Riassunto esame Sistemi per l'energia e l'ambiente, prof. Borello, libro consigliato Sistemi per l' ambiente,Caputo

EQUAZIONE DI STATO

!

L’equazione di stato è funzione di tre grandezze

!

! !

( )

ρ

f p, ,T

Considerando un gas quindi le forze che si esercitano tra le molecole si

trascurano allora

p = ℜT

= ℜT pV

ρ

Avendo usato il volume specifico

1

=

V ρ

GRAFICI TRASFORMAZIONI

Isoterma Adiabatica

Isocora Isobara

TRASFORMAZIONI

ISOCORA ISOBARA

trasformazione a trasformazione a

Volume costante Pressione costante

= ΔU +

= ΔU + Q L

Q L = −

L p V p V

2 2 1 2

=

L 0 ( )

= − = ΔT

Q H H C

2 1 p

( )

= ΔT dove l’ENTALPIA

Q C v p

= + = +

H U pV U ρ

Una trasformazione ISOCORA di Una trasformazione ISOBARA di

un gas perfetto è descritta dalla un gas perfetto è descritta dalla

seconda legge di Gay-Lussac seconda legge di Gay-Lussac

p p V V

=

1 2 =

1 2

T T T T

1 2 1 2

ISOTERMA

ADIABATICA trasformazione a temperatura

trasformazione in cui costante

non vi è trasferimento

di calore ΔU = 0

= =

Q 0 Q L

Allora in base al

primo principio della termodinamica V

= ℜT

( ) 2

L ln

ΔT + =

C L 0 V

1

Se il sistema è conservativo

la trasformazione è isoentropica p

= −ℜT

se si tratta di un gas 2

L ln

vale la relazione p

1

+ =

C dT pdV 0

v p

=

C 1

V V

=

p k 2 1

C p

v 2

=

k

pV Cost. Trasformazione adiabatica

una trasformazione adiabatica è una trasformazione termodinamica irreversibile nel

corso della quale un sistema non scambia calore con l’ambiente quindi Q=0.

Adiabatica reversibile isoentropica

nel caso di un sistema conservativo l’integrale di Clausius diventa nullo

+ =

CdT dL 0

in assenza di lavoro isocoro si ha l’equazione di Poisson che ha come soluzioni

⎧ γ −1 =

⎪

TV co.

⎪

+ = γ =

CdT pdV 0 ⎨ pV co.

⎪ γ

1−

⎪ γ =

Tp co.

⎩

quindi posso esprimere il lavoro come

γ −1

⎡ ⎤

⎛ ⎞

V

= −C ΔT = − = −

⎢ ⎥

1

L C (T T ) C T T ⎜ ⎟

⎝ ⎠

v v 1 2 v 1 1

⎢ ⎥

V

⎣ ⎦

2

Piano entropico

Le trasformazioni che giacciono sull’asse delle ordinate sono le adiabatiche reversibili o isoentropiche in cui

ΔS = 0

le isobare e le isocore invece sono tratti di linee di tipo logaritmico, se il gas è perfetto tutte le isocore e le isobare sono tra loro

congruenti, sovrapponibili.

Una proprietà del piano entropico è che le aree sottese dalle trasformazioni rappresentano il calore scambiato questo però è

valido solo per trasformazioni reversibili dQ=TdS. In caso di trasformazioni irreversibili il termine TdS contiene anche il termine

dL fornito dall’attrito e dalle altre sorgenti di irreversibilità.

p T S

Curva di Andrews

Nel piano T,S le isobare si trovano tutte adagiate sulla curva limite inferiore. Nel

campo del saturo l’isobara diventa anche isoterma 3-4. Le adiabatiche sono segmenti

di retta perpendicolari all’asse S e isoentropiche, cioè reversibili.

Piano entalpico

Il piano entalpico presenta particolare interesse per i vapori surriscaldati e saturi. Nei vapori saturi la temperatura rimane costante

isoentalpica

lungo l’isobara. Il piano entalpico consente di rappresentare una importante trasformazione reale cioè una che nel

caso di gas perfetto coincide con l’isoterma. In una isoentalpica la temperatura diminuisce (espansione Joule-Thomson)

=

dH C dT

p

Adiabatica H

∫ ∫

=

dL dH Isoentalpica

=

Q 0 Adiabatica isoentropica

Isobara

∫ ∫

=

dQ dH

=

p k S

Il piano entalpico mostra l’irreversibilità, una trasformazione adiabatica in cui non c’è

variazione di entropia nel caso ideale invece mostra un aumento di entropia nel

caso reale perciò posso scrivere che il rendimento è pari a

− '

H H

η = 1 2

−

H H

1 2

se la macchina fosse ideale il rendimento sarebbe pari

Q

η = 2

1− Q

1 ISOBARE

Quando mi muovo su trasformazioni

δ

= =

dH Q C dT

p

la tangente lungo una isobara è pari alla temperatura

dH dH

α = = =

tg T

dQ

dS T

Piano di Mollier

Il punto critico C, nel piano di Mollier, non si trova nel punto più alto della campana

del saturo, bensì è spostato a sinistra e costituisce il punto di flesso della

successione delle curve limiti di saturazione. Questo perchè le isobare si trovano

adagiate sulla curva limite inferiore, ma poichè nel piano H S la pendenza delle

isobare è la temperatura, la pendenza cresce all’aumentare della pressione,

conferendo concavità verso l’alto.

titolo

Il è il rapporto tra il fluido vaporizzato e la portata totale, per misurarlo nello

stato di vapore, inizialmente allo stato M incognito si fa subire una espansione

isoentalpica, dalla quale sul diagramma si risale all’intersezione dell’isoentalpica con

l’isobara alla pressione pM misurabile.

Compressione reale adiabatica

Se devo comprimere un fluido dalla pressione p1 alla pressione p2 le strade sono

adiabatica isotermica

molteplici, dalla alla realizzabile per sottrazione di calore.

isotermica

Nel caso di compressione , considero la politropica equivalente ma

doendo restare temperatura e entalpia costanti il lavoro compiuto eguaglia il calore

sottratto, nel piano T S il calore è l’area sottesa dalla trasformazione.

p

= ℜT 2

L ln

T p

1

adiabatica

Nel caso di una compressione per l’assenza di calore scambiato

= =

dL dH C dT

p

⎡ ⎤

k−1

⎛ ⎞

k p p k

⎢ ⎥

= −

1 2

L 1

⎜ ⎟

⎢ ⎥

ρ

− ⎝ ⎠

k 1 p

⎢ ⎥

1 1

⎣ ⎦

Si debba comprimere un fluido da p a p , la più frequente è l’adiabatica, che in

1 2

assenza di attriti è l’isoentropica 1-2, nel caso reale l’adiabatica è ad entropia

crescente 1-2 , oppure si può realizzare mediante una isotermica nella quale va

1

sottratto calore. In questo caso il lavoro varrebbe l’area della curva sottesa dalla

trasformazione, cioè il calore sottratto.

L =R T ln p /p

T 1 2 1

Nel caso di compressione adiabatica per l’assenza di alore scambiato:

dL = dH = c dT

p

Nel caso di compressione reale il lavoro vale

⎡ ⎤

m−1

⎛ ⎞

k p p m

⎢ ⎥

( )

= − = −

1 2

L c T T 1

⎜ ⎟

⎢ ⎥

ρ

− ⎝ ⎠

T p 2' 1 k 1 p

⎢ ⎥

1 1

⎣ ⎦

lavoro politropico

Il risulta dal lavoro per una trasformazione ideale sostituendo il

k m:

termine a

⎡ ⎤

m−1

⎛ ⎞

m p p m

⎢ ⎥

= −

1 2

L 1

⎜ ⎟

⎢ ⎥

ρ

− ⎝ ⎠

pol m 1 p

⎢ ⎥

1 1

⎣ ⎦

di lavoro

L’incremento che, rispetto all’adiabatica reversibile, è necessario

p p

conferire al fluido per comprimerlo dalla pressione a è dato da:

1 2

⎡ ⎤

m−1 k−1

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

k p p p

m k

⎢ ⎥

( )

ΔL = − = −

1 2 2

L L s ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎢ ⎥

ρ

− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ad T k 1 p p

⎢ ⎥

1 1 1

⎣ ⎦

Tale lavoro è maggiore del lavoro passivo L .

p

lavoro di attrito L

Il vero e proprio si riduce a:

p

⎡ ⎤

m−1

⎛ ⎞

⎛ ⎞

k m p p m

⎢ ⎥

= − = − −

1 2

⎜ ⎟

L L L 1

⎜ ⎟

⎢ ⎥

⎝ ⎠ ρ

− − ⎝ ⎠

p T pol k 1 m 1 p

⎢ ⎥

1 1

⎣ ⎦

Conclusione L

Si può concludere che in una compressione reale adiabatica, il lavoro da spendere

T

L(s)

è maggiore di quello richiesto dalla compressione isoentropica di un importo

lavoro di attrito L

pari al ed a quello necessario per compensare la dilatazione del

p lavoro di

fluido prodotto dall’attrito stesso. Quest’ultimo termine viene chiamato

controrecupero, L - L(s) > L

perché “controrecupero” è il fenomeno che rende T p

La bontà di un apparecchio per la compressione dei fluidi (compressore) può venire

rendimento.

indicata dal valore di un parametro variabile da zero a uno, il

lavoro reale L lavoro L

Poiché il è maggiore del richiesto in qualsivoglia

T rev

rendimento di compressione:

trasformazione reversibile, posso scrivere il

L

η = rev

c L

T adiabatico politropico:

Posso scrivere quindi i rendimenti e

⎡ ⎤

k−1

⎛ ⎞

k p p k

⎢ ⎥

−

1 2 1

⎜ ⎟

⎢ ⎥

ρ

− ⎝ ⎠ k−1

k 1 p β −

⎢ ⎥

1 1

⎣ ⎦ 1

k

η = =

⎡ ⎤

ad m−1

m−1 β

⎛ ⎞ − 1

m

k p p m

⎢ ⎥

−

1 2 1

⎜ ⎟

⎢ ⎥

ρ

− ⎝ ⎠

k 1 p

⎢ ⎥

1 1

⎣ ⎦

rendimento politropico

Il serve per poter distinguere il lavoro d’attrito da quello

di dilatazione del fluido(cioè, di controrecupero):

L

η = pol

pol L reale

⎡ ⎤

k−1

⎛ ⎞

m p p k

⎢ ⎥

−

1 2 1

⎜ ⎟ m

⎢ ⎥

ρ

− ⎝ ⎠

m 1 p

⎢ ⎥

1 1

⎣ ⎦ −

m 1

η = =

⎡ ⎤

pol k

k−1

⎛ ⎞

k p p k

⎢ ⎥ −

− k 1

1 2 1

⎜ ⎟

⎢ ⎥

ρ

− ⎝ ⎠

k 1 p

⎢ ⎥

1 1

⎣ ⎦

η η η

< <

T (s ) pol

Espansione reale adiabatica

Se si considera un processo isoentropico, il fluido fornisce lavoro dato

dall’espressione:

L =H -H

(s) 2 1

che si può rappresentare quale calore scambiato a pressione costante, in valore

assoluto:

⎡ ⎤

k−1

⎛ ⎞

k p p k

⎢ ⎥

= 1 2

L 1− ⎜ ⎟

( ) ⎢ ⎥

ρ

− ⎝ ⎠

s k 1 p

⎢ ⎥

1 1

⎣ ⎦

Nella realtà però il lavoro vale:

⎡ ⎤

m−1

⎛ ⎞

k p p m

⎢ ⎥

= 1 2

L 1− ⎜ ⎟

⎢ ⎥

ρ

− ⎝ ⎠

r k 1 p

⎢ ⎥

1 1

⎣ ⎦

inferiore al lavoro isoentropico della quantità:

⎡ ⎤

m−1 k−1

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

k p p p

m k

⎢ ⎥

− = −

1 2 2

L L ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

( ) ⎢ ⎥

ρ

− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

r

s k 1 p p

⎢ ⎥

1 1 1

⎣ ⎦

Si conclude che nell’espansione adiabatica la perdita di lavoro per causa degli attriti

è di importo inferiore rispetto a quello del lavoro d’attrito, quindi una parte del

lavoro di recupero.

lavoro viene recuperata. La parte recuperata è detta Esso è

dovuto alla dilatazione del fluido provocata dagli attriti.

In definitiva mentre nella compressione la presenza degli attriti impone un aumento

di lavoro speso superiore al lavoro dissipato(controrecupero), nell’espansione la

perdita di lavoro è minore del lavoro d’attrito(recupero).

rendimento adiabatico

Il è:

L

η = r

ad L

( )

s

Cicli e processi periodici termodinamici

Ciclo di Carnot nel piano T S

T Q Caratterizzato

1

2 3 dall’esistenza di 2 sole

sorgenti, il rendimento

del ciclo di carnot è

1 4

Q pari a

2 T

S η = min

1− T

max

Cicli ideali, limite e reali

Ciclo ideale è il ciclo percorso dal fluido ideale nella macchina perfetta. Riferendolo

ai gas bisogna considerare il gas perfetto,la caratteristica è di avere calori specifici c

p

e c costanti. La macchina perfetta è in grado di non introdurre nel processo perdite

v indesiderate. In queste condizioni il ciclo ideale è descrivibile.

Ciclo di Joule

Si riferisce ad un impianto di turbina a gas in circuito aperto avente rapporto

beta.

manometrico Viene definito ciclo ideale il ciclo termodinamico percorso dal

rapporto di

fluido ideale operante nella macchina perfetta. si definisce

compressione

p T

β = =

2 2

p T

1 1

Nota la temperatura T dell’aria aspirata, è:

1

p

ρ = 1 T

1 1

R

Nel punto 2, essendo la compressione 1-2 isoentropica:

k−1 1

β ρ ρ β

= =

T T k k

2 1

2 1 k=1,4

con

Al punto 3 si ha, avendo fornito calore dall’esterno:

Q

( ) = +

= − 1

T T

Q c T T 3 2

1 p 3 2 c p

Per un ciclo ideale, note le caratteristiche è possibile esprimere i lavori e i calori

scambiati:

ΔH = + ΔT = +

c Q L

Q L p

Ciclo limite

Ciclo compiuto dal fluido reale nella macchina perfetta, rappresenta il limite al quale

può tendere il miglioramento tecnologico delle macchine.

Ciclo di Hirn

Ciclo limite se si ha a che fare con i vapori, il lavoro è pari a

= −

L Q Q

1 2

Ciclo di reale

Ciclo percorso dal fluido reale nella macchina reale. La differenza con il ciclo limite

sta nella imperfezione della macchina. Si evidenzia il fatto che le trasformazioni 1-2 1

di compressione reale essendo a entropia crescente si discostano da quelle del ciclo

limite, la combustione 2-3 si modifica in 2 -3 a pressione decrescente a causa delle

1 1

perdite di carico in camera di combustione. Infine per l’espansione 3 -4 ad entropia

1 1

crescente fino alla pressione p .

1

Effetti termodinamici

Effetto Carnot

Fissate due temperature estreme T e T il ciclo di massimo rendimento è quello di

1 2

Carnot. Qualunque ciclo termodinamico ha rendimento inferiore a quello di Carnot.

Nel ciclo di Carnot il rendimento è superiore a quello di qualunque altro ciclo, si

consideri un qualunque altro ciclo inserito nel ciclo di Carnot. Poichè i calori

scambiati sono rappresentati come aree è facile osservare che:

*

Q Q

η η

= < = *

2 2

1− 1− *

Q Q

1 1

Effetto di molteplicità delle sorgenti

Un qualsiasi ciclo può essere suddiviso in qualsivoglia numero di parti mediante

virtuali trasformazioni isoentropiche.

In un ciclo che presenti molteplicità di sorgenti il rendimento tanto più si allontana

da quello di Carnot quanto maggiore è l’escursione di temperatura che interessa gli

scambi di calore. In un ciclo suddiviso in un numero n di parti il rendimento del ciclo

è la media pesata dei rendimenti dei cicli parziali.

∑ η Q

L

η = = i 1i

i

∑

Q Q

1 1i

Praticando infinite suddivisioni del ciclo, per ciascun ciclo parziale le trasformazioni

infinitesime a scambio di calore possono considerarsi isoterme. Al limite ogni ciclo

1-T’/T’’

parziale diventa n ciclo di Carnot di rendimento

Perciò alla fine il rendimento è pari non più alla sommatoria ma agli integrali:

T '

B

∫

B

∫ η dQ

* dQ 1

T ''

1

η = = A

A 1−

B B

∫ ∫

dQ dQ

1 1

A A

per il teorema della media integrale posso scrivere:

T

η = fredda

1− T

calda

In conclusione in un ciclo che presenti molteplici sorgenti, il rendimento tanto più si

allontana da quello del ciclo di Carnot, quanto maggiore è l’escursione di

temperatura che interessa gli scambi di calore.

Riassumendo

L’effetto Carnot pone un limite superiore invalicabile al rendimento termodinamico

dei cicli. L’effetto di molteplicità delle sorgenti riduce ancora questo limite

prescindendo dalle irreversibilità.

Effetto Clausius

L’effetto Clausius mette in conto la presenza delle irreversibilità. Posso dire che

l’entropia è una funzione di stato.

Indicando i contributi alla variazione di entropia dei soli scambi di calore con:

Q Q

σ = σ =

1 2

' '' T

T 2

1 σ 'T

η = 1

1− σ ''T

2

Posso scrivere:

σ T

'T T

η σ σζ

= = =

fredda

1 min

1− 1− 1−

σ ''T T T

2 calda max

il quale è minore del rendimento del ciclo di Carnot

T T

η σζ η

= < =

min min

1− * 1−

T T

max max

Il parametro sigma, che cresce rispetto all’unità a misura che le “sorgenti

entropiche” interne al ciclo si presentano cospicue, riduce il rendimento del

processo. Esso può quindi considerarsi come del ciclo, poichè

grado di irreversibilità

assume valore 1 per i cicli reversibili ed aumenta in funzione della irreversibilità.

Trasformazione isoterma

una trasformazione isoterma è tale se il prodotto pV=costante e

nel piano pV è rappresentata da una iperbole equilatera.

Essendo l’energia interna funzione di stato dipendente solo de