Sintesi Corso di Statistica

Indici di tipicità

Moda (Mo)

• Qualitativo sconnesso: Sì
• No
• No

Mediana (Me)

• Si
• Qualitativo ordinabile: Sì
• Sì

Media Aritmetica (μ)

• Quantitativo discreto: Sì
• Quantitativo continuo: Sì

Sì: indice di tipicità preferibile

Indici di diversità

Indice di Eterogeneità di Gini

• No
• No
• Concentrazione (R): Sì
• (Eg/Egr): No

Qualitativo: Sì

Quantitativo: Sì

Quantitativo non

• Sì
• Negativo, additivo e trasferibile: Sì

Sì: indice di diversità preferibile

__: indice di diversità adatto a confronti (—> Relativo)

Indici di associazione

Carattere X^2

• σ
• rxy / xy
• No
• Sì

Almeno uno qualitativo: Sì

X e Y quantitativo: Sì

Sì: indice di associazione preferibile

__: indice di associazione adatto a confronti (relativo)

Campi di variazione dei vari indici

Statistica univariata

Indici di tipicità

Indici che sintetizzano massimamente ciò che viene osservato e che rappresentano il carattere X osservato sull’intero collettivo.

Medie lasche

Non pone nel calcolo tutto ciò che viene osservato, non implicando il coinvolgimento diretto di tutte le modalità di X:

Moda (Mo)

Individua la modalità di X maggiormente assunta dalle unità statistiche nel collettivo osservato. Si può avere un caso di distribuzione bi-modale nel caso in cui vi siano due mode. Necessita di un dato aggregato.

Mediana (Me)

È la modalità di X che occupa la posizione centrale nella successione ordinata delle osservazioni. È un carattere robusto rispetto agli outliers.

Medie analitiche

Tutte le modalità osservate di X vengono coinvolte nella costruzione dell’indice:

Media Aritmetica (μ)

È la modalità di X corrispondente alla somma dei valori osservati nel collettivo divisa per la numerosità del collettivo stesso (Procedimento=Definizione). Dall’ammontare di carattere la media lo ripartisce tra tutti trovando un valore tipo che sia rappresentativo della situazione nel suo complesso. A causa della proprietà dell’internalità, la media varia da x(min) <= μ <= x(max) (ovvero dalla modalità osservata più piccola alla modalità osservata più grande).

Indici di diversità

Indicano quanto le unità statistiche sono diverse le une dalle altre rispetto al carattere X osservato.

Indici di eterogeneità

Indica come le unità statistiche tendono ad aggregarsi sulle diverse modalità partendo dal dato aggregato:

Indice di Eterogeneità di Gini (Εg)

Misura l’avvicinamento alla situazione di massima eterogeneità. È sempre positivo e varia da 0 <= Eg <= (K-1)/K:

• Se Eg=0 vi è situazione di omogeneità (ovvero tutte le unità statistiche sono omogenee ovvero assumono la stessa modalità)

N imm n(i) f(i) f(i)²

• 0 0 0 0
• 1 0 0 0
• 2 0 0 0
• 3 16 1 1

• Se Eg= (K-1)/K vi è situazione di massima eterogeneità (le unità statistiche sono equiripartite tra le modalità del carattere, si tratta di una situazione ipotetica unica ma non è detto che sia osservabile)

N imm n(i) f(i) f(i)²

• 0 4 0,25 0,06
• 1 4 0,25 0,06
• 2 4 0,25 0,06
• 3 4 0,25 0,06

Indice di Eterogeneità di Gini Relativo (Egr)

Ideale per eseguire confronti, in quanto si libera della variabile K e compreso tra: 0<= Egr <= 1:

• Egr=0 omogeneità
• Egr=1 massima eterogeneità (Le tabelle estreme rimangono le medesime di quelle di Eg)

Indici di variabilità

Analizza come la modalità del carattere tenda ad avere valori diversi, partendo da dato disaggregato:

Campo di variazione (C)

Confronta la modalità di due unità statistiche soltanto (la più alta e la più bassa). È un indicatore grezzo (ovvero non conta quante volte le modalità si presentano). È assoluto in quanto ha una unità di misura.

Scarto interquartile (SI)

Un quartile divide la successione ordinata in 4 gruppi, e lo scarto interquartile è la differenza tra Q3 e Q1. Permette di togliere delle code che possono essere degli outliers. Può coincidere con il campo di variazione. Con gli X quantitativi è possibile costruire il grafico chiamato boxplot:

La posizione della scatola rispetto al baffo indica come le misurazioni possono essere sbilanciate (se verso il basso vuol dire che ci sono più misurazioni basse, se verso l’alto ci sono più misurazioni alte) e pure la posizione di mediana e scatola indica le medesime situazioni.

Devianza (Dev)

Misura l’allontanamento delle osservazioni su X dalla media aritmetica. È la somma di tutti gli scarti elevati al quadrato (se non fossero elevati al quadrato la somma sarebbe sempre 0 a causa della proprietà della media).

Varianza (σ²)

Misura l’allontanamento delle osservazioni su X dalla media aritmetica. La varianza è definita positiva. A seguito di trasformazioni lineari la varianza risente esclusivamente della costante moltiplicativa elevata al quadrato: σ²*= b²σ². Varia tra 0 <= σ² <= (N-1)μ².

• Se σ²=0 vi è assenza di variabilità (o di diversità), ovvero gli scarti sono uguali a 0 e di conseguenza tutti i valori sono uguali alla media e tra di loro; esiste una sola situazione di questo tipo.

xi ni

Nella distribuzione di frequenza:

• x1 0
• x2 0
• x3
• x4 (Media) N

Nelle successioni ordinate:

• x4, x4, x4, x4, ...., x4

• Se σ²= (N-1)μ² vi è massima variabilità, ovvero una unità possiede tutto l’ammontare totale di carattere e tutti gli altri non possiedono nulla

xi ni

Nelle distribuzioni di frequenza:

• 0 N-1
• (T=Ammontare di carattere) T 1
• Totale=T Totale=N

Nelle successioni ordinate:

• 0, 0, 0, 0, 0, ..., T

Scarto Quadratico Medio (σ)

È anche definito deviazione standard, ed è una quantità di scostamento dalla media che riferisce mediamente di quanto si allontanano nel complesso le osservazioni dalla media. Ha la medesima unità di misura della media. Mediamente le X sono comprese all'interno dello scarto, ma non il numero delle X al suo interno. Varia tra: 0<= σ <= (Le situazioni estreme sono identiche a quelle della variabilità).

Coefficiente di variazione (CV)

È un indice di variabilità relativo che misura l’allontanamento delle osservazioni su X dalla media aritmetica. Non ha l’unità di misura (è un numero puro) ed è l’unico modo per confrontare due modalità diverse. Più il coefficiente di variazione è alto più il carattere è variabile.

Confrontando i casi limite degli indici di eterogeneità e di variabilità:

Nel caso in cui Eg=0 anche la devianza (e la varianza) saranno nulle, quindi se vi è omogeneità vi è pure assenza di variabilità. Tuttavia la situazione di massima eterogeneità non coincide con la situazione di massima variabilità.

Concentrazione (R)

Raccoglie una serie di misure di disuguaglianza e serve per confrontare soggetti rispetto ai loro stati sociali, il car