Sistemi lineari, Parte I

Teoria degli insiemi

L'insieme è una raccolta/collezione di oggetti, a due a due distinti, che soddisfano una proprietà.

• Si indicano con le lettere maiuscole dell'alfabeto
• Ciò che fa parte dell'insieme si dice "elemento"
• L'elemento può appartenere (∈) o non appartenere (∉) all'insieme

• ∅ insieme privo di elementi (insieme vuoto)
• IΝ insieme dei numeri naturali (escluso lo zero) ΙΝ 1, 2, 3, 4... !
• N0 insieme dei numeri naturali (incluso lo zero) N0 0, 1, 2, 3... !
• ℤ numeri interi relativi ℤ±1, ±2, ±3... !
• ℚ numeri razionali (finiti o infiniti periodici) ℚ 1/9, π∈ℤ/9ℤ97
• -ℝ numeri irrazionali + numeri razionali
• SINGLETON = insieme con un unico elemento

Un insieme A è incluso in B se: ∀x ∈ A x ∈ B. Allora possiamo affermare:

A ⊂ B, non vale viceversa

• A ⊂ B
• A ∉ B

possono coincidere, ma A è contenuto in B strettamente

A ⊂ B (A è contenuto) in B, A ∉ B, non possono coincidere

A contiene B: A è il più piccolo di B

A ⊂ A A è contenuto in se stesso

∅ ⊂ A L'insieme vuoto è contenuto in A

L'insieme delle parti P(u) è quell'insieme che ha come elementi altri insiemi

A/G 1 25/09/17

TEORIA DEGLI INSIEMI

L'insieme è una raccolta/collezione di oggetti a due a due distinti, che soddisfano una proprietà.

• S'indicano con le lettere maiuscole dell'alfabeto
• Ciò che fa parte dell'insieme si dice "ELEMENTO"
• L'elemento può appartenere (∈) o non appartenere (∉) all'insieme

• Ø insieme privo di elementi (insieme vuoto)
• IN insieme dei numeri naturali (escluso lo 0) ℕ | 1, 2, 3, 4... |
• ℕ₀ insieme dei numeri naturali (incluso lo 0) ℕ₀ | 0, 1, 2, 3... |
• ℤ numeri interi relativi ℤ | ±1, ±2, ±3... |
• ℚ numeri razionali (finiti o infiniti periodici) ℚ | p/q p∈ℤ q∈ℤ\{0}
• -ℝ numeri irrazionali: numeri non razionali
• SINGLETON: insieme con un unico elemento

Un insieme \( A \) è incluso in \( B \) se: \( \forall x \in A \rightarrow x \in B \). Allora possiamo affermare: \( A \subseteq B \), non vale viceversa.

• \( A \subset B \) A ∈ B possono coincidere, ma A è contenuto in B strettamente
• \( A \not\subset B \) A ∉ B contenuto ⊆ in B. A ∉ B, non possono coincidere, A è più piccolo di B
• \( A \subset A \) A è contenuto in se stesso
• Ø ⊆ A L'insieme vuoto è contenuto in A

L'insieme delle parti \( P(u) \) è quell'insieme che ha come elementi altri insiemi

L'insieme è definito da una proprietà che accomuna tutti gli elementi.

Una proprietà si dice DEFINITA in un insieme se:

• DEFINITA siamo in grado di capire se una determinata proprietà è soddisfatta o meno da ogni elemento dell'insieme

IMPORTANTE: Non importa se la proprietà è soddisfatta o meno, ma deve essere stabilito.

Una proprietà mi permette inoltre di creare altri due due sottinsiemi; a partire da un insieme originario

• 1° sottinsieme - soddisfa la proprietà (è composto da elementi che soddisfano la proprietà)
• 2° sottinsieme - sottoinsieme COMPLEMENTARE (è composto da elementi che non soddisfano la proprietà)

QUANTIFICATORI

• ∀ = "per ogni"
• ∃ = esiste (esiste almeno)
• ∃! = esiste uno solo " "

OPERAZIONI CON INSIEMI

A ∩ B - è un insieme di elementi che appartiene ad A e a B.

(INTERSEZIONE)

• A ∩ A = A
• A ∩ ∅ = ∅ - non ci sono elementi in comune tra A e un insieme vuoto

(UNIONE)

A ∪ B - un nuovo insieme che contiene sia gli elementi di A che di B, presi una volta

• A ∪ A = A
• A ∪ ∅ = A

|A| = l'ordine dell'insieme, gli elementi che fanno parte di A

P ∪ R sono due proprietà definite in S.

se un elemento soddisfa la proprietà P allora soddisfa anche R.

P ↔ R _(IMPLICA)

se un elemento soddisfa la proprietà P allora soddisfa anche R.

P ↔ R

P ∪ R sono due proprietà EQUIVALENTI

A ⊂ B ↔ A ∩ B = A

A ⊆ B ↔ A ∪ B = B

A - B = tutti gli elementi di A che non appartengono anche a B.

A - B = { x | x ∈ A e x ∉ B }

A - B ≠ B - A

PRODOTTO CARTESIANO

A × B = { (a ; b) | a ∈ A, b ∈ B }

Esempio:

A = { 3, -5, 8 }   B = { 1, 2 }

A × B = { (3 ; 1), (3 ; 2), (-5 ; 1), (-5 ; 2), (8 ; 1), (8 ; 2) }

A × B ≠ B × A

f : S → T

Funzione DEFINITA in S a valori in T

Definizione: una legge che a ogni elemento di S associa uno e uno solo elemento di T.

1. Tutti gli elementi di S devono essere associati.
2. Non tutti gli elementi di T devono essere associati.
3. A un elemento di T possono corrispondere più elementi di S.

S = DOMINIO   T = CODOMINIO

L'immagine di funzione è l'insieme di T composto da tutti gli elementi che, appartenento a T, sono associati attraverso f a S.

Quando j(S) = ∑_mj = T la funzione si dice SURIETTIVA

la funzione si dice INETTIVA

Una funzione che, sia iniettiva che suriettiva si dice BIETTIVA ed esiste la funzione inversa.

Esempio:

La funzione risulta essere SURIETTIVA infatti ad ogni elemento del codominio corrisponde uno e un solo elemento del dominio; infatti esiste la funzione inversa

Ad ogni valore di y corrispondente un valore di x → FUNZIONE SURIETTIVA

Ad ogni elemento di y corrispondente uno e un solo valore di x → FUNZIONE INIETTIVA

Non è BIETTIVA

Non è BIETTIVA

A/G 4. 25/09/17

Funzione Composta

f: S → T

g: T → K

g∘f: x ∈ S → d

f(x) ∈ T → g → g(f(x)) ∈ K

(composta)

Esempio:

f: x ∈ ℝ → x² ∈ ℝ⁺

g: y ∈ ℝ → 3y+1 ∈ ℝ

g∘f: x ∈ ℝ → x² ∈ ℝ⁺ → 3x²+1 ∈ ℝ⁺

Proprietà:

f∘f⁻¹: identità

f⁻¹∘f

g∘f ≠ f∘g

identità_T

identità_S

f: S → T

f⁻¹: T → S

f∘f⁻¹: x ∈ T → f⁻¹ f(x) ∈ S → f(f⁻¹(x)) ∈ T

Ho ottenuto x ∈ T

f⁻¹∘f: x ∈ S → f(x) ∈ T → f⁻¹(f(x)) ∈ S

Ho ottenuto x ∈ S