Sistemi Energetici - SE ProprietaTDNGas

Proprietà TDN dei gas

Modello di gas ideale: gas costituiti da molecole uguali che non interagiscono solo per urti perfettamente elastici.

Equazione di stato

U = U(p, T)

pV = _R/_Mm T

R = 8314 _J/_mol·K

Relazione di Mayer

C_P - C_V = T _∂p/_{∂T ∂V}/_∂T = R

Calcolo delle condizioni termodinamiche

μ = μ(T)

_∂U/_∂p = 0; C_V = _dU/_dT = C_V(T)

μ(T) - μ(T_rif) = ∫_Trif^T C_V(T) dT

h = h(T)

_∂h/_∂p = 0; C_P = _dh/_dT = C_P(T)

h(T) - h(T_rif) = ∫_Trif^T C_P(T) dT

(T, P) = λ(T_rif, P_rif) + ∫_Trif^T _CP(T)/_T dT - R ln _P/_Prif

Proprietà TDN dei gas

Modello di gas ideale: gas costituiti da molecole uguali che tra loro che interagiscono solo per urti perfettamente elastici.

Equazione di stato

U = U(p, T)

pU = _R/_Mm T

R = 8314 _J/_{mol K}

Relazione di Mayer

C_p - C_v = T _∂p/_{∂T ∂V}/_∂T = R

Calcolo delle condizioni termodinamiche

μ = μ(CT): _∂U/_∂p = 0; C_v = _dU/_dT = C_v(CT)

μ(CT) - μ(T_rif) = ∫_Trif^T C_v(CT)dT

h = h(CT): _∂h/_∂p = 0; C_p = _dh/_dT = C_p(T)

h(CT) - h(T_rif) = ∫_Trif^T C_p(CT) dT

(T, p) = λ(T_rif, P_rif) + ∫_Trif^T _Cp(T)/_T dT - R ln _p/_Prif

Calcolo dei calori specifici

Grazie alla meccanica quantistica veniamo a studiare le variazioni di Cp e Cv in funzione delle temperature, stabilendo un legame tra U (energia interna) e T (energia cinetica).

GdL traslazionali

Indicano la posizione X, Y, z nello spazio, sono sempre 3 per ogni tipo di molecola.

Mono- •

Bi-atomico • •

GdL rotazionali

Possibile rotazione delle molecole attorno ad un asse principale (x, y o z) che causano un incremento o una riduzione della distanza tra gli atomi.

Mono-: 0 f_R

Bi-: •

Poli-atomiche All. • •: 2 f_R

Tri-: • •: 3 f_R

GdL vibrazionali

Possibile vibrazione dei nuclei atomici delle molecole intorno alla posizione media che causano la variazione della distanza tra i nuclei | atomi.

Mono-: 0 f_V

Bi-: •: 1 f_V

Poli All.: • 3 h_at — 5 f_V

Poli: Non All.: •: 3 h_at — 6 f_V

Osservazione

I gradi di libertà rotazionali e vibrazionali non sono costanti e hanno una dipendenza dalla temperatura.

L'andamento del C_v dell'idrogeno molecolare è un valido esempio per questa dipendenza.

Andamento a scalino al crescere della temperatura.

Prima si ha f_r.

Dopo aver attivato tutti gli f_r, si attivano gli f_v.

Quindi:

C_v = ^{f_r + ρ_R(T)}⁄₂ R + ∫v(T)·R.

Nota: nel range di (300 ÷ 1000)K si approssima bene con un polinomio del 3° grado.

C_v = a₀ + a₁T + a₂T² + a₃T³

Nel range di (1000 ÷ 4000)K si approssima bene la funzione:

(C_v(T) = b₀ + b₂ T^1/4 + b₂ T^1/2 + b₃ T^3/4)

La NASA ha determinato i valori dei coefficienti!

Modello di gas perfetto

È un gas ideale avente Cv costante e quindi grazie alla relazione di Mayer: Cp = Cv + R = costante.

Tale modello si presta bene per:

• Gas monoatomici che avendo i GDL rotazionali e vibrazionali nulli non hanno dipendenza dalla temperatura.
• Gas ideali: in range limitati di temperatura; la variazione del calore specifico a volume costante è modesta Cv(T).

Quindi:

μ(T) - μ_o = Cv (T - T_o)

h(T) - h_o = Cp (T - T_o)

s(T, p) - s(T_o, p_o) = Cp ln ^T⁄_To - R ln ^p⁄_po

p V^γ = cst lungo una isentropica

p Vⁿ = cst per trasformazioni politropiche.

Limiti modello gas ideale

Alte temperature: > 2000°C

Le molecole alle alte temperature si dissociano perché sono favorite reazioni di dissociazione che sono endotermiche.

I gas monoatomici ionizzano, perdendo un elettrone.

Nascono quindi forze tra le particelle di gas e l'ipotesi di gas ideale viene meno.

Basse temperature

Le forze intermolecolari diventano significative rispetto alle forze esibite in occasione degli urti tra le molecole.

Il lavoro delle forze di Van der Waals diventa significativo rispetto all'energia cinetica delle molecole.

Effetto di gas reale

Definiamo Z = V/V_id = V/(RT/P) ≠ 1: fattore di comprimibilità.

Se pressione sale il discontimento non è più trascurabile.

A pari pressione, se temperatura cala il discontimento non è trascurabile e aumenta.

Equazione di stato

Deve essere definita nelle loro di dati sperimentali e viene generalmente fornita come una relazione che legge volume, pressione e temperatura.

U = U(P, T)

Da essa si ricava:

R(C, T, P) = h(C, T, P=>) + ∫_P=>^P[U - T(∂U/∂T)_P]dP

R_gas(T)Δgn(T, P): effetto di gas reale

S(C, T, P) = Δ(C, T, P=>) + ∫_P=>^P(-S ∂U/∂T)|_P=T + (R/P))dP

Δgn(T, P): effetto di gas reale

Nota: per un oss ideale:

h ≠ Cp(T - Tnif)

U ≠ Cv(T - Tnif)

v ≠ RT/P

S ≠ Cp ln(T/Tnif) - R ln(P/Pnif)

Devo conoscere Eq di stato: U = U(P, T) e applico Maxwell.

Diagramma h-s o Tabelle ottenute da dati sperimentali.

Principio degli stati corrispondenti

È un metodo di tipo approssimato per stimare l'equazione di stato V = f(P, T) di gas reali se non si dispone di misure sperimentali ma conoscendo solo:

• Pcr: pressione del punto critico del gas.
• Tcr: temperatura del punto critico del gas.
• Vcr: volume specifico del punto critico del gas.

"Ogni gas a parità di temperatura ridotta _T / _Tcr (adimensionale), pressione ridotta _P / _Pcr (adimensionale), ha lo stesso fattore di comprimibilità _Z, ovvero lo stesso scostamento dal comportamento di gas ideale."

_Z = f(T_cr, P_cr) è uguale per tutti i gas