Esame Sistemi dinamici - Teoria

Teoria Sistemi Dinamici

Lorenzo Quaranta

VR455934

14 giugno 2023

1 Complementi sulle Equazioni Differenziali Ordinarie

1.1 Il problema di Cauchy (PC) per equazioni differenziali del prim’ordine

in forma normale n n

⊆ × → ∈ ⊆

Dati un aperto D , una funzione f : D e (t , y ) D trovare un intervallo I e

R R R R

0 0

n

→

una funzione differenziabile y : I tc

R

( ′ ∀t ∈

y (t) = f t, y(t) I

(P C) y(t ) = y

0 0

1.1.1 Oss

Nell’enunciato del PC richiediamo che la sol y sia definita su un intervallo. Escludiamo quindi la

possibilità che y sia definita su un insieme non connesso.

1.1.2 Oss

Nei problemi provenienti dalle applicazioni, la varibile indipendente t potrebbe rappresentare qualsiasi

grandezza scalare.

1.1.3 Oss 1

L’ipotesi che f sia C non è ottimale. Tutta la teoria si potrebbe ripetere chiedendo che f sia localmente

lipschitziana nella variabile y (uniformemente rispetto a t). Questo significa: per ogni insieme compatto

n n

⊆ ∀t ∈ ∈ ∈ ∈ ∈

K D, esiste una costante L > 0 tc y , y tc (t, y ) K, (t, y ) K valga

R, R R

K 1 2 1 2

− ≤ |y − |

f (t, y ) f (t, y ) L y (1)

1 2 K 1 2

1

Ogni funzione di classe C su D soddisfa la condizione di lipschitzianità locale (1).

1

1.1.4 Teorema di esistenza ed unicità locale

1

Se f è di classe C , allora esiste α > 0 tc il PC ammetta una ed una sola soluzione definita su

−

[t α, t + α].

0 0

1.1.5 Corollario

′

Se y , y sono soluzioni distinte della stessa equazione differenziale y (t) = f t, y(t) e f è di classe

1 2

1

C , allora i grafici di y e y sono disgiunti.

1 2

DIM: ∈

Supponiamo, per assurdo, che i grafici non siano disgiunti. esisterebbero uno o più punti t co-

R

∈

muni al dominio di y e y in cui y e y assumono lo stesso valore. Sia t il minimo di tali punti.

R

1 2 1 2 0

Chiamiamo y := y (t ) = y (t ). Allora y , y sarebbero entrambe soluzioni del PC

0 1 0 2 0 1 2

( ′

y (t) = f t, y(t)

y(t ) = y

0 0

Ciò contraddice il Thm di esistenza ed unicità locale, che prevede l’esistenza di un’unica soluzione al

PC Q.E.D.

In termini geometrici, il Thm di esistenza ed unicità locale implica che i grafici delle soluzioni di un’e-

′

quazione differenziale y (t) = f t, y(t) costituiscano una partizione del dominio D.

1.2 Soluzioni massimali e globali. Il Teorema di fuga dai compatti

1.2.1 Def → →

Sia y : I una sol del PC definita in un intervallo I . Sia y : I un’altra sol del PC,

R R

1 1 1 2 2

⊇ ∀t ∈

definita in un intervallo I I . Si dice che y è prolungamento di y se y (t) = y (t) I .

2 1 2 1 2 1 1

1.2.2 Def

Una sol si dice soluzione massimale del PC se non è ulteriormente prolungabile.

1.2.3 Def

Una sol si dice soluzione globale del PC se è definita su tutto R.

Una sol globale è sempre massimale per forza di cose. Il viceversa però non vale.

2

1.2.4 Teorema di fuga dai compatti

1

Se f è una funzione di classe C sull’aperto D, allora il PC possiede una e una sola soluzione massimale

→ ⊆

y : (α , α ) Inoltre, per ogni sottoinsieme compatto K D, esiste un intorno U di α tc per

R.

− + + +

∈

ogni t U valga

+ ̸

t, y(t) = K

Talvolta, si esprime la proprietà di fuga dai compatti in un modo sintetico, che è impreciso ma suggestivo:

→ → →

t, y(t) ”∂D” per t α , t α

−

+

NB

Il bordo del dominio va inteso in senso lato, includendo anche l’infinito.

1.2.5 Corollario

n n 1

× ×

Sia f : una funzione di classe C e sia y la sol massimale del PC. Se y è limitata, allora

R R R

y è globale.

DIM:

Sia (α , α ) l’intervallo di esistenza della sol massimale y. Vogliamo dimostrare che α = +∞, α =

− −

+ +

−∞. ≤

Supponiamo, per assurdo, che α < +∞. Per ipotesi, y è limitata: esiste dunque M > 0 tc y(t)

+

∀t ∈

M (α , α ). Sia t un elemento qualsiasi di (α , α ). Consideriamo l’insieme

− −

+ 0 +

n n

× {z ∈ |z| ≤ } ⊆ ×

K := [t .α ] : M

R R R

0 +

Tale insieme è compatto sollo le ipotesi precedenti. Inoltre per costruzione,+

∈ ∀t ∈

t, y(t) K [t , α )

0 +

Ciò contraddice il Thm di fuga dai compatti, pertanto deve valere α = +∞. Similmente per α =

−

+

−∞ NB

Q.E.D. n

×

Nel corollario si richiede che f sia definita su tutto . Se il dominio D fosse strettamente contenuto

R R

n

×

in potrebbero esserci sol limitate non globali, che toccano strettamente ∂D. Invece, l’ipotesi che

R R

la sol y sia limitata può essere indebolita. L’importante è che il grafico di y non abbia asintoti verticale

e che si mantenga ben lontana dal bordo del dominio. Vale una variante del corollario.

3

1.2.6 Corollario

n n 1

× × →

Sia f : una funzione di classe C e sia y la sol massimale del PC. Sia φ : una

R R R R R

≤ ∀t

φ(t) ne suo intervallo di esistenza, allora y è globale.

y(t)

funzione continua. Se y soddisfa

L’ipotesi di continuità garantisce l’assenza di asintoti verticali.

1.2.7 Teorema dell’asintoto

→

Sia u : [a, +∞) una funzione differenziabile. Se esistono i limiti

R ′ ′

L := lim u(t) L := lim u (t)

t→+∞ t→+∞

′

e se L è finito, allora L = 0.

NB ′

Si richiede che il limite della derivata L esista.

DIM: ′ ′

̸

Supponiamo, per assurdo, L = 0. Più precisamente consideriamo il caso in cui L sia finito ma

≥ ∀t ≥

strettamente positivo. Per definizione di limite, esisterebbe allora M a tc M

′

L

′ ≥

u (t) 2

Dal Thm fondamentale del calcolo avremmo che

M M ′

′

Z Z L

L

′

− − ∀t ≥

≥

u(t) u(M ) = ds = (t M ) M

u (s)ds 2 2

t t

Ne dedurremmo ′

L − → →

≥ (t M ) +∞ per t +∞

u(t) u(M ) + 2

il che è assurdo perchè abbiamo supposto L finito. Gli altri casi si trattano in modo analogo Q.E.D.

1.3 Il teorema del confronto

Questo teorema si applica alle diseguaglianze differenziali. Dal momento che possiamo parlare di

diseguaglianze solo tra numeri reali dobbiamo restringerci al caso scalare.

1.3.1 Teorema del confronto 1

→ ∈ × →

Sia f : una funzione di classe C e sia (t , y ) Siano y, u : I due funzioni

R R R R. R

0 0

⊆

differenziabili, definite sullo stesso intervallo I contenente t tc

R 0

( (

′ ′

≤ ∀t ∈ ∀t ∈

y (t) f t, y(t) I u (t) = f t, u(t) I

y(t ) = y u(t ) = y

0 0 0 0

Allora ≤ ∀t ∈ ≥

y(t) u(t) I, t t 0

≥ ∀t ∈ ≤

y(t) u(t) I, t t 0

NB ≤

Quando si studia il problema all’indietro, per t t , si inverte il senso della diseguaglianza tra y e u. Un

0

risultato analogo vale anche per le diseguaglianze nel verso opposto: se avessimo:

( (

′ ′

≥ ∀t ∈ ∀t ∈

y (t) f t, y(t) I u (t) = f t, u(t) I

y(t ) = y u(t ) = y

0 0 0 0

Allora ≥ ∀t ∈ ≥

y(t) u(t) I, t t 0

≤ ∀t ∈ ≤

y(t) u(t) I, t t 0

4

In ogni caso, il verso della diseguaglianza viene mantenuto nel problema in avanti, rovesciato nel problema

all’indietro.

1.4 Il teorema di esistenza globale

Fornisce una condizione sufficiente per l’esistenza di sol globali. Si applica solo al caso di campi f

n

×

definiti su tutto .

R R

1.4.1 Def n n

× →

Si dice che una funzione f : ha crescita al più lineare in y se esistono funzioni continue

R R R

→ →

non-negative φ : ψ : tc

R R, R R n

≤ ∀(t, ∈ ×

φ(t)|y| + ψ(t) y)

f (t, y) R R

1.4.2 Teorema di esistenza globale

n n 1

× →

Sia f : una funzione di classe C a crescita al più lineare in y. Allora la sol massimale

R R R n

∈ ×

del PC per ogni (t , y ) è globale.

R R

0 0

NB

La crescita al più lineare in y è condizione sufficiente per l’esistenza di soluzioni globali, ma non necessaria.

1.4.3 Lemma di Gronwall

⊆ ∈ ∈ →

Siano I un intervallo, t I e α una costante. Sia β : I una funzione continua con

R R R

0

≥ →

β 0. Infine sia u : I una funzione continua tc

R !

t t

Z Z

≤ ∀t ∈ ≤ ∀t ∈ ≥

u(t) α + β(s)u(s)ds I =⇒ u(t) α exp β(s)ds I, t t 0

t t

0 0

DIM: # Lemma

Consideriamo t

Z

R(t) := β(s)u(s)ds

t 0 ′

1

Per il Thm fondamentale del calcolo la funzione R è di classe C , con derivata R = βu. Grazie alle

ipotesi abbiamo

′ ′

≤, − ≤

R (t) = β(t)u(t) β(t) α + R(t) =⇒ R (t) β(t)R(t) αβ(t)

Questa è una diseguaglianza differenziale del prim’ordine, si può risolvere esplicitamente. A tale scopo,

una primitiva di β t

Z

B(t) := β(s)ds

t

0

′ − ≤

Moltiplicando ambo i membri di R (t) β(t)R(t) αβ(t) per exp(−B):

′ −B(t) −B(t)

− ≤

R (t) β(t)R(t) e αβ(t)e

Osserviamo che ∂

−B(t)

′ −B(t)

− R(t)e

R (t) β(t)R(t) e = ∂t

∂

−B(t) −B(t)

−

αβ(t)e = αe

∂t

Perciò ∂ ∂

−B(t) −B(t)

≤ −

R(t)e αe

∂t ∂t

∈ ≥

Fissiamo ora t I, t t . Integrando ambo i membri di questa diseguaglianza sull’intervallo [t , t] e

0 0

osservando che R(t ) = B(t ) = 0 otteniamo

0 0 B(t)

−B(t) −B(t) B(t)

≤ − ≤ − ≤ ≤

R(t)e α αe =⇒ R(t) αe α =⇒ u(t) α + R(t) αe Q.E.D.

5

DIM: # Teorema

→ −∞

Sia y : (α , α ) una sol massimale del PC. Dobbiamo dimostrare che α = e α = +∞;

R

− −

+ +

∈

supponiamo, per assurdo, α < +∞. Fissiamo un punto t (t , α ). Per il Thm fondamentale del

+ 0 +

calcolo e la diseguaglianza triangolare, abbiamo t

t Z

Z ′

′ ≤ ds

y (s)

+

y(t )

y(t ) + y

= (s)ds

y(t) 0

0 t

t 0

0

′

Ora, y è una sol dell’equazione y = f (t, y) e abbiamo supposto che f sia a crescita al più lineare:

t

Z

≤ ds

f s, y(s)

y(t )| +

y(t) 0 t

0

t

Z

≤ + ψ(s) ds

u(s)

+ φ(s)

y(t )

0 t 0 α

t

α Z

Z

Z +

+

≤ ψ(s)ds

+

y(t )

ds α :=

y(s)

φ(s)

ψ(s)ds +

+

y(t ) 0

0 t

t

t 0

0

0 |y|

Possiamo dunque applicare il lemma di Gronwall alla funzione

!

t

Z ∀t ∈

≤ φ(s)ds [t , α )

α exp

y(t) 0 +

t 0

Ne consegue che y resta limitata sull’intervallo. Questo contraddice il teorema di fuga dai compatti;

−∞)

pertanto deve valere α = +∞ (similmente α =

−

+ Q.E.D.

1.5 Dipendenza continua dai dati iniziali

Confrontiamo tra loro le soluzioni di due PC associati alla medesima equazione differenziale, ma con

n n 1 n

× → ∈ ∈

dati iniziali diversi. Sia f : una funzione di classe C data, sia t e siano y .

R R R R R

0 1,0

Confrontiamo i PC

( ( ′

′ (t) = f t, y (y) y (t) = f t, y (t)

y 2

1

1 2

(P C )

(P C )

1 2

y (t ) = y y (t ) = y

1 0 1,0 2 0 2,0

Supponiamo che i dati iniziali siano diversi, ma vicini fra loro. Le sol corrispondenti, per unicità, non

possono coincidere mai: assumeranno ad ogni punto valori diversi, questo a causa della dipendenza dai

dati iniziali.

1.5.1 Def n n

× →

Sia f : . Si dice che f è lipschitziana in y ( uniformemente rispetto a t) se esiste una

R R R n n

∈ ∈ ∈

costante L > 0 tc, per ogni t y , y valga

R, R R

1 2 n

≤ − ≤ ∀(t, ∈ ×

f (t, y) f (t, y) f (t, 0) L|t| + f (t, 0) y) R R

6

1

Di conseguenza, esistono funzioni di classe C ma non lipschitziane e viceversa.

1.5.2 Lemma n n 1

× → ∇

Sia f : una funzione di classe C tc la matrice delle derivate parziali f rispetto alla

R R R y

n

∈ ×

variabile y, sia limitata; vale a dire, esiste L > 0 tc, per ogni (t, y) ed ogni indice i e j valga

R R

≤ L

∂ f (t, y)

y i

j 1 ∇

Allora f è lipschitziana in y. Viceversa, se f è di classe C e lipschitziana in y, allora f è limitata.

y

1.5.3 Teorema di dipendenza continua

n n 1

× →

Sia f : una funzione di classe C lipschitziana in y. Allora le sol massimali y e y dei

R R R 1 2

PC sono globali e soddisfano L(t−t )

0 |y − | ∀t ≥

− y t

y (t) y (t) 1,0 2,0 0

1 2

dove L è una costante per cui valga la condizione di Lipschitz.

NB →

Questa stima perde di significato quando t +∞ dunque il teorema di dipendenza continua non implica

→

che le sol uscenti da dati iniziali vicini abbiano lo stesso comportamento asintotico per t +∞

DIM:

Come abbiamo visto, una funzione lipschitziana in y ha crescita al più lineare in y, pertanto y e y

1 2

sono definite su tutto per il Thm di esistenza globale. Ora, il Thm fondamentale del calcolo e la

R

diseguag