Sistemi lineari, Parte I

TEORIA DEGLI INSIEMI

L'insieme è una raccolta/collezione di oggetti, a due a due distinti, che soddisfano una proprietà.

• Si indicano con lettere maiuscole dell'alfabeto.
• Ciò che fa parte dell'insieme si detta "ELEMENTO".
• L'elemento può appartenere (∈) o non appartenere (∉) all'insieme.

∅ insieme privo di elementi: (insieme vuoto)

• _N insieme dei numeri naturali (escluso lo zero) _N { 1, 2, 3, 4, ... }
• ^No insieme dei numeri naturali (incluso lo zero) ^No { 0, 1, 2, 3, ... }
• _Z numeri interi relativi _Z { ±1, ±2, ±3, ... }
• _Q numeri razionali (finiti e infiniti periodici) _Q { 2/3, 3/9, π, 9 ∈ _Z 970 }
• ^R numeri razionali + numeri irrazionali.
• SINGLETON = insieme con un unico elemento.

Un insieme _A è incluso in _B se: ∀ x ∈ _A, x ∈ _B, allora possiamo affermare:

• _A ⊆ _B, ma non vale viceversa
• _A ⊈ _B
• _A ∈ _B possono coincidere, ma _A è contenuto in _B strettamente
• _A ∉ _B A ∈ contenuto in _B, _A ∈ _B, non possono coincidere, _A più piccolo di _B
• _A ⊆ _A è contenuto in sé stesso
• ∅ ⊂ _A L'insieme vuoto è contenuto in _A

L'insieme delle parti _P(u) è quell'insieme che ha come elementi altri insiemi.

25/09/17

L'insieme è definito da una proprietà che accomuna tutti gli elementi.

Una proprietà si dice DEFINTA in un insieme se:

• DEFINITA: siamo in grado di capire se una determinata proprietà è soddisfatta o meno da ogni elemento dell'insieme.
• IMPORTANTE: Non ci importa se la proprietà è soddisfatta o meno, ma dev'essere stabilito.

Una proprietà mi permette invece di creare altri due altri due sottinsiemi a partire da un insieme originario:

• 1° sottoinsieme → soddisfa la proprietà (è composto da elementi che soddisfano la proprietà)
• 2° sottoinsieme → sottoinsieme COMPLEMENTARE (è composto da elementi che non soddisfano la proprietà)

QUANTIFICATORI

∀ = "per ogni"

∃ = "esiste" (esiste almeno)

∃! = "esiste uno solo..."

OPERAZIONI CON INSIEMI

A ∩ B = è un insieme di elementi che appartiene ad A e a B.

(INTERSEZIONE)

A ∩ A = A

A ∩ ∅ = ∅ - non ci sono elementi in comune tra A e un insieme vuoto.

(UNIONE)

A ∪ B = un nuovo insieme che contiene sia gli elementi di A che di B, presi una volta.

A ∪ A = A

A ∪ ∅ = A

|A| = l'ordine dell'insieme, gli elementi che fanno parte di A

A/G, 2 25/09/2017

Operazione

SOMMA: ℝ × ℝ → ℝ

x, y → x + y

Proprietà commutativa

x + y = y + x ∀ x, y ∈ ℝ

Proprietà associativa

(x + y) + z = x + (y + z) ∀ x, y, z ∈ ℝ

Proprietà dell'elemento neutro

Esiste l'elemento neutro (0, zero) che sommato a un altro elemento ci ridà l'elemento stesso.

• ∀ x ∈ ℝ ∃ (−x) ∈ ℝ

Ad ogni elemento dell’insieme ℝ si può sommare un altro elemento dell’insieme ℝ (opposto al primo) e questa somma si chiama come risultato zero.

Operazione

PRODOTTO: ℝ × ℝ → ℝ

Proprietà commutativa

x y = y x

Proprietà associativa

x y (z) = y z (x)

Proprietà dell'elemento neutro

Esiste l'elemento neutro (1, uno) che moltiplicato per un altro elemento mi restituisce l'elemento stesso.

• ∀ x ∈ ℝ, x ≠ 0 ∃ 1/x ∈ ℝ

Per ogni elemento dell'insieme ℝ esiste il reciproco dell’elemento che appartenne anch’esso ad ℝ, tale che il prodotto tra l'elemento e il reciproco ci restituisce 1.

− x · 1/x = 1

A/G 6 26/09/2017