Sistemi dinamici - Appunti

Modello sensore-ambiente liquido

La tensione del generatore e(t) alimenta il circuito del sensore che monitora la temperatura in un ambiente liquido; la tensione del condensatore è integralmente trasformata in flusso di calore in ingresso nell’ambiente A; quest’ultimo può scambiare calore con l’ambiente esterno attraverso la parete S.

Parametri del sistema

T: temperatura dell’ambiente A;
Te: temperatura ambiente esterno;
Ct: capacità termica del fluido in A;
r: resistenza termica della parete S.

Osservazioni

• Si considera: Te costante;
• Il flusso di calore in ingresso è legato alla tensione del condensatore in base alla relazione:

Parametri e unità di misura

Equazioni del modello

Essendo bipoli posti in serie, si considerano le seguenti relazioni caratteristiche:

II principio di Kirchhoff

Determinazione del flusso in ingresso e del flusso in uscita di calore presso la parete S.

Equazione dello scambio termico

Battesimi 2

Determinazione del punto di equilibrio

Ponendo il punto di equilibrio:

Linearizzazione

Rappresentazione in forma matriciale 3.

Determinazione della stabilità del punto di equilibrio

Imponendo quindi: =0, si ricorre al criterio di Routh. Poiché il sistema è asintoticamente stabile:

Simulazione

Ponendo a confronto la simulazione non lineare con quella linearizzata, si denota che le due uscite sono identiche tra loro (non vi è alcuno scostamento):

Risposta a gradino unitario

Determino la fase del residuo: =; poiché determino il modulo del residuo, raddoppiandolo per fini matematici successivi:

Da notare: ho posto in evidenza; Anti-trasformo: () =

Raccolgo per ed effettuo la somma degli angoli per ottenere:

= cos( ) ==

Osservazioni

Cos( ) = Pongo, dalle formule di addizione del coseno: sin( ) ; y(t)

La sovra elongazione massima corrisponde al primo istante di stazionarietà; per istante di stazionarietà si intende: con k intero positivo; cosicché, per essendo; con che indica il tempo di massima sovra elongazione.

La sovra elongazione è comunicata in valore percentuale; sapendo che il valore a regime, ne consegue che il tempo di assestamento si ha quando le oscillazioni rientrano in un dato intervallo dim mp zz ε p ε :

R p ’ mpu ;; () = (In base alla relazione trigonometrica del coseno riportata precedentemente: Dalla formula di sottrazione.