Lezioni, Sistemi per l'energia e l'ambiente

P

Ricordando che l’entalpia è:

( )

= +

dh du d pv

e che:

la variazione di energia interna =

du c dT

V

la variazione di entalpia =

dh c dT

P

possiamo riscrivere la relazione precedente come segue:

( )

= +

c dT c dT d pv

P V

inoltre, poiché per i gas perfetti vale la legge universale dei gas , possiamo riscrivere:

=

pV RT

(RT )

= +

c dT c dT d

P V

Poiché rappresenta la costante specifica dei gas (quindi indipendente da ) possiamo portarla

R T

dalla derivata:

fuori 15

SISTEMI PER L'ENERGIA E L'AMBIENTE A.A. 2013/2014

= +

c dT c dT R dT

P V

possiamo a questo punto dividere tutto per e riscrivere:

dT

(RELAZIONE DI MAYER)

= +

c c R

P V

Ottenendo così la relazione di Mayer che mette in relazione, per i gas perfetti, tramite la costante

specifica dei gas, il calore specifico a pressione costante e il calore specifico a volume costante.

16

SISTEMI PER L'ENERGIA E L'AMBIENTE A.A. 2013/2014

Dalle espressioni dell’entalpia e dell’energia interna :

h u

δ

= +

dh q vdp

δ

= −

du q pdv

possiamo vedere che compaiono, oltre al calore, due forme di lavoro differenti:

Lavoro tecnico

=

vdp Lavoro termodinamico

− =

pdv

Dall’espressione:

( )

= +

dh du d pv

Possiamo vedere che la differenza tra entalpia ed energia interna è:

( ) = −

d pv dh du

in cui, sostituendo le espressioni dell’entalpia e dell’energia interna:

δ

= +

dh q vdp

δ

= −

du q pdv

otteniamo:

( ) ( ) da cui:

δ δ

= + − −

d pv q vdp q pdv

( ) dove Lavoro tecnico

= + =

d pv vdp pdv vdp Lavoro termodinamico

− =

pdv

Possiamo vedere che le due forme di lavoro che compaiono nell’espressione dell’entalpia e

nell’espressione dell’energia interna sono tra loro differenti, pur tenendo in considerazione le stesse

variabili.

Entrambi sono lavori che il sistema scambia con l’esterno, ma sono due forme di lavoro differente.

17

SISTEMI PER L'ENERGIA E L'AMBIENTE A.A. 2013/2014

Vediamo la differenza tra le due forme di lavoro analizzando un generico sistema in cui avviene una

trasformazione termodinamica di compressione che fa passare il sistema dalla condizione 1 (con

una certo volume specifico e la pressione bassa) alla condizione 2 (con un volume specifico

p

e una pressione più alta)

minore p

In generale, a rigore è sempre possibile parlare di energia interna e di entalpia per qualunque

sistema termodinamico, tuttavia si ragiona in termini di energia interna quando si trattano sistemi

chiusi, mentre si ragiona in termini di entalpia quando si trattano sistemi

aperti. lavoro termodinamico

Se consideriamo il sistema chiuso, il lavoro (lavoro termodinamico) per far

passare il sistema dalla condizione 1 alla 2, sarà pari all’integrale di – e

pdv

dall’area sottesa rappresentata a lato (rosso)

identificato lavoro tecnico

Se consideriamo il sistema aperto, il lavoro (lavoro tecnico) per far

passare il sistema dalla condizione 1 alla 2, sarà dato dall’integrale di ,

vdp

e sarà identificato dall’area rappresentata a lato (verde):

del tutto evidente che i due lavori sono differenti, vediamo a cosa è

E’

dovuta fisicamente tale differenza.

In particolare, nell’analisi di un sistema aperto (è dunque possibile lo scambio di massa con

l’esterno), è necessario considerare il lavoro svolto dal fluido che entra nel sistema e da quello che

ne esce.

Infatti il fluido compie un lavoro sul sistema per entrare nel sistema (nel

caso del compressore spinge il pistone verso il basso), tale lavoro è

identificabile con l’area tratteggiata rappresentata a lato (magenta). lavoro compiuto dal

fluido sul sistema

il fluido viene compresso e il sistema compie lavoro sul fluido per

Quindi

farlo uscire dal sistema (nel caso del compressore il pistone spinge il fluido

verso l’uscita), tale lavoro è identificabile con l’area tratteggiata

rappresentata a lato (blu). lavoro compiuto dal

sistema sul fluido

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SISTEMI PER L'ENERGIA E L'AMBIENTE A.A. 2013/2014

Se sommiamo le azioni compiute sul fluido (lavoro tecnico + lavoro per far uscire il fluido dal

e vi sottraiamo le azioni compiute dal fluido (lavoro per far entrare il fluido nel sistema)

sistema) per differenza il lavoro termodinamico.

otteniamo

Quindi se consideriamo un sistema chiuso, teniamo conto quindi del solo lavoro compiuto

internamente al sistema (per modificarne l’energia interna), allora stiamo considerando il lavoro

termodinamico.

Se consideriamo la variazione di entalpia è necessario tener conto anche

del fluido che entra ed esce dal sistema.

La differenza tra lavoro tecnico e lavoro termodinamico è detta

, graficamente identificato

DI PULSIONE (O DI TRAVASO)

LAVORO

dal riquadro evidenziato in giallo, è rappresentato dalla differenza tra il

lavoro effettuato dal fluido sul sistema (in ingresso) e il lavoro effettuato

dal sistema sul fluido (in uscita).

di aver un flusso all’interno di un condotto di

Immaginiamo

sezione variabile (quindi un sistema aperto).

Nel condotto identifichiamo una sezione di ingresso e una

Σ

1

sezione di uscita .

Σ 2

ci saranno le condizioni , , mentre

Alla sezione Σ p T

1 1 1

ci saranno le condizioni , .

Alla sezione Σ p T

2 2 2

Il sistema scambia calore e lavoro con l’esterno.

Q L

Ipotizziamo che il sistema si trovi in regime permanente, quindi la portata in massa che entra dalla

è uguale alla portata in massa che esce dalla sezione e che il bilancio di energia nel

sezione Σ Σ

1 2

tratto di condotta si mantenga costante.

Facciamo alcune considerazioni. , entra un volume di fluido che sarà dato dal

In un istante temporale, attraverso la superficie Σ v

1 1

prodotto della sezione di entrata per lo spostamento infinitesimo (a sua volta dato dal

Σ dx

1 1

prodotto della velocità del fluido in ingresso per l’istante di tempo infinitesimo ):

dt

w

1

= =

v dx w dt

Σ Σ

1 1 1 1 1

Analogamente, attraverso la superficie , uscirà un identico volume di fluido, che sarà dato dal

Σ v

2 2

prodotto della sezione di uscita per lo spostamento infinitesimo (a sua volta dato dal

Σ dx

2 2

prodotto della velocità del fluido in uscita per l’istante di tempo infinitesimo ):

dt

w

2

= =

v dx w dt

Σ Σ

2 2 2 2 2 legato al

Possiamo quindi vedere che, in un generico istante di tempo, il lavoro di pulsione L P

, mentre in termini assoluti è pari a ) sarà dato

fluido (che in termini differenziali è pari a ( ) pv

d pv

dalla differenza tra il lavoro svolto dal sistema sul fluido (in uscita), e il lavoro svolto dal fluido sul

sistema (in ingresso), cioè: 19

SISTEMI PER L'ENERGIA E L'AMBIENTE A.A. 2013/2014

dove lavoro di pulsione

= − =

L p v p v L

2 2 1 1

P P

Attraverso le superfici di ingresso e di uscita dal sistema, possiamo valutare inoltre:

la variazione di energia cinetica del fluido, in generale così definita:

∆

• E

cin

2 2

−

w w

1 2 dove massa o portata in massa;

∆ = =

E G G

cin 2 , velocità del fluido: in ingresso, in uscita

=

w w

1 2

la variazione di energia potenziale del fluido, in generale così definita:

• ∆ E pot

dove massa o portata in massa;

( ) =

∆ = − G

E h h gG

1 2

pot accelerazione gravitazionale;

=

g , quota del fluido: in ingresso, in uscita

=

h h

1 2

il calore scambiato dal sistema con l’esterno;

• Q

il lavoro scambiato dal sistema con l’esterno. In particolare, volendolo considerare nella sua

• L

integrità, il lavoro è composto da due parti, il lavoro tecnico e il lavoro dissipato dagli

L L

tec attr

attriti:

= −

L L L

tec attr

Andando a scrivere il primo principio della termodinamica per questo sistema avremo:

 

 

2 2

−

w w

 

1 2

( ) ( )

 

∆ = + − + + − + −

u Q p v p v G h h g L L

 

1 1 2 2 1 2 tec attr

2

 

 

In forma differenziale (in forma intensiva ovvero per unità di massa) avremo:

[ ( )] [ ] [ ]

δ δ δ

= + − + − + − + −

du q d pv wdw gdh l l

tec attr

Il lavoro di attrito rappresenta una perdita di lavoro, esso cioè è una componente che va sempre a

riduzione del lavoro prodotto (viene cioè sottratto dal lavoro prodotto dal sistema) e viene dissipato

in calore. Quindi il calore scambiato dal sistema con l’esterno comprende 2 componenti di calore:

un calore di tipo “esterno” (cioè effettivamente legato allo scambio termico attraverso le superfici

del sistema) e un calore “attrito” (dovuto alla dissipazione in calore del lavoro di attrito):

δ δ δ

= +

q q q

est attr

Dunque la forma differenziale della variazione di energia interna viene effettivamente così

rappresentata: 20

SISTEMI PER L'ENERGIA E L'AMBIENTE A.A. 2013/2014

[ ( )] [ ] [ ]

δ δ δ δ

= + + − + − + − + −

du q q d pv wdw gdh l l

est attr tec attr

Dato che, il lavoro di attrito viene dissipato in calore, cioè:

δ δ

=

q l

attr attr

è possibile effettivamente eliminare i due contributi:

[ ( )] [ ] [ ]

δ δ δ δ

= + + − + − + − + −

wdw gdh

du q q d pv l l

est attr tec attr

e ottenere: ( )

δ δ

= − − − +

du q d pv w dw gdh l

est tec

dove praticamente calore di attrito e lavoro di attrito si compensano.

Quindi l’energia interna non si “accorge” degli attriti perché il contributo complessivo dato dal

lavoro perso in attrito e il calore acquisito a causa del medesimo attrito è sempre nullo.

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SISTEMI PER L'ENERGIA E L'AMBIENTE A.A. 2013/2014

2° PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA (PRINCIPIO DELL’EVOLUZIONE)

Il secondo principio della termodinamica è quel principio ch