6) (0)^T ⇒ (2 5) ⇒ (1)

(4 5 6) ⇒ (3 4) ⇒ (1)

(7 8 9)

Vettori

Sono di particolare importanza le matrici che hanno soltanto una riga o soltanto una colonna: si dicono rispettivamente vettore riga e vettore colonna. Spesso la distinzione tra vettore riga e vettore colonna non è importante; in particolare si è soliti identificare gli insiemi R^{n x 1}, R^{1 x n} ed Rⁿ esattamente con quanto si serve le coordinate cartesiane di un punto nel piano (vettori di Rⁿ) o nello spazio (vettori di R³). Vettori riga e vettori colonna non sono solo dei particolari di matrice; infatti, data una qualsiasi matrice A ∈ R^{m x n}, possiamo considerare i suoi vettori riga r₁,...,r_m ∈ R^{1 x n} e i suoi vettori colonna c₁,...,c_n ∈ R^{m x 1}.

Operazioni con le matrici

Somma di matrici

Se A e B sono matrici m x n, si dice matrice somma A+B la matrice m x n tale che il coefficiente che appartiene alla i-esima riga e j-esima colonna è la somma dei coefficienti che appartengono alla i-esima e j-esima colonna di A e B.

Prodotto di un numero per una matrice

Data la matrice A di tipo m x n e il numero K, la matrice KA è la matrice di tipo m x n tale che il coefficiente che appartiene alla i-esima riga e j-esima colonna è K volte il coefficiente che appartiene alla i-esima e j-esima colonna. In particolare, se K=0, otteniamo la matrice nulla. Se K=1, indichiamo KA con -A e A+(-A)=A-A=0 e la matrice nulla. Osserviamo che matrici nulle di tipo diverso sono diverse anch'esse.