Sistemi elettrici ed elettronici

1^o Principio di Kirchhoff (KCL)

In un qualsiasi nodo della rete elettrica la somma delle correnti i entranti è uguale alla somma di quelle uscenti. ∑i_i^ent. = ∑i_i^usc.. Questo principio deriva dalla legge di conservazione della carica: poiché nei nodi non avviene accumulo di carica, la corrente entrante è uguale a quella uscente.

2^o Principio di Kirchhoff (KVL)

La somma algebrica delle f.e.m. agenti lungo i rami di una maglia è uguale alla somma dei prodotti delle intensità di corrente di ciascun ramo per le rispettive resistenze (delle resistenze). ∑i_kR_k = ∑f_k. In altre parole, in una maglia la somma delle tensioni è nulla → ∑v_k = 0.

Ponte di Wheatstone

v_ac = ^E/_{R1 + R2}

v_bc = ^R_x/_{R3 + Rx} E

v_ab = (v_a−v_c)−(v_b−v_c) = E ^R₂/_{R1 + R2} − E ^R₁/_{R3 + Rx}

^R₂/_{R1 + R2} − ^R_x/_{R3 + Rx}

^R_x/_{Rx + R3} = ^R₂/_{R1 + Rb} − ^v_ab/_E → R_x = ^k/_{1 − k} R₃

Circuito utilizzato per misurare una resistenza R_x → lettura di sensori di temperatura o deformazione. (Utile per piccole variazioni di R_x)

Teorema di Thèvenin

Una generica rete elettrica lineare contenente resistenze e generatori indipendenti si comporta, tra due terminali a e b, come un bipolo elettrico equivalente costituito da un generatore reale di tensione equivalente generatrice equivalente di f.e.m. pari alla tensione a vuoto tra a e b e di resistenza interna pari alla resistenza vista dai terminali a e b una volta annullati i generatori.

Teorema di Norton

Una generica rete elettrica lineare contenente resistenze e generatori indipendenti si comporta, tra due terminali a e b, come un bipolo elettrico equivalente costituito da un generatore reale di corrente, di corrente pari alla corrente di c.c. tra a e b di resistenza pari a R_T.

Equivalenza Thèvenin-Norton: R_T = R_n j_{n Rt = RN}

Principio di sovrapposizione degli effetti

In una rete elettrica lineare alimentata da n generatori, le tensioni ai nodi

e le correnti alle maglie sono ottenibili come la somma algebrica dei

contributi dei singoli generatori, supposti agenti uno alla volta.

Generatori azzerati:

• di tensione → corto circuito
• di corrente → circuito aperto.

Principio su cui si basano i th. di Norton e Thevenin.

Voltmetro e amperometro

• Voltmetro → misura la tensione tra due nodi → deve essere collegato in parallelo
• al ramo su quale si vuole conoscere la tensione. La resistenza interna del voltmetro
• dovrà essere più grande possibile per evitare che parte della corrente passi per il
• ramo del voltmetro.

Amperometro → misura la corrente passante in un ramo → deve essere inserito nel

ramo di cui si vuole conoscere la corrente (non in parallelo). La resistenza interna

dovrà essere più piccola possibile per evitare di ostacolare la corrente.

Se si vuole misurare una potenza è necessario inserire nel circuito sia un

voltmetro che un amperometro. Altrimenti la misura contiene un errore:

1. In questo caso l'amperometro farà assorb., a causa della resistenza
2. interna, una caduta di tensione tra i suoi capi. Il voltmetro
3. quindi legge una tensione minore del valore effettivo.

1. In questo caso invece la corrente letta dall'amperometro
2. sara minore di quella generata in quanto una parte passa
3. dal ramo dove è presente il voltmetro.

Rete RLC serie. Risposta forzata

Rete sottoposta ad un gradino di tensione.

1. α² - ω₀² = Δ > 0 → s_1,2 soluzioni reali distinte.

Rete sovrasmorzata

2. α² - ω₀² = Δ = 0 → s_1,2 soluzioni reali coincidenti.

Rete a smorzamento critico

3. α² - ω₀² = Δ < 0 → s_1,2 soluzioni complesse coniugate.

Rete sottosmorzata

Rete RLC serie. Risposta naturale

1. Δ > 0

Rete sovrasmorzata

2. Δ = 0

Rete a smorzamento critico

3. Δ < 0

Rete sottosmorzata

Risposta completa ad un impulso rettangolare

1. Rete sovrasmorzata
2. Rete a smorzamento critico
3. Rete sottosmorzata

Risonanza RLC serie:

ω₀ = ¹/_√LC (risonanza)

H_I(jω) = R + j(ωL - ¹/_ωC) =

= R [1 + j ( ^ωL/_R - ¹/_ωCR ) ] = R [1 + j ( ^ωL/_R - ^ω₀/_ω₀CR ) ]

• ^ω₀/_ω = ^(ω₀R)/_R = ( ^ω₀/_R )( ¹/_√LC ) = ( ^ω₀/_ω ) ^ω₀L/_R = ^(ω₀)/_RC = ( ^-ω₀/_ω )¹/_RC = - ( ^ω₀L/_R )

Q_s = ^ω₀L/_R = ¹/_ω₀(RC)

H_I(jω) = ℜ(jω) = ℜ[1 + j Q_s ( ^ω₀/_{ω₀ - ω} )]

∠Z = arctg [^{Q_s ( ω₀/_{ω₀ - ω} )}/₁]

Risonanza LC parallelo:

H_I(jω) = -j ^L/C/_{ωL - ¹/ωC}

ω₀ = ¹/_√LC ; |H_I(ω₀)| = ∞

La rete si comporta come un circuito aperto. I(ω) ⟶ 0

ω ⟶ 0 : ∠H_z = 80° ( H_z = j ωL )

ω ⟶ +∞ : ∠H_z = -80° ( H_z = -j ¹/_ωC )

Filtro RCL serie - passa alto

H(jω) = ^jωL / _{R + ¹ / jωC + jωL}

= ^{jQs( ω / _ω₀)} / _{1 + jQs( ^ω / ω₀ - ^ω₀ / ω)}

ω₀ = ¹ / _√LC , Qs = ^ω₀L / _R = ¹ / _ω₀RC

∠Hv = 90° - arctg ( ^ω₀ / _ω)

Filtro passa banda (RCL - RLC)

Passa alto (RCL) + passa basso (RLC) in cascata.

H(jω) = ^{-jQs( ω / _ω₁ )} / _{1 + jQs( ^ω / ω₁ - ^ω₁ / ω)} * -^{jQs( ω₂ / _ω )} / _{1 + jQs( ^ω / ω₂ - ^ω₂ / ω)}

H(jω) = ^R / _{R + ¹ / jωC + jωL} = ¹ / _{1 + jQs( ^ω / ω₀ - ^ω₀ / ω)}

Qs grande → filtro più selettivo.

Trasformatore "ideale" senza carico

Ipotesi:

• accoppiamento perfetto tra avvolgimenti.
• R₁, R₂ = 0
• no dissipazioni

In carico se secondario (circuito aperto).

u₁(t) = N₁ ^dΦ

u₂(t) = N₂ ^dΦ

Per le ipotesi l'avvolgimento primario si comporta come un circuito puramente induttivo. Esso assorbirà una corrente I_μ sfasata di 90° rispetto a V₁. Tale corrente produce nel nucleo un flusso principale Φ alternato.

Applicando la legge di Hopkinson:

I_μ = ^Φ·R

L ^{corrente di magnetizzazione}

Maggiore è L₀, minore sarà I_μ (meglio).

A vuoto I₁ = I_μ.

Funzionamento a carico

i₂ ≠ 0 secondario chiuso.

2° principio di Kirchhoff:

Quindi: I₁ = I_μ + ^N₂ I₂ = I_μ + ¹ I₂ = I_μ + I₁ I₂

Se I_μ = trascurabile allora:

^V₁ = u, ^I₂ = u (cioè due voglio)

La potenza attiva si conserva. La potenza reattiva va a carico di I_μ che attraversa l'induttanza. (I_μ = 0) = TRASFORMATORE IDEALE)