Sistemi dinamici - Parte 2.2

stessi facendo le risposte impulsive di un sistema come se u_RES se le matrice d'ingresso per quelle condizioni iniziali. Cioè, posso scrivere l'evoluzione libera come:

C (SI-A)^-1 e^At e(0)[δ(t)]= C (SI-A)^-1 e(0)

dove D = 0

quindi posso costruirmi un sistema con matrice dinamica A, con la matrice B delle condizioni iniziali e la matrice D = 0 e calcolare le risposte all'impulso. Non è un vero sistema perchè non esiste un sistema con matrice d'ingresso le condizioni iniziali, però matematicamente posso calcolare così e_L, e_F, l'evoluzione libera.

Precisi, La FdT ci consente il calcolo dell'uscita di un sistemo LTI con ingresso u(t) (o con L di U(S)) applicando la regola aur se Y(S)=G(s)U(s) e facendo l'antitrasformata di Laplace. Questo vale per condizioni iniziali nulle. Non è vero cio se le condizioni iniziali non sono nulle. Se le c.i. non sono nulle bisogna aggiungere alla risposta il termine dell'evoluzione libera (quello che vedo in uscita se in ingresso ci metto zero). Infatti se U=0, in uscita potrei vedere qualcosa di diverso da zero. Dunque, capiamo che la risposta totale del sistema è dato dell'evoluzione forzate più l'evoluzione libera.

Risposta in Frequenze dei Sistemi

La risposta in frequenze si occupa di studiare il comportamento di un sistema dinamico LTI e asintoticamente stab (tutti i poli hanno parte negativa) e l regime (quando SI e esunto el transitorio) quando in ingresso vene posto un segnale sinusoidale del tipo:

u(t) = Xsen Wt

dove ω = 2π / T e T = periodo

Serie di Fourier

Le Serie di Fourier ci dice che, dato un generico segnale f(t) periodico di periodo T posso sempre scriverlo come:

f(t) = c₀/2 + ∑ c_n cos (nwt) + b_n sin (nwt)_n=1^∞

dove:

c_n = 2/T ∫ f(t) cos(nwt) dt e b_n = 2/T ∫ f(t) sin(nwt) dt ; w = 2π/T

Cioè, un qualsiasi segnale f(t) di periodo T può sempre essere inteso come somme di sinusoidi a frequenze diverse (dove le frequenze cambiano con n). Quindi, un qualsiasi segnale f(t) lo posso scrivere come la somma di una sinusoide con lo stesso periodo del segnale (ma non basta quello, se no f(t) sarebbe una sinusoide) e di n sinusoidi con frequenze multiple delle frequenze di f(t). Con n → ∞ mi avvicino sempre di più a quel segnale, tanto da arrivare a riprodurre esattamente f(t). Dunque, se intendo f(t) come somma di segnali e lo pongo in un sistema, potrò calcolare l’uscita come somme di uscite grazie alla linearità del sistema. Capiamo, perciò, che studiando le risposte in frequenza non starò studiando le risposte a una sola sinusoide, bensì a un qualsiasi segnale periodico (perché esso può essere

I diagrammi di Bode sono le rappresentazioni di |G(jω)| e dell'angolo G(jω) in funzione di ω.

Esempi di calcolo di G(jω):

G(s) = ^κ/_sT+1 , κ>0 dove κ = lim_s→0 G(s) = Guadagno Statico

G(jω) = ^κ/_jωT+1

|G(jω)|= ^κ/_{√1 + (ωT)²}

∠G(jω)= ∠κ - ∠(jωT+1) = ∠κ j⁰ - ∠(jωT+1) = -arctg (ωT)

Nel |G(jω)|, se ω→∞ il denominatore va a 0 e |G(jω)| va a 0; se ω→0 |G(jω)| =|κ| >>infatti, se ω è molto piccolo tende a riprodurre κ volte l'ingresso

|G(jω)|= ^κ/_{√1 + (ωT)²}

ωT <<1 ω << ¹/_T, cioè già ω dipendono del periodo.

ω = ¹/_T e' il punto di rottura dei diagrammi di Bode, cioè, il valore assoluto del p&o. ; se ω << ¹/_T, il sistema riproduce l'ingresso quasi; se ω>> ¹/_T non si vede più nulla in ingresso; se ω = ¹/_T le sinusoide è moltiplicate per ^κ/_√2 e φ=arctg(1)=45°

G(s) = ^{s + γ₁}/_{s + γ2}=^T₂(T₁s+1/_T2(T2s+1)

G(jω)= ^T₂/_T2 * ^1+jωT₁/_1+jωT2

|G(jω)|= ^T₂/_T2 * ^{√1+(ωT₁)2}/_{√1+(ωT2)²}

∠ G(jω)= arctg(ωT₁) - arctg(ωT₂)

Qui, quando ω cresce viene circa 1 (posere libero tutte le sinusoidi) e per le fasi: T₂ ≥T₁ => ∠G(jω)≤0

Le fdt G(jw) può anche essere intesa come:

G(jw) = |G(jw)| e^jG(jw) che è una funzione complessa.

Le rappresentazioni del modulo e delle fase di un numero complesso sono detti diagrammi di Bode. In particolare, nei diagrammi di Bode il modulo è espresso in Decibel:

|G(jw)|_dB = 20log₁₀|G(jw)|

e le w è espressa in scale logaritmiche

Facciamo considerazioni su u(t) e y_ss(t):

T = _2π/^w [w] = rad/sec

Se |G(jw)|_dB < 0 dB, l'uscita e reprime avrè un' ampiezza minore dell'ingresso.

Tuttavia, per lineari, il periodo in uscita è lo stesso dell'ingresso (ovviamente ciò vale anche per le frequenze). Inoltre, l'andamento di G(jw) ci permette di vedere la risposta non solo è una sinusoidale ma anche 2 somme di sinusoidali (cioè è tutti i segnali, stando delle serie di Fourier).

Ma G(s) è lineare in s? Se considero G(s) = 1/s, ad esempio, e considero k = 1, oltre che due S (S₁ e S₂) avrò:

G(s₁ + s₂) =1/ s₁⁺ 1/s₂ = cioè G(s) non è lineare perchè compare il denominatore (non rientre nelle forme e₁ + s₂) (ovviamente anche se faccio c'è il termine s² non sarè più lineare). In generale, quasi se tutte le G(s) che abbiamo visto non sono lineari (abbiamo senza pre messo dei poli, ma solo zeri senza poli). Dunque, i sistemi che consideriamo sono sempre lineari. (e somme di ingressi si corrisponde somme di uscite) ma G(s) non è lineare in s.

Infatti, se ω = 1/T

|G(Gjω)|_dB = 20log₁₀1/√2 = -20dB₁₀ 1 = -20dB

Dunque, un sistema di primo ordine si ferma a 0dB mentre un polo nell'origine continuerebbe a salire (flettendopi in figura). Quindi per ω alte G(Gjω) sembra un integratore; per ω piccole no. Questo è il diagramma asintotico de |G(jω)|. Per avere |GDiagramma esatto (in dB) dovrei disegnare G(jω) punto per punto. Tuttavia con i diagrammi asintotici so che per ω piccole (siamo una decade prima di 1/T) sta molto vicini alle rette orizzontale e per ω grandi (siamo una decade dopo di 1/T) segna e l'andamento dell'altra retta.

Ora, possiamo affermare che l'errore che si commette tra il diagramma asintotico e il diagramma di Bode nel punto di rottura è di 3dB.

|G(jω)|_dB = -20 log₁₀√1+(ωT)²∕ω=1⁄4

= -20log₁₀√2 = -3,01 dB

Prendendo un'ottave sopra o sotto il punto di rottura (un'ottave è un terzo dell'intervallo) l'intervallo sarà di circa 1dB:

|G(jω)|_dB = 20log₁₀√1+(ωT)²∕ω=0,5

= 0,97 dB

|G(jω)|_dB = 20log₁₀√1+(ωT)²∕ω=2

= 0,97 dB

Regole di carattere generale per i diagrammi di Bode:

• Integratore: prendo due punti e traccio le rette;
• Sistema de I ordine: uso il punto di rottura indicandolo con una freccia (poichè per ogni punto di rottura devo scendere di 20dB);
• Non abbiamo problemi di altezza perchè tutti i sistema de I ordine hanno valore a ω per ω piccolo (cioè 0dB).

Vediamo il diagramma della fase di un sistema de I ordine:

|G(Gjω) = L

= L/ (1+jωT = 0 - arctg (ωT) = -arctg (ωT)