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Determinazione Punto di equilibrio
Ponendo
Punto di equilibrio:
Linearizzazione
Rappresentazione in f. matriciale 3
Determino stabilità del p. di equilibrio:
impongo
quindi: =0
ricorro al criterio di Routh
Poiché Il sistema è asintoticamente stabile
Ponendo
Poli complessi e coniugati stabili 4
Ponendo a confronto la simulazione non lineare con quella linearizzata, si denota che le due uscite
sono identiche tra loro (non vi è alcuno scostamento):
Risposta a gradino Unitario 5
;
Determino la fase del residuo:
= ; poiché
determino il modulo del residuo, raddoppiandolo per fini matematici successivi:
( )
Da notare: ho posto in evidenza; Anti-trasformo:
( )=
Raccolgo per ed effettuo la somma degli angoli per ottenere
( )=
=
Essendo: sicché, ponendo
cos( ) =
= 6
Osservazione: cos( ) =
Pongo
Dalle formule di addizione del coseno:
sin( ) ;
y(t)
La sovra elongazione massima corrisponde al primo istante di stazionarietà;
per istante di stazionarietà si intende:
con k intero positivo;
cosicché, per
essendo ;
con che indica il tempo di massima sovra elongazione 7
La sovra elongazione è comunicata in valore percentuale; sapendo che il valore a regime
, ne consegue che
Il tempo di assestamento si ha quando le oscillazioni rientrano in un dato intervallo di
m mp zz ε p ε :
R p ’ mpu ;
; ; (
)= (
In base alla relazione trigonometrica del coseno riportata precedentemente:
Dalla formula di sottrazione del coseno: 8
Sostituendo, si ottiene:
Risposta armonica
Ponendo 9
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