Sistemi Energetici - SE ProprietaTDNGas

PROPRIETÀ TDN DEI GAS

Modello di gas ideale: gas costituiti da molecole uguali che non interagiscono solo per urti perfettamente elastici

Equazione di stato

U = U(p, T)

pV = _R/_Mm T

R = 8314 _J/_mol·K

Relazione di Mayer

C_P - C_V = T _∂p/_{∂T ∂V}/_∂T

= R

Calcolo delle condizioni termodinamiche

μ = μ(T)

_∂U/_∂p = 0; C_V = _dU/_dT = C_V(T)

μ(T) - μ(T_rif) = ∫_Trif^T C_V(T) dT

h = h(T)

_∂h/_∂p = 0; C_P = _dh/_dT = C_P(T)

h(T) - h(T_rif) = ∫_Trif^T C_P(T) dT

(T, P) = λ(T_rif, P_rif) + ∫_Trif^T _CP(T)/_T dT - R ln _P/_Prif

Proprietà TDN dei Gas

Modello di gas ideale: gas costituiti da molecole uguali che tra loro che interagiscono solo per urti perfettamente elastici

Equazione di stato

U = U(p,T)

pU = _R/_Mm T

R = 8314 _J/_{mol K}

Relazione di Mayer

C_p-C_v=T _∂p/_{∂T ∂V}/_∂T

= R

Calcolo delle condizioni termodinamiche

μ = μ(CT): _∂U/_∂p = 0; C_v = _dU/_dT = C_v (CT)

μ(CT) - μ (T_rif) = ∫_Trif^T C_v(CT)dT

h = h(CT): _∂h/_∂p = 0; C_p = _dh/_dT = C_p(T)

h(CT) - h (T_rif) = ∫_Trif^T C_p(CT) dT

(T,p) = λ (T_rif, P_rif) + ∫_{Trif^T Cp(T)}/_T dT - R ln _p/_Prif

CALCOLO DEI CALORI SPECIFICI

grazie alla meccanica quantistica veniamo a studiare le variazioni di Cp e Cv in funzione delle temperature. stabilendo un legame tra U (energia interna) e T (energia cinetica).

GdL TRASLAZIONALI:

indicano la posizione X,Y,z nello spazio sono sempre 3 per ogni tipo di molecula

Mono- ^• Bi-atomico ^{• •}

GdL ROTAZIONALI:

possibile rotazione delle molecule attorno ad un asse principale (x,y o z) che causano un incremento o una riduzione della distanza tra gli atomi.

Mono-: 0 f_R

Bi-: ^• Poli-atomiche All. ^{• •}: 2 f_R

Tri-: ^{• •}: 3 f_R

GdL VIBRAZIONALI:

possibile vibrazione dei nuclei atomici delle molecule intorno alla posizione media che causano la variazione della distanza tra i nuclei | atomi.

Mono-: 0 f_V

Bi-: ^•: 1 f_V

Poli All.: ^• 3 h_at — 5 f_V

Poli: NON All.: ^•: 3 h_at— 6 f_V

Osservazione

I gradi di libertà rotazionali e vibrazionali non sono costanti e hanno una dipendenza dalla temperatura.

L'andamento del C_v dell'idrogeno molecolare è un valido esempio per questa dipendenza.

• Andamento a scalino al crescere della temperatura.
  • prima si ha f_r
  • dopo aver attivato tutti gli f_r, si attivano gli f_v.

Quindi

C_v = ^{f_r + ρ_R(T)}⁄₂ R + ∫v(T)·R.

Nota: nel range di (300 ÷ 1000)K si approssima bene con un polinomio del 3° grado

C_v = a₀ + a₁T + a₂T² + a₃T³

nel range di (1000 ÷ 4000)K si approssima bene la funzione:

(C_v(T) = b₀ + b₂ T^1/4 + b₂ T^1/2 + b₃ T^3/4)

La NASA ha determinato i valori dei coefficienti!

Modello di gas perfetto:

è un gas ideale avente Cv costante e quindi grazie alla relazione di Mayer: Cp = Cv + R = costante.

Tale modello si presta bene per:

• a. gas monoatomici che avendo i GDL rotazionali e vibrazionali nulli non hanno dipendenza dalla temperatura.
• b. gas ideali: in range limitati di temperatura; la variazione del calore specifico a volume costante è modesta Cv(T).

Quindi

• μ(T) - μ_o = Cv (T - T_o)
• h(T) - h_o = Cp (T - T_o)
• s(T, p) - s(T_o, p_o) = Cp ln ^T⁄_To - R ln ^p⁄_po
• p V^γ = cst lungo una isentropica
• p Vⁿ = cst per trasformazioni politropiche.

Limiti Modello Gas Ideale

Alte Temperature: > 2000°C

• molecole alle alte temperature si dissociano perché sono favorite reazioni di dissociazione che sono endotermiche
• gas monoatomici ionizzano, perdendo un elettrone

• Nascono quindi forze tra le particelle di gas e l'ipotesi di gas ideale viene meno

Basse Temperature

le forze intermolecolari diventano significative rispetto alle forze esibite in occasione degli urti tra le molecole

• Il lavoro delle forze di Van der Waals diventa significativo rispetto all'energia cinetica delle molecole

Effetto di Gas Reale

Definiamo

Z = V/V_id = V/(RT/P) ≠ 1: Fattore di comprimibilità

• Se pressione sale il discontimento non è più trascurabile
• A pari pressione, se temperatura cala il discontimento non è trascurabile e aumenta

Equazione di stato

deve essere definita nelle loro di dati sperimentali e viene generalmente fornita come una relazione che legge volume, pressione e temperatura.

U = U(P,T)

Da essa si ricava:

• R(C,T,P) = h(C,T,P=>) + ∫_P=>^P[U - T(∂U/∂T)_P]dP

R_gas(T)

Δgn(T,P): effetto di gas reale

• S(C,T,P) = Δ(C,T,P=>) + ∫_P=>^P(-S ∂U/∂T)|_P=T + (R/P))dP

Δgn(T,P): effetto di gas reale

NOTA: Per un oss ideale

• h ≠ Cp(T - Tnif)
• U ≠ Cv(T - Tnif)
• v ≠ RT/P
• S ≠ Cp ln(T/Tnif) - R ln(P/Pnif)

Devo conoscere

• Eq di stato: U=U(P,T) e applico Maxwell
• Diagramma h-s o Tabelle ottiente da dati sperimentali.

Principio degli stati corrispondenti

È un metodo di tipo approssimato per stimare l'equazione di stato V = f(P, T) di gas reali se non si dispone di misure sperimentali ma conoscendo solo:

• Pcr: pressione del punto critico del gas
• Tcr: temperatura del punto critico del gas
• Vcr: volume specifico del punto critico del gas

"ogni gas a parità di temperatura ridotta

_T / _Tcr (adimensionale)

pressione ridotta

_P / _Pcr (adimensionale)

ha lo stesso fattore di comprimibilità _Z, ovvero lo stesso scostamento dal comportamento di gas ideale"

_Z = f(T_cr,P_cr) è uguale per tutti i gas