Sistemi dinamici - Parte 2.1

Sistemi Dinamici

parte 2

Modellistica di Sistemi Idraulici

Vediamo le variabili di interesse nell'analisi dei modelli idraulici :

Densità e:

[e] = Kg/m³ ▷ Peso/Unità di volume

ad esempio, quant'è è la densità dell'acqua? 1L d'acqua coincide con circa 1 dm³, dunque:

1 dm = 10^-1 m ▷ 1 dm³ = 10^-3 m³

dunque:

e = ^103Kg/_1dm³ e = ^103Kg/_10^-3m³ e = 10³ Kg/m³

e = 10³ Kg/m³ è la densità dell'acqua

Volume V:

[V] = m³ ▷ Peso • Unità di volume

Pressione P:

[P] = ^N/_m² ▷ Forza • Unità di superficie

Pascals (PA)

[P] = ^N/_m² = P = ^Kg/_{m • s²} = ^Kg/_m²

a quanto corrisponde 1 Pa? Sappiamo che la pressione si misura in atmosfera o bar; il legame tra 1Pa e 1bar è che:

1bar = 10⁵ Pa = 10^{5 N}/_m² = 10 ^N/_dm²

Portata Volumetrica q:

[q] = ^m3/_s ▷ variazione nel tempo del volume occupato di un liquido

Teorema di Bernoulli

Supponiamo di considerare un liquido che si muove all'interno di una condotta in cui supponiamo di considerare due sezioni, una che si trova ad un'altezza h₁ e un'altra a un'altezza h₂. Supponiamo che vi sia una certa pressione P₁ nel punto d'ingresso e una certa pressione P₂ nel punto di uscita. Supponiamo che il liquido abbia una velocità uniforme V₁ nella sezione d'ingresso e V₂ nella sezione d'uscita. Il Teorema di Bernoulli dice che se il moto del liquido in tale condotta non è affetto da attrito (cioè se è un moto ideale), avremo che:

Posso scrivere questo schema anche in modo più pulito.

Posso eliminare il feedback:

¹⁄_SL = ^L⁄_{L + ^R⁄SL} = ^L⁄_{R + SL}

Posso riscrivere il sistema come:

Generalizzazione sugli schemi a blocchi

Se d²q₂⁄dt²=p, d²p⁄dt²=¹⁄₂p

Vediamo il caso del generico sistema delle equazioni di stato:

• ẋ = Ax + Bu
• y = Cx + Du

Questo è lo schema a blocchi del lo spazio di stato di qualsiasi sistema (devo solo indicare i valori di A, B, C e D).

Ciò che cambia rispetto agli schemi precedenti è il fatto che prima x era solo scalare, ora x può essere anche un vettore.

x=Ts U₁ = q U₂ = Ts y = x

ẋ = - ¹/_RCs x + ¹/_Cs(uv)

• B = 0
• C = 1
• D = 0

• ẋ = - ¹/_RCs x
• + ¹/_Cs U₁ + ¹/_RCs U₂
• y = x

Schema a blocchi :

Volendo la rappresentazione in forma ridotta, semplifico il feedback (che già avevo messo da parte con un secondo sommatore:

e ottengo:

Modello del Radiatore

Modello che si ottiene del precedente imponendo che il condizionatore

abbia una sue capacità, ovvero degli immagazzinamenti di calore (tipo stufe).

il radiatore ha una sue capacità CR e una sue temperature T_R e scambia con

le stanze attraverso uno scambio convettivo, caratterizzato da una resistenza termica R₁; nel circuito c'e' poi, come prima, lo scambio con e' l 'esterno :

Y(s) = G(s) U(s) = ¹/_sT+1 * ¹/_s

                    = ^1/T/_{s (s+¹/T)} = ^r₁/_s + ^r₂/_{s + ¹/T}

r₁ = lim_{s -> 0} sY(s) = lim_{s -> 0} s ^1/T/_{s(s + ¹/T)} = ^1/T

r₂ = lim_{s -> -1/T} (s + ¹/_T) ^1/T/_{s(s + ¹/T)} = ^1/T/_s = -1

Y(s) = ¹/_s - ¹/_{s + ¹/Τ ; y(t) = 1 - e^-t/Τ t ≥ 0}

Le risposte ha un polo in -¹/_Τ. L’andamento della risposte, invece, tenda e χ 1 per t -> ∞ :

lim t -> ∞ y(t) = lim t -> ∞ (1 - e^-t/Τ) = 1. Dunque, il velore

di regime è 1 e il transitorio ha un andamento di tipo esponenziale. Cerchiamo di capire quanto tempo è necessario espe ttaere purché e' uscitsa siχ α quasi 1.

Sappiamo che tracciando αe rette tangete ell' esponenzialc nell’artigine, questa icroliza il velore di regime proprio nello istante T. Questo possa vedersi numericamcnte tramite l'approssimazione con lo svilluppo in serie di Teylor el primo ordine del

εe stesse uscità :

y(t) ≈ 1 - (1 - ¹/_Τ e^-t/Τ t_t=0 = 1 - 1 + ^e/_t/Τ t + ...).

O quindi dire que per t molto piccolo (t