Esame Sistemi dinamici - Teoria

Formattazione del testo

R∈muni al dominio di y e y in cui y e y assumono lo stesso valore. Sia t il minimo di tali punti.R1 2 1 2 0Chiamiamo y := y (t ) = y (t ). Allora y , y sarebbero entrambe soluzioni del PC0 1 0 2 0 1 2 ( ′y (t) = f t, y(t)y(t ) = y0 0Ciò contraddice il Thm di esistenza ed unicità locale, che prevede l’esistenza di un’unica soluzione alPC Q.E.D.In termini geometrici, il Thm di esistenza ed unicità locale implica che i grafici delle soluzioni di un’e- ′quazione differenziale y (t) = f t, y(t) costituiscano una partizione del dominio D.1.2 Soluzioni massimali e globali. Il Teorema di fuga dai compatti1.2.1 Def → →Sia y : I una sol del PC definita in un intervallo I . Sia y : I un’altra sol del PC,R R1 1 1 2 2⊇ ∀t ∈definita in un intervallo I I . Si dice che y è prolungamento di y se y (t) = y (t) I .2 1 2 1 2 1 11.2.2 DefUna sol si dice soluzione massimale del PC se non è ulteriormente prolungabile.1.2.3 DefUna

sol si dice soluzione globale del PC se è definita su tutto R. Una sol globale è sempre massimale per forza di cose. Il viceversa però non vale.

21.2.4 Teorema di fuga dai compatti1

Se f è una funzione di classe C sull'aperto D, allora il PC possiede una e una sola soluzione massimale → ∃y : (α, α)

Inoltre, per ogni sottoinsieme compatto K ⊆ D, esiste un intorno U di α tale che per ogni t ∈ U valga y(t) ≠ K

Talvolta, si esprime la proprietà di fuga dai compatti in un modo sintetico, che è impreciso ma suggestivo: → → → t, y(t) "∂D" per t α, t α-

Il bordo del dominio va inteso in senso lato, includendo anche l'infinito.

1.2.5 Corollario n 1× ×

Sia f : una funzione di classe C e sia y la sol massimale del PC. Se y è limitata, allora Ry è globale.

DIM: Sia (α, α) l'intervallo di esistenza della sol massimale y. Vogliamo dimostrare che

^α = +∞, ^α = − −+ +−∞. ≤Supponiamo, per assurdo, che ^α < +∞. Per ipotesi, y è limitata: esiste dunque M > 0 tc y(t)+∀t ∈M (^α , ^α). Sia t un elemento qualsiasi di (^α , ^α). Consideriamo l’insieme− −+ 0 +n n× {z ∈ |z| ≤ } ⊆ ×K := [t .^α] : MR R R0 +Tale insieme è compatto sollo le ipotesi precedenti. Inoltre per costruzione,+ ∈ ∀t ∈t, y(t) K [t , ^α)0 +Ciò contraddice il Thm di fuga dai compatti, pertanto deve valere ^α = +∞. Similmente per ^α =−+−∞ NBQ.E.D. n×Nel corollario si richiede che f sia definita su tutto . Se il dominio D fosse strettamente contenutoR Rn×in potrebbero esserci sol limitate non globali, che toccano strettamente ∂D. Invece, l’ipotesi cheR Rla sol y sia limitata può essere indebolita. L’importante è che il grafico di y non

abbia asintoti verticali che si mantenga ben lontana dal bordo del dominio. Vale una variante del corollario.

31.2.6 Corollario

Sia f : una funzione di classe C e sia y la soluzione massimale del PC. Sia φ : una funzione continua tale che ∀t φ(t) ∈ R, R ≤ y(t) in suo intervallo di esistenza, allora y è globale.

L'ipotesi di continuità garantisce l'assenza di asintoti verticali.

1.2.7 Teorema dell'asintoto

Sia u : [a, +∞) una funzione differenziabile. Se esistono i limiti

L := lim u(t)

L' := lim u'(t)

t→+∞ t→+∞

e se L è finito, allora L = 0.

NB

Si richiede che il limite della derivata L' esista.

DIM:

Supponiamo, per assurdo, L ≠ 0. Più precisamente consideriamo il caso in cui L sia finito ma ≥ ∀t ≥ strettamente positivo. Per definizione di limite, esisterebbe allora M a t c M'

L' ≥ u'(t)

Dal Thm fondamentale del calcolo

avremmo che M M ′′Z Z LL′− − ∀t ≥≥u(t) u(M ) = ds = (t M ) Mu (s)ds 2 2t tNe dedurremmo ′L − → →≥ (t M ) +∞ per t +∞u(t) u(M ) + 2il che è assurdo perchè abbiamo supposto L finito. Gli altri casi si trattano in modo analogo Q.E.D. 1.3 Il teorema del confronto Questo teorema si applica alle diseguaglianze differenziali. Dal momento che possiamo parlare di diseguaglianze solo tra numeri reali dobbiamo restringerci al caso scalare. 1.3.1 Teorema del confronto 1→ ∈ × → Sia f : una funzione di classe C e sia (t , y ) Siano y, u : I due funzioni R R R R. R0 0⊆differenziabili, definite sullo stesso intervallo I contenente t tcR 0 ( (′ ′≤ ∀t ∈ ∀t ∈y (t) f t, y(t) I u (t) = f t, u(t) Iy(t ) = y u(t ) = y0 0 0 0 Allora ≤ ∀t ∈ ≥y(t) u(t) I, t t 0≥ ∀t ∈ ≤y(t) u(t) I, t t 0 NB ≤Quando si studia il problema all’indietro,

Per t ∈ t, si inverte il senso della diseguaglianza tra y e u. Un risultato analogo vale anche per le diseguaglianze nel verso opposto: se avessimo:

(∀t ∈ t) (f(t, y(t)) ≤ f(t, u(t)) = y(t) ≤ u(t))

Allora:

(∀t ∈ t) (y(t) ≤ u(t))

In ogni caso, il verso della diseguaglianza viene mantenuto nel problema in avanti, rovesciato nel problema all'indietro.

1.4 Il teorema di esistenza globale

Fornisce una condizione sufficiente per l'esistenza di soluzioni globali. Si applica solo al caso di campi definiti su tutto Rⁿ.

1.4.1 Definizione

Si dice che una funzione f : Rⁿ → R ha crescita al più lineare in y se esistono funzioni continue non-negative φ : R → Rⁿ e ψ : R → R tali che:

(∀(t, y) ∈ Rⁿ) |f(t, y)| ≤ φ(t)|y| + ψ(t)

1.4.2 Teorema di esistenza globale

Sia f : Rⁿ → R una funzione di classe C a

crescita al più lineare in y. Allora la sol massimaleR R R n∈ ×del PC per ogni (t , y ) è globale.R R0 0NBLa crescita al più lineare in y è condizione sufficiente per l’esistenza di soluzioni globali, ma non necessaria.

1.4.3 Lemma di Gronwall⊆ ∈ ∈ →Siano I un intervallo, t I e α una costante. Sia β : I una funzione continua conR R R0≥ →β 0. Infine sia u : I una funzione continua tcR !t tZ Z≤ ∀t ∈ ≤ ∀t ∈ ≥u(t) α + β(s)u(s)ds I =⇒ u(t) α exp β(s)ds I, t t 0t t0 0DIM: # LemmaConsideriamo tZR(t) := β(s)u(s)dst 0 ′1Per il Thm fondamentale del calcolo la funzione R è di classe C , con derivata R = βu. Grazie alleipotesi abbiamo ′ ′≤, − ≤R (t) = β(t)u(t) β(t) α + R(t) =⇒ R (t) β(t)R(t) αβ(t)Questa è una diseguaglianza differenziale del prim’ordine, si può risolvere esplicitamente.

A tale scopo, una primitiva di β è ZB(t) := β(s)dst0' - ≤ Moltiplicando ambo i membri di R(t) β(t)R(t) αβ(t) per exp(-B)': -B(t) -B(t)- ≤ R(t) β(t)R(t) e Osserviamo che ∂ -B(t)' -B(t)- R(t)eR(t) β(t)R(t) e = ∂t∂ -B(t) -B(t)-αβ(t)e = αe∂t Perciò ∂ ∂ -B(t) -B(t)≤ -R(t)e αe∂t ∂t∈ ≥ Fissiamo ora t I, t t . Integrando ambo i membri di questa diseguaglianza sull'intervallo [t , t] e osservando che R(t ) = B(t ) = 0 otteniamo B(t)-B(t) -B(t) B(t)≤ - ≤ - ≤R(t)e α αe =⇒ R(t) αe α =⇒ u(t) α + R(t) αe Q.E.D. DIM: # Teorema→ -∞Sia y : (α , α ) una sol massimale del PC. Dobbiamo dimostrare che α = e α = +∞;R-^-+ ⁺∈supponiamo, per assurdo, α < +∞. Fissiamo un punto t (t , α ). Per il Thm fondamentale del+ 0 +calcolo e la diseguaglianza triangolare, abbiamo tt ZZ ′′ ≤ dsy (s)+y(t )y(t ) + y= (s)dsy(t) 00 tt 00′Ora, y è una sol dell’equazione y = f (t, y) e abbiamo supposto che f sia a crescita al più lineare:tZ ≤ dsf s, y(s)y(t )| +y(t) 0 t0tZ ≤ + ψ(s) dsu(s)+ φ(s)y(t )0 t 0 αtα ZZZ ++≤ ψ(s)ds+y(t )ds α :=y(s)φ(s)ψ(s)ds ++y(t ) 00 ttt 000 |y|Possiamo dunque applicare il lemma di Gronwall alla funzione!tZ ∀t ∈≤ φ(s)ds [t , α )α expy(t) 0 +t 0Ne consegue che y resta limitata sull’intervallo. Questo contraddice il teorema di fuga dai compatti;^-∞)pertanto deve valere α = +∞ (similmente α =−+ Q.E.D.1.5 Dipendenza continua dai dati inizialiConfrontiamo tra loro le soluzioni di due PC associati alla medesima equazione differenziale,ma conn n₁ n× → ∈ ∈dati iniziali diversi. Sia f : una funzione di classe C data, sia t e siano y .R R R R R0 1,0Confrontiamo i PC ( ( ′′ (t) = f t, y (y) y (t) = f t, y (t)y 211 2(P C )(P C )1 2y (t ) = y y (t ) = y1 0 1,0 2 0 2,0Supponiamo che i dati iniziali siano diversi, ma vicini fra loro. Le sol corrispondenti, per unicità, nonpossono coincidere mai: assumeranno ad ogni punto valori diversi, questo a causa