Riassunto esame Sistemi per l'energia e l'ambiente, prof. Borello, libro consigliato Sistemi per l' ambiente,Caputo

Equazione di stato

L’equazione di stato è funzione di tre grandezze: ρ = f(p, T).

Considerando un gas, quindi, le forze che si esercitano tra le molecole si trascurano, allora p = ρRT = RT ρ/V.

Avendo usato il volume specifico: 1/V = ρ.

Grafici trasformazioni

Isoterma, adiabatica, isocora, isobara.

Trasformazioni

Isocora

Trasformazione a volume costante.

ΔU = Q + L; L = 0; Q = ΔU = CvΔT.

Una trasformazione isocora di un gas perfetto è descritta dalla seconda legge di Gay-Lussac: p₁/T₁ = p₂/T₂.

Isobara

Trasformazione a pressione costante.

ΔU = Q + L; L = −p(V₂ − V₁); Q = ΔH = CpΔT, dove l’entalpia H = U + pV = U + ρV.

Una trasformazione isobara di un gas perfetto è descritta dalla seconda legge di Gay-Lussac: V₁/T₁ = V₂/T₂.

Isoterma

Trasformazione a temperatura costante.

ΔU = 0. Allora, in base al primo principio della termodinamica: Q = L.

V = RT/p.

L = RT ln(V₂/V₁).

Adiabatica

Trasformazione in cui non vi è trasferimento di calore: Q = 0.

Se il sistema è conservativo, la trasformazione è isoentropica.

Se si tratta di un gas vale la relazione: Cv dT + p dV = 0.

Cp/Cv = k.

pV^k = costante. Trasformazione adiabatica.

Una trasformazione adiabatica è una trasformazione termodinamica irreversibile nel corso della quale un sistema non scambia calore con l’ambiente, quindi Q = 0.

Adiabatica reversibile isoentropica: nel caso di un sistema conservativo l’integrale di Clausius diventa nullo: Cv dT + dL = 0.

In assenza di lavoro isocoro si ha l’equazione di Poisson, che ha come soluzioni:

T V^{γ − 1} = costante.

pV^γ = costante.

Tp^{(1 − γ)/γ} = costante.

Quindi posso esprimere il lavoro come: L = −CvΔT = −Cv(T₂ − T₁) = −CvT₁[(V₁/V₂)^{γ − 1} − 1].

Piano entropico

Le trasformazioni che giacciono sull’asse delle ordinate sono le adiabatiche reversibili o isoentropiche, in cui ΔS = 0.

Le isobare e le isocore invece sono tratti di linee di tipo logaritmico; se il gas è perfetto tutte le isocore e le isobare sono tra loro congruenti, sovrapponibili.

Una proprietà del piano entropico è che le aree sottese dalle trasformazioni rappresentano il calore scambiato; questo però è valido solo per trasformazioni reversibili: dQ = TdS. In caso di trasformazioni irreversibili il termine TdS contiene anche il termine dL fornito dall’attrito e dalle altre sorgenti di irreversibilità.

p, T, S.

Curva di Andrews

Nel piano T, S le isobare si trovano tutte adagiate sulla curva limite inferiore. Nel campo del saturo l’isobara diventa anche isoterma 3-4. Le adiabatiche sono segmenti di retta perpendicolari all’asse S e isoentropiche, cioè reversibili.

Piano entalpico

Il piano entalpico presenta particolare interesse per i vapori surriscaldati e saturi. Nei vapori saturi la temperatura rimane costante isoentalpica lungo l’isobara.

Il piano entalpico consente di rappresentare una importante trasformazione reale, cioè una che nel caso di gas perfetto coincide con l’isoterma. In una isoentalpica la temperatura diminuisce (espansione Joule-Thomson): dH = Cp dT.

Adiabatica: ∫dL = ∫dH; Q = 0. Adiabatica isoentropica.

Isobara: ∫dQ = ∫dH = Cp dT.

Il piano entalpico mostra l’irreversibilità: una trasformazione adiabatica in cui non c’è variazione di entropia nel caso ideale, invece mostra un aumento di entropia nel caso reale; perciò posso scrivere che il rendimento è pari a: η = (H₁ − H’₂)/(H₁ − H₂).

Se la macchina fosse ideale il rendimento sarebbe pari a: η = Q₂/(Q₁ − Q₂).

Isobare

Quando mi muovo su trasformazioni isobare: δQ = dH = Cp dT.

La tangente lungo una isobara è pari alla temperatura: tg α = dH/dQ = dH/dS = T.

Piano di Mollier

Il punto critico C, nel piano di Mollier, non si trova nel punto più alto della campana del saturo, bensì è spostato a sinistra e costituisce il punto di flesso della successione delle curve limiti di saturazione. Questo perché le isobare si trovano adagiate sulla curva limite inferiore, ma poiché nel piano H-S la pendenza delle isobare è la temperatura, la pendenza cresce all’aumentare della pressione, conferendo concavità verso l’alto.

Titolo

Il titolo è il rapporto tra il fluido vaporizzato e la portata totale; per misurarlo nello stato di vapore, inizialmente allo stato M incognito, si fa subire una espansione isoentalpica, dalla quale sul diagramma si risale all’intersezione dell’isoentalpica con l’isobara alla pressione pM misurabile.

Compressione reale adiabatica

Se devo comprimere un fluido dalla pressione p₁ alla pressione p₂, le strade sono molteplici, dalla adiabatica alla isotermica realizzabile per sottrazione di calore.

Compressione isotermica

Nel caso di compressione isotermica, considero la politropica equivalente ma, dovendo restare temperatura e entalpia costanti, il lavoro compiuto eguaglia il calore sottratto; nel piano T-S il calore è l’area sottesa dalla trasformazione.

L = RT ln(p₂/p₁).

Compressione adiabatica

Nel caso di una compressione adiabatica, per l’assenza di calore scambiato: dL = dH = Cp dT.

L = [k/(k − 1)] ρ₁ T₁[(p₂/p₁)^{(k − 1)/k} − 1].

Si debba comprimere un fluido da p₁ a p₂, la più frequente è l’adiabatica, che in assenza di attriti è l’isoentropica 1-2; nel caso reale l’adiabatica è ad entropia crescente 1-2’, oppure si può realizzare mediante una isotermica nella quale va sottratto calore. In questo caso il lavoro varrebbe l’area della curva sottesa dalla trasformazione, cioè il calore sottratto. L = RT₁ ln(p₂/p₁).

Nel caso di compressione adiabatica, per l’assenza di calore scambiato: dL = dH = Cp dT.

Nel caso di compressione reale il lavoro vale: L = Cp(T’₂ − T₁) = [k/(k − 1)] ρ₁T₁[(p₂/p₁)^{(m − 1)/m} − 1].

Lavoro politropico

Il lavoro politropico risulta dal lavoro per una trasformazione ideale sostituendo il termine k a m:

L_pol = [m/(m − 1)] ρ₁T₁[(p₂/p₁)^{(m − 1)/m} − 1].

L’incremento di lavoro che, rispetto all’adiabatica reversibile, è necessario conferire al fluido per comprimerlo dalla pressione p₁ a p₂ è dato da:

ΔL = L_ad − L_s = [k/(k − 1)] ρ₁T₁[(p₂/p₁)^{(m − 1)/m} − (p₂/p₁)^{(k − 1)/k}].

Tale lavoro è maggiore del lavoro passivo L_p.

Lavoro di attrito

Il vero e proprio lavoro di attrito L_p si riduce a:

L_p = L_T − L_pol = [k/(k − 1)]ρ₁T₁[(p₂/p₁)^{(m − 1)/m} − 1].

Conclusione

Si può concludere che in una compressione reale adiabatica, il lavoro da spendere L_T è maggiore di quello richiesto dalla compressione isoentropica L_(s) di un importo pari al lavoro di attrito L_p e a quello necessario per compensare la dilatazione del fluido prodotto dall’attrito stesso. Quest’ultimo termine viene chiamato controrecupero, perché L_T − L_(s) > L_p.

La bontà di un apparecchio per la compressione dei fluidi (compressore) può venire indicata dal valore di un parametro variabile da zero a uno, il rendimento.

Poiché il lavoro reale L_T è maggiore del lavoro L_rev richiesto in qualsivoglia trasformazione reversibile, posso scrivere il rendimento di compressione: η_c = L_rev/L_T.

Posso scrivere quindi i rendimenti adiabatico e politropico:

η_ad = [(p₂/p₁)^{(k − 1)/k} − 1]/[(p₂/p₁)^{(m − 1)/m} − 1].

Rendimento politropico

Il rendimento politropico serve per poter distinguere il lavoro d’attrito da quello di dilatazione del fluido, cioè di controrecupero:

η_pol = L_pol/L_reale.

η_pol = [(p₂/p₁)^{(m − 1)/m} − 1]/[(p₂/p₁)^{(k − 1)/k} − 1].

η_T(s) < η_pol < η.

Espansione reale adiabatica

Se si considera un processo isoentropico, il fluido fornisce lavoro dato dall’espressione: L = H₁ − H_2(s), che si può rappresentare quale calore scambiato a pressione costante, in valore assoluto:

L_s = [k/(k − 1)]ρ₁T₁[1 − (p₂/p₁)^{(k − 1)/k}].

Nella realtà però il lavoro vale:

L_r = [k/(k − 1)]ρ₁T₁[1 − (p₂/p₁)^{(m − 1)/m}].

Inferiore al lavoro isoentropico della quantità:

L_r − L_s = [k/(k − 1)]ρ₁T₁[(p₂/p₁)^{(m − 1)/m} − (p₂/p₁)^{(k − 1)/k}].

Si conclude che nell’espansione adiabatica la perdita di lavoro per causa degli attriti è di importo inferiore rispetto a quello del lavoro d’attrito, quindi una parte del lavoro viene recuperata. La parte recuperata è detta lavoro di recupero. Esso è dovuto alla dilatazione del fluido provocata dagli attriti.

In definitiva, mentre nella compressione la presenza degli attriti impone un aumento di lavoro speso superiore al lavoro dissipato (controrecupero), nell’espansione la perdita di lavoro è minore del lavoro d’attrito (recupero).

Il rendimento adiabatico è: η = L_r/L_(s).

Cicli e processi periodici termodinamici

Ciclo di Carnot nel piano T-S

T, S, Q, T. Caratterizzato dall’esistenza di 2 sole sorgenti, il rendimento del ciclo di Carnot è pari a: η = 1 − T_min/T_max.

Cicli ideali, limite e reali

Ciclo ideale è il ciclo percorso dal fluido ideale nella macchina perfetta. Riferendolo ai gas bisogna considerare il gas perfetto; la caratteristica è di avere calori specifici c_p e c_v costanti. La macchina perfetta è in grado di non introdurre nel processo perdite indesiderate. In queste condizioni il ciclo ideale è descrivibile.

Ciclo di Joule

Si riferisce ad un impianto di turbina a gas in circuito aperto avente rapporto manometrico β. Viene definito ciclo ideale il ciclo termodinamico percorso dal fluido ideale operante nella macchina perfetta. Si definisce rapporto di compressione: β = p₂/p₁ = T₂/T₁.

Nota la temperatura T₁ dell’aria aspirata, è: ρ₁ = p₁/(RT₁).

Nel punto 2, essendo la compressione 1-2 isoentropica: T₂/T₁ = β^{(k − 1)/k}, con k = 1,4.

Al punto 3 si ha, avendo fornito calore dall’esterno: Q₁ = c_p(T₃ − T₂).

Per un ciclo ideale, note le caratteristiche, è possibile esprimere i lavori e i calori scambiati: ΔH = c_pΔT = Q + L.

Ciclo limite

Ciclo compiuto dal fluido reale nella macchina perfetta, rappresenta il limite al quale può tendere il miglioramento tecnologico delle macchine.

Ciclo di Hirn

Ciclo limite se si ha a che fare con i vapori, il lavoro è pari a: L = Q₁ − Q₂.

Ciclo reale

Ciclo percorso dal fluido reale nella macchina reale. La differenza con il ciclo limite sta nella imperfezione della macchina. Si evidenzia il fatto che le trasformazioni 1-2 di compressione reale, essendo a entropia crescente, si discostano da quelle del ciclo limite; la combustione 2-3 si modifica in 2’-3’ a pressione decrescente a causa delle perdite di carico in camera di combustione. Infine, per l’espansione 3’-4’ ad entropia crescente fino alla pressione p₁.

Effetti termodinamici

Effetto Carnot

Fissate due temperature estreme T₁ e T₂, il ciclo di massimo rendimento è quello di Carnot. Qualunque ciclo termodinamico ha rendimento inferiore a quello di Carnot.

Nel ciclo di Carnot il rendimento è superiore a quello di qualunque altro ciclo; si consideri un qualunque altro ciclo inserito nel ciclo di Carnot. Poiché i calori scambiati sono rappresentati come aree è facile osservare che: η = Q₂/Q₁ < η* = Q*₂/Q*₁.

Effetto di molteplicità delle sorgenti

Un qualsiasi ciclo può essere suddiviso in qualsivoglia numero di parti mediante virtuali trasformazioni isoentropiche.

In un ciclo che presenti molteplicità di sorgenti il rendimento tanto più si allontana da quello di Carnot quanto maggiore è l’escursione di temperatura che interessa gli scambi di calore. In un ciclo suddiviso in un numero n di parti il rendimento del ciclo è la media pesata dei rendimenti dei cicli parziali.

η = L/Q₁ = Ση_iQ_1i/ΣQ_1i.

Praticando infinite suddivisioni del ciclo, per ciascun ciclo parziale le trasformazioni infinitesime a scambio di calore possono considerarsi isoterme. Al limite ogni ciclo parziale diventa un ciclo di Carnot di rendimento 1 − T’/T’’.

Perciò alla fine il rendimento è pari non più alla sommatoria ma agli integrali: η = ∫_A^Bη*dQ₁/∫_A^BdQ₁ = 1 − ∫_A^B(T’/T’’)dQ₁/∫_A^BdQ₁.

Per il teorema della media integrale posso scrivere: η = 1 − T_fredda/T_calda.

In conclusione, in un ciclo che presenti molteplici sorgenti, il rendimento tanto più si allontana da quello del ciclo di Carnot, quanto maggiore è l’escursione di temperatura che interessa gli scambi di calore.

Riassumendo

L’effetto Carnot pone un limite superiore invalicabile al rendimento termodinamico dei cicli. L’effetto di molteplicità delle sorgenti riduce ancora questo limite prescindendo dalle irreversibilità.

Effetto Clausius

L’effetto Clausius mette in conto la presenza delle irreversibilità. Posso dire che l’entropia è una funzione di stato. Indicando i contributi alla variazione di entropia dei soli scambi di calore con: σ’ = Q₁/T₁; σ’’ = Q₂/T₂.

η = 1 − σ’T₁/(σ’’T₂).

Posso scrivere: η = 1 − T_fredda/T_calda = 1 − σ_minT_min/(σ_maxT_max) = 1 − ζT_min/T_max, il quale è minore del rendimento del ciclo di Carnot: η = 1 − ζT_min/T_max < η* = 1 − T_min/T_max.

Il parametro sigma, che cresce rispetto all’unità a misura che le “sorgenti entropiche” interne al ciclo si presentano cospicue, riduce il rendimento del processo. Esso può quindi considerarsi come grado di irreversibilità del ciclo, poiché assume valore 1 per i cicli reversibili ed aumenta in funzione della irreversibilità.

Trasformazione isoterma

Una trasformazione isoterma è tale se il prodotto pV = costante e nel piano pV è rappresentata da una iperbole equilatera.

Essendo l’energia interna funzione di stato dipendente solo de