Sintesi Idraulica

H H H H J L

1 2 2

2 2

p v p v

      

1 1 2 2

z z J L

 

1 2

2 2

g g

– H e H =carichi totali rispettivamente nelle sezioni trasversali 1 e 2 (m)

1 2

– ΔH=perdita di carico totale (m)

– J=ΔH/L=cadente della linea dei carichi totali (m/m, adimensionale), ossia perdita di carico

totale per unità di percorso

– L=lunghezza del percorso della particella fluida, ossia distanza tra le sezioni trasversali 1 e 2

(m)

Per una corrente di fluido reale (ossia per una massa di fluido reale che si muove lungo una

direzione preferenziale):      

H H H H J L

1 2 2

 

2 2

p V p V

      

1 1 1 2 2 2

z z J L

 

1 2

2 2

g g

– α e α =coefficienti di Coriolis rispettivamente nelle sezioni trasversali 1 e 2 (convertono la

1 2

velocità della singola particella, v, nella velocità media nella sezione trasversale, V=Q/A; spesso

si pongono pari a 1, con errore trascurabile)

– V e V =velocità medie rispettivamente nelle sezioni trasversali 1 e 2, V =Q/A e V =Q/A )

1 2 1 1 2 2

Correnti a superficie libera (ossia a pressione atmosferica)

Moto uniforme

La linea del fondo dell’alveo, la superficie libera della corrente e la linea dei carichi totali sono

parallele. Quindi, per una portata costante Q: 

h h

1 2



V V

1 2



i J

– h =p /γ e h =p /γ: profondità d’acqua rispettivamente nelle sezioni trasversali 1 e 2 (m)

1 1 2 2

– i=pendenza del fondo (adimensionale)

– J=ΔH/L=cadente della linea dei carichi totali (m/m, adimensionale), ossia perdita di carico

totale per unità di percorso

Formula di Gauckler e Strickler di moto uniforme assolutamente turbolento (J è proporzionale a

2

V ):  2 3

V kR i

 

i h

scala delle portate (o scala di deflusso), funzione di h:  

   

2 3 .

Q VA kA R i funz h

   

h i h

, per tentativi.

da cui si ricava l’altezza di moto uniforme, h

0 2 1/3

k=coefficiente di velocità o liscezza (inverso della scabrezza) di Strickler (m /s); se k aumenta

– (pareti più lisce), V aumenta e viceversa

– R =A /C =raggio idraulico (m), funzione di h

i(h) (h) (h) 2

– A =area bagnata (m ), funzione di h (la sezione trasversale va rilevata topograficamente)

(h)

– C =contorno bagnato (m), funzione di h (la sezione trasversale va rilevata topograficamente)

(h)

Per sezione rettangolare larga (B>>h): 

A Bh

Bh Bh

  

R h



i 2

B h B

scala delle portate (o scala di deflusso), funzione di h:  

       

2 3 2 3 5 3 .

Q kA R i k Bh h i k Bh i funz h

i

da cui si ricava esplicitamente l’altezza di moto uniforme:

35

 

Q

  

h

0 

 

k B i

1200

1000

800

/s)

3 600

(m

Q 400

200

0

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50

h (m) 1/3

Figura 1. Scala delle portate per sezione rettangolare (B=100 m, i=0,01=1% e k=35 m /s).

La concavità è sempre rivolta verso l’asse delle portate, Q

3

Energia specifica rispetto al fondo:  

2 2

V Q

   

       .

E h H z h h funz h

2

2 2

g gA

 

h

25

20

15

(m)

E 10

5

0 0 5 10 15 20 25

h (m) 3

Figura 2. Curva dell’energia specifica per sezione rettangolare (B=100 m e Q=10 m /s)

, corrisponde in ascissa l’altezza d’acqua critica, h , e la velocità

All’energia minima (o critica), E

c c

 

critica, celerità relativa delle piccole perturbazioni (in sezione rettangolare).

V c gh

c

Funzione derivata:

dE  0 dove la funzione è crescente (ramo destro delle correnti lente, ossia con h>h e V<c)

– c

dh

dE 

– 0 dove la funzione è decrescente (ramo sinistro delle correnti veloci, ossia con h<h e

c

dh

V>c)

dE  0 nel punto di minimo; imponendo la derivata uguale a zero, si ottiene la formula

– dh

implicita per il calcolo iterativo (per tentativi) dell’altezza critica in sezione trasversale di forma

generica: 3  2

A Q

  

h

B g

 

h

B=larghezza della sezione trasversale in sommità, ossia sul “pelo libero” (m)

Formula esplicita per il calcolo dell’altezza critica in sezione rettangolare:

  3  2

Bh Q



B g

 2

Q



2 3

B h g

4

 2

Q



h 3 2

c gB

Alveo a debole o a forte pendenza

La definizione di alveo a debole o a forte pendenza deriva dal confronto tra l’altezza di moto

uniforme e l’altezza critica:

1. alveo a pendenza critica, in cui il moto uniforme è allo stato critico, ossia la corrente di moto

uniforme transita con l’energia specifica minima o critica, E :

c

     

h h v v c i i

0 0

c c c

2. alveo a debole pendenza, in cui il moto uniforme è di corrente lenta, ossia la corrente di

moto uniforme transita con altezza maggiore di quella critica:

     

h h v v c i i

0 0

c c c

3. alveo a forte pendenza, in cui il moto uniforme è di corrente veloce, ossia la corrente di

moto uniforme transita con altezza minore di quella critica:

     

h h v v c i i

0 0

c c c

Moto permanente

La linea del fondo dell’alveo, la superficie libera della corrente e la linea dei carichi totali non sono

parallele. Pertanto, la superficie libera assume alcuni andamenti rispetto al fondo, descritti

matematicamente dalla funzione h(s) e denominati “profili di moto permanente” (o, a volte, “di

rigurgito”):

1. h(s) crescente, ossia v(s) decrescente: profilo di corrente ritardata

2. h(s) decrescente, ossia v(s) crescente: profilo di corrente accelerata

Considerando una corrente di fluido reale (come in un fiume) e applicando il Teorema di Bernoulli

a un tratto infinitesimo di alveo (ossia di lunghezza infinitesima ds), tra le sezioni 1 e 2

rispettivamente di monte e di valle, si ottiene:

  

2 2

V V J J

       

,

1 1 2 2 1 2

h i ds h J ds con J

1 2 media media

2 2 2

g g

    

E i ds E J ds

1 2 media

    

E E i ds J ds

2 1 media

dE  

i J media

ds



E dh  

i J

 media

h ds 

i J

dh  media



E

ds 

h

Integrando l’equazione differenziale, si ottiene la funzione h(s), ossia il profilo della corrente in

moto permanente. Nell’integrazione, si considera che la frazione al secondo membro può avere

numeratore positivo o negativo, così come il denominatore, e precisamente:



E 

– 0 dove la funzione è crescente (ramo destro delle correnti lente, ossia con h>h e V<c)

c



h



E 

– 0 dove la funzione è decrescente (ramo sinistro delle correnti veloci, ossia con h<h e

c



h

V>c) 5

 

– 0 quando il profilo di moto permanente ha altezze d’acqua superiori a quella che si

i J media  

instaurerebbe in moto uniforme; infatti: h>h V<V J<(J =i) essendo J proporzionale a

0 0 0

2

V in moto assolutamente turbolento

  0 quando il profilo di moto permanente ha altezze d’acqua inferiori a quella che si

– i J media  

instaurerebbe in moto uniforme; infatti: h<h V>V J>(J =i) essendo J proporzionale a

0 0 0

2

V in moto assolutamente turbolento

Quando numeratore e denominatore sono concordi (hanno entrambi lo stesso segno, positivo o

negativo), allora la derivata dh/ds è positiva e il profilo di moto permanente è crescente (corrente

ritardata); viceversa, quando numeratore e denominatore sono discordi (hanno segno opposto),

allora la derivata dh/ds è negativa e il profilo di moto permanente è decrescente (corrente

accelerata).

In conclusione, tenendo conto che negli alvei a debole pendenza il moto uniforme è di corrente

lenta (ossia che h >h e che, quindi, la linea rappresentativa di h sta sopra a quella rappresentativa

0 c 0

di h ), mentre negli alvei a forte pendenza il moto uniforme è di corrente veloce (ossia che h <h e

c 0 c

che, quindi, la linea rappresentativa di h sta sotto a quella rappresentativa di h ), si possono avere

0 c

profili di moto permanente di tipo D nel primo caso e di tipo F nel secondo, distinti rispettivamente

in D1, D2, D3 e F1, F2, F3 per tenere ulteriormente conto del fatto che l’altezza d’acqua possa

trovarsi in moto permanente sopra o in mezzo o sotto alle due linee suddette (condizione al

contorno): Figura 3. Profili di moto permanente in alveo a debole pendenza (h >h )

0 c

Figura 4. Profili di moto permanente in alveo a forte pendenza (h <h )

0 c

I profili di moto permanente si instaurano a causa di disturbi o perturbazioni che impediscono il

mantenersi del moto uniforme nel tratto d’alveo considerato (variazioni di sezione, cambi di

pendenza o di scabrezza, presenza di strutture etc.).

– In alveo a debole pendenza (Fig. 3), quindi, il fatto che il moto uniforme di corrente lenta non

possa mantenersi tale è da attribuirsi a cause perturbatrici di valle (es., briglia, stramazzo, etc.; le

perturbazioni si propagano verso monte, essendo in tale caso V <V ); infatti, si può osservare

0 c

nei profili D1 e D2 come il moto uniforme si possa raggiungere soltanto asintoticamente a

monte.

– In alveo a forte pendenza (Fig. 4), invece, il fatto che il moto uniforme di corrente veloce non

possa mantenersi tale è da attribuirsi a cause perturbatrici di monte (es., paratoia, traversa con

profilo Creager-Scimemi etc.; le perturbazioni si propagano verso valle, essendo in tale caso

6

V >V ); infatti, si può osservare nei profili F2 e F3 come il moto uniforme si possa raggiungere

0 c

soltanto asintoticamente a valle.

Esempi

1) Passaggio da alveo a debole pendenza ad alveo a forte pendenza (Fig. 5). In tal caso si ha

un’unica altezza critica, h (nella sua formula non compare la pendenza, i), e due differenti altezze

c

di moto uniforme (h >h ) (nella sua formula compare √i al denominatore).

01 02

Figura 5. Profili di moto permanente al passaggio da a