Sistemi dinamici, movimenti e equilibri

Sistemi dinamici a tempo continuo

definizione relazione matematici tra cause effetti, oggetto che interagisce con mondo esterno

• modello matematico per descrivere comportamento.

• tempod i cause sono grandezze nel tempo, continue. Definisco tutto il tempo continuo
• segnale campionati ogni secondo.

a_n y⁽ⁿ⁾(t) +

u(t) non dipende solo da u_t(t) ma anche da valori passati di u è basta sapere u_t è sapere y(t) Mi serve sapere la storia passata dei segnali

Ingressi Uscite Esempio

• azioni compiute sul sistema da agenti esterni descrivono la risposta del sistema agli stimoli.

i(t)

v(t)

NO è statico, l'ingresso definisce l'uscita solo altro variabile. Basta conoscere i(t) x determinare unicamente v(t).

V(t) = ε·I(t)

dM/dt = W_in(t) - W_out(t)

M(t) = ρA h(t)

dh(t)/dt = 1/ρA [ W_in(t) - W_out(t) ]

f_h→ h(t) - h(t-σ) σ 1/ρA [W_in - W_out ]

W_in → h(t) W_out passato di h

è dinamico dipende da che valore di h, h parte serve conoscere livello iniziale settato

Se è descritto da eq.diff. è dinamico

L'uscita non dipende solo dall'ingresso ma anche dal passato di ingresso e uscita.

Sistemi dinamici

• bisogna conoscere + che le condizioni iniziali.
• serve a sapere stato sistema nel t in cui si applica ingresso.

Variabili di stato

• variabili interne del sistema la cui conoscenza a t₀ costituisce la minima informazione necessaria per determinare y(t) t ≥ t₀.

• x(t)=_[
  • x₁(t)
  • x_n(t)
  _] vettore di stato, contiene variabili di stato

x(t₀) → y(t) t ≥ t₀

Riprod. esempì

w_in(t) portate in ingresso

h(t) livello

w_out(t) = kh(t)

V(t) = A h(t) portata in uscita

V(t) = A h(t) area di base

Conservazione volume

d V(t)/dt = w_in(t) - w_out(t) → A ĥ(t) = w_in(t) - w_out(t)

( eq. différ. 1° ordine lineare)

w_in → u(t) ingresso → CAUSA

h(t) → x(t) stato

w_out → y(t) = k_x(t) = EFFETTO uscita

A h(t) = w_in - w_out → { A x(t) = u(t) - k x(t) } eq:diff.

y(t) = k x(t) eq:d'uscita 2

x₁(t) = y(t)

x₂(t) = ∂y/∂t

x₃(t) = ∂²y/∂t²

x_n(t) = dⁿy/dt^n-1

y(4) = x₄

Criterio per trovare formula

1. Scelgo e scrivo
   • x₁ = y
   • x₂ = ẏ
   • x₃ = ÿ

2. {x₁, x₂, ...x_n}

   y(t) = x_i o a(t)

e sostituisco in eq. data es: y = ... e riscrivo eq. data sostituendo y, ẏ

f(x, μ)

ottengo n eq. diff.

∫C(x, μ) = x₁

criterio matematico

es

ÿ(t) = √x₁y(t) ẏ(t) + 5μ(t)/(1+ẏx₁)²

va scritto nella Forme

{x(t) = f(x(t), μ(t))

y(t) = ∫(x(t), μ(t))

Quante sono le x ? 3 -> ordine 3 →

x₁ =

x₂ =

x₃ =

x₁ = y(t)

x₂ = ẏ(t)

x₃ = ÿ(t)

x(t) = x₂(t)

x₂(t) = x₃(t)

x₃(t) = riscrivo la forma data sostituendo

= √2x₁(t)x₂(t) + 5μ(t)/(1+x₃(t))²

y(t) = x₁(t)

movimento _dello stato

x(t) = 3e^-t + 2

movimento _{dell’uscita}

y(t) = Kx(t)

y(t) = 3e^-t + 2

K = 1

t ≥ 0

K₁ = 1

t ≥ 0

andamento esponenziale decrescente

Movimenti di equilibrio

• x(t) = F(x(t), μ(t))
• y(t) = G(x(t), μ(t))

x(t_o) = x_̅ costante stato iniziale

μ(t) = μ_̄ t ≥ t_o ingresso costante

Stato di equilibrio ➔ x(t) = x_̅ costante nel tempo

in corrispondenza di μ(t) = μ

se stato di equilibrio metto un ingresso costante e x(t) è rimane

nel suo stato iniziale x = x ➔ c’è equilibrio

Uscita di equilibrio

se y(t) = y_̅ costante nel tempo in corrispondenza

di μ(t) = μ

Stato di equilibrio se ➔ x(t) = x_̅

y_̅ = y(x_̅, μ_̄)

eq. elettrica

ẋ = f(x_̅, μ_̄) = 0