Simulazione di componenti e sistemi idraulici per applicazioni veicolo

SIMULAZIONE DI COMPONENTI E

SISTEMI IDRAULICI PER APPLICAZIONI

VEICOLO

Appunti a.a. 2020 – 2021

C 1

APITOLO

Introduzione alla Modellazione

Quando si ha a che fare con un problema ingegneristico è possibile procedere con diversi tipi di analisi; una

prima suddivisione ci permette di ottenere due macro-aree:

• Analisi Probabilistica: gli eventi possono verificarsi in base ad una ben definita probabilità (es.: la

rottura di una macchina) oppure può verificarsi in un certo periodo di tempo definito sulla base di una

distribuzione matematica (es.: Gaussiana o normale).

• Analisi Deterministica: gli eventi si verificano in base alla logica causa/effetto e sono prevedibili a

priori; comunemente si è soliti individuare due diverse tipologie di analisi deterministica

➢ secondo la quale non si analizza l’evoluzione

Stazionaria (steady state analysis), delle

variabili in funzione del tempo.

➢ Dinamica (transient analysis), secondo la quale le variabili si analizzano in funzione del

tempo; tale variazione nel tempo può verificarsi se le condizioni iniziali non corrispondono

ad una configurazione di equilibrio, oppure se disturbo una condizione di equilibrio con

azioni esterne.

Le modellazioni che verranno studiate rientreranno nella categoria dell’analisi deterministica; nell’ambito

della oleodinamica si utilizza anche l’analisi probabilistica, ad esempio per la valutazione della contaminazione

dell’olio minerale.

1.1 La creazione del modello

Per lo studio di un problema si può effettuare un’osservazione empirica, oppure virtuale attraverso la

simulazione, la quale necessita la creazione di un modello. Il modello relativo al sistema in esame è una

descrizione precisa di come si comporta quest’ultimo, espressa nella forma di equazioni matematiche (di varia

natura con eventuali condizioni iniziali); bisognerà, quindi, introdurre variabili il cui valore definisce lo stato

del sistema stesso (variabili di stato).

La modellazione matematica/numerica di sistemi ingegneristici è basata sempre su processi di semplificazione

e approssimazione, applicati a seconda delle necessità; tali processi potranno, poi, essere la causa delle

differenze tra i risultati ottenuti con la simulazione e la realtà. Si riporta in seguito un esempio di modellazione

di un componente oleodinamico: il

componente che stiamo considerando è un

attuatore lineare, cioè un elemento

costituito da un cilindro ed un pistone che

si può muovere nel cilindro, effettuando la

“corsa di uscita stelo” quando il pistone si

sposta verso l’alto o la “corsa di rientro

stelo” quando lo stesso si sposta verso il

basso. Tale attuatore lineare è detto a

doppio effetto poiché posso controllare il

movimento del pistone verso l’alto o verso

il basso utilizzando una portata proveniente

da una pompa: se alimento la camera lato

pistone (quella in basso) e collego la

camera lato stelo (quella in alto) con lo scarico, allora avrò la corsa di uscita stelo; viceversa otterrò la corsa

1

di rientro stelo. Nella figura è presente anche una valvola proporzionale, la quale presenta due posizioni

estreme (una chiusa, in basso, e una completamente aperta, in alto) e infinite posizioni intermedie di

regolazione, che si possono indurre con un comando (es.: comando manuale); tale valvola viene interposta tra

la pompa e l’attuatore lineare. Immaginiamo, ora, di essere nella condizione in cui stiamo alimentando la

camera lato stelo e, quindi, stiamo effettuando la corsa di rientro stelo e vogliamo studiare il comportamento

dell’attuatore lineare: vogliamo sapere come si muove il pistone, quindi dovremo scrivere l’equilibrio

masse moventi collegate all’estremità dello stelo, e vogliamo sapere che

dinamico del pistone e delle eventuali

pressioni si stanno instaurando nelle due camere, le quali sono volumi variabili nel tempo e riempite del fluido

di lavoro scelto (si suppone sia olio minerale).

Il primo passo da fare è quello di schematizzare il componente reale e ciò lo si fa creando un modello a

parametri concentrati: i due cerchi indicano i volumi, le frecce indicano che questi sono variabili, lo strozzatore

sta ad indicare la valvola (anche questa ad apertura variabile); vi ci può essere una connessione tra i due volumi

poiché può esserci gioco tra pistone e cilindro con conseguente passaggio di portata tra una camera e l’altra e

questa connessione può essere indicata con uno strozzatore (di natura diversa dal precedente, relativo alla

valvola, poiché in questo caso il flusso sarà di tipo laminare, mentre la valvola è caratterizzata da un flusso di

tipo turbolento). Questa schematizzazione, adesso, deve essere tradotta in un modello matematico:

scriveremo la seguente equazione

̈ →

̈ = + − + Equilibrio Dinamico

2 1

che presenta il termine inerziale (massa per accelerazione) al primo termine e al

secondo termine presenta la somma delle forze che agiscono sul pistone (carico

esterno, forza di attrito viscoso e forze di pressione, ottenute dal prodotto delle

pressioni per l’area di lavoro); le due pressioni le calcolo utilizzando le equazioni di

continuità scritte per un volume di controllo

1 1 2 2

= ∙ (∑ − ) = ∙ (∑ − )

0,1 0,2

In questa forma abbiamo la variazione di pressione nel tempo pari alla sommatoria delle portate che entrano

ed escono dalla camera (con il proprio segno) e la variazione del volume nel tempo entrambe moltiplicate per

un rapporto tra il modulo di incomprimibilità del fluido (che misura l’elasticità del fluido di lavoro) e il volume

iniziale della camera. La portata generata dalla pompa e considerata costante è data da

2 ∙ −

| |

)√ ⁄

1

= ∙ ∙ ( − =

1

con p = pressione in ingresso della valvola, p = pressione in uscita della valvola, A= area di passaggio dello

p 1

ρ=

strozzatore, densità del fluido, C = coefficiente di efflusso; la funzione segno sta valutando il segno della

d

differenza di pressione tra ingresso e uscita dello strozzatore per informarci se la portata è entrante (incremento

di pressione) o uscente (diminuzione di pressione) relativamente al volume di controllo. Se vi è gioco tra

pistone e cilindro, la portata che passa da una camera all’altra è data dalla seguente equazione

3

′ ( )

= −

1 2

12

Diversamente dalla precedente, relativa ad un moto turbolento, questa è relativa ad un moto laminare ed è

semplificata in quanto non è stata considerata la portata di trascinamento. Ipotizzando, poi, che la portata in

uscita dalla camera lato pistone è pari alla variazione di volume della camera stessa, possiamo scrivere

2

′′

= 2

In questo modo sto facendo una semplificazione poiché ipotizzo non ci sia una variazione di pressione nella

camera e ciò lo si può assumere solo se la camera è direttamente connessa con il serbatoio e se non ci sono

perdite di carico nella connessione. ottenute dal prodotto dell’area di lavoro per la velocità, quindi

Le variazioni dei due volumi possono essere

avremo

1 2

= − =

A queste equazioni andranno poi aggiunte le condizioni iniziali sulle pressioni.

1.2 Esempi di Equazioni descrittive del sistema

Equazione algebrica esplicita/implicita

2 ∙ −

| |

)√ ⁄

1

= ∙ ∙ ( − =

1

relativa alla portata Q dipende dal coefficiente di efflusso. Tale coefficiente non è, però, sempre

L’equazione

costante, ma si può dimostrare che questo dipende dal numero di Reynolds e risulta costante solo in caso di

moto turbolento completamente sviluppato; in caso di moto laminare vi è una relazione lineare tra il

coefficiente e Re, mentre nella fase di transizione la relazione non è nota. Nel caso in cui il coefficiente di

efflusso è costante, allora l’equazione sarà in caso contrario l’equazione sarà

esplicita; implicita (C =f(Q)).

d

Nel secondo caso, per arrivare alla soluzione si dovrà procedere in modo iterativo.

Equazione differenziale alle derivate parziali stazionaria (steady state P.D.E.)

2 2 2

+ + =0

2 2 2

Es.: conduzione stazionaria del calore.

Equazione differenziale ordinaria, dinamica (dynamic O.D.E.)

= ∙ ∑

Es.: semplice modello di un volume di olio comprimibile, il quale presenta la pressione come variabile di stato

e dipende dal tempo.

Equazione differenziale alle derivate parziali dinamica (dynamic P.D.E.)

∙ ∙ ) = ( ∙ )) + ( ∙ )) + ( ∙ ))

( ( ( (

Es.: conduzione del calore non stazionaria; si può osservare la dipendenza della temperatura dal tempo.

Equazioni differenziali ordinarie, dinamiche ed esplicite (explicit dynamic O.D.E.’s)

⁄ =

{ ||

∙ = − ∙ − ∙ ∙

1 2

massa in movimento sotto l’azione di una forza esterna di non precisata natura e delle forze originate

Es.:

dall’attrito viscoso e dall’attrito del vento; questa è un’equazione differenziale del secondo ordine, ma che può

essere scritta come una coppia di equazioni differenziali del primo ordine. 3

Equazione differenziale ordinaria, dinamica ed implicita (implicit dynamic O.D.E.)

∙ =0 → 0 = − − ∙| |

1 2

Es.: lo stesso esempio precedente può diventare un’equazione diversa se, ad esempio, la massa dell’elemento

mobile è molto piccola, quindi il contributo inerziale risulta essere molto piccolo rispetto agli altri e

trascurabile; l’equazione ottenuta è implicita in dx/dt.

Esempio: analisi dinamica dell’andamento della pressione all’interno di un tubo

= (, , , )

Nel caso generale la pressione dipende dalle coordinate spaziali e dal tempo, ma è possibile fare delle

assunzioni in modo da semplificare il problema:

1. Adotto un modello a parametri concentrati, quindi considero la pressione uniforme in tutti i punti del

tubo e valuto la sua variazione rispetto al tempo (non ho più dipendenza dalle coordinate spaziali).

2. Quando la tubazione è molto lunga o quando sono presenti perturbazioni di pressione non trascurabili,

bisognerà adottare un modello a parametri distribuiti; posso, allora, ipotizzare di suddividere la

tubazione in diverse porzioni, per ognuna delle quali la pressione può essere considerata uniforme

e scrivere un’equazione differenziale per il calcolo della pressione per ognuno di questi

(dp /dt),

i

elementini di tubo; un modello a parametri distribuiti è più accurato nella rappresentazione della realtà

rispetto ad uno a parametri concentrati, ma nel contempo è caratterizzato da tempi di calcolo molto

superiori.

1.3 Il Sottomodello

Esistono due classi principali di sottomodelli:

• (analytical submodel), creato dopo un’approfondita analisi dei fenomeni fisici

Sottomodello analitico

che caratterizzano il sistema meccanico in esame.

• Sottomodello empirico (empirical submodel or black box submodel), ottenuto acquisendo risultati

sperimentali in grado di descrivere in modo corretto il comportamento del sistema, che viene poi

ricostruito mediante processi di interpolazione.

Il sottomodello empirico viene utilizzato quando quello analitico risulta troppo complesso, ma il suo utilizzo

può risultare estremamente pericoloso se viene impiegato per simulare condizioni operative estremamente

lontane da quelle in corrispondenza delle quali sono stati acquisiti i dati sperimentali.

può essere adottato l’utilizzo congiunto di entrambe le tipologie di sottomodelli, dando luogo al

In alcuni casi

cosiddetto grey box submodel.

Altre categorie di sottomodelli sono:

• Dynamic submodels, basati sulla definizione di variabili di stato.

• Steady state submodels (o instantaneous submodels), per i quali il componente o il sistema reagisce

così velocemente da raggiungere istantaneamente una configurazione di equilibrio.

• Duty cycle submodels, i quali calcolano alcune grandezze di riferimento in funzione del tempo di

simulazione; essi sono utilizzati per definire andamenti prestabiliti di funzionamento per i sistemi di

controllo oppure per definire cicli di comando di particolari componenti (es.: valvole). 4

1.4 Scrittura di un problema ingegneristico

Possiamo avere due tipi di problemi ingegneristici:

• O.D.E. initial value problems, rappresentati da modelli matematici costituiti da equazioni algebriche

e da equazioni differenziali ordinarie, tutte di tipo esplicito.

• D.A.E. initial value problems, rappresentati da modelli matematici costituiti da equazioni algebriche

e da equazioni differenziali ordinarie, almeno una delle quali di tipo implicito.

In generale, un generico sistema ingegneristico sarà rappresentabile per mezzo di N variabili di stato, per

ciascuna delle quali è possibile scrivere un’equazione differenziale ordinaria del primo ordine nella forma

seguente:

(, )

= , … . . ,

1

L’intervallo temporale di validità di ogni singola equazione, compreso tra un valore di tempo iniziale (t = 0)

ed un valore di tempo finale (t = t ), sarà definito dalla seguente relazione:

fin 0 ≤ ≤

In aggiunta bisognerà conoscere il valore di ogni variabile di stato in corrispondenza del tempo iniziale di

evoluzione del sistema: (0)

=

Può essere estremamente utile utilizzare la notazione vettoriale, secondo cui le relazioni appena viste possono

scriversi:

•

[ ]

̅ = , … … ,

Vettore delle variabili di stato: 1

̅ ̅

• ⁄ (

= , ̅)

Forma vettoriale delle equazioni:

• ̅

̅(0) =

Vettore delle condizioni iniziali:

•

[ ]

̅ = , … … ,

Vettore delle variabili algebriche di tipo implicito: 1

• Forma vettoriale delle equazioni implicite: ̅

̅ (, ̅, , ̅) = 0

{

(, ̅)

̅ ̅, = 0

1.5 Metodi di risoluzione numerica

Nel caso di risoluzione numerica con modelli matematici, si ottiene una soluzione del problema in

detti “nodi”, interni all’intervallo temporle di

corrispondenza di una collezione di punti temporali (time steps),

simulazione = 0 < < ⋯ < =

0 1

Nel caso di metodi di soluzione estremamente semplici e grossolani, i punti temporali saranno equispaziati;

per i più moderni e potenti metodi di soluzione, i punti temporali saranno posizionati, in base alla difficoltà di

soluzione, ad un particolare istante di integrazione: quando la soluzione varia rapidamente, i nodi di soluzione

saranno più ravvicinati; quando, invece, la soluzione varia lentamente (come, ad esempio, quando ci si avvicina

ad una configurazione di equilibrio stazionaria) i nodi di soluzione saranno maggiormente distanziati tra loro.

Tutti i metodi di integrazione maggiormente utilizzati ricadono all’interno di due principali categorie:

• Metodi espliciti di tipo Runge-Kutta (explicit Runge-Kutta methods). 5

• Metodi multistep lineari (linear multistep methods).

I metodi espliciti di tipo Runge-Kutta sono detti anche metodi ad un passo poiché per calcolare il valore di y n+1

è necessario conoscere solamente il valore di y . Una serie di k valori vengono determinati calcolando le

n

funzioni f, che esprimono le derivate delle variabili di stato tra gli istanti di tempo t=t e t=t , come mostrato

n n+1

nell’esempio seguente: ℎ ( )

= + ∙ +

+1 1 2

2

{ )

= ( ,

1 )

= ( + ℎ, + ℎ ∙

2 1

In questo caso, essendo solo due i valori di k (k e k ), parliamo di 2-stage method; il parametro h è il time step

1 2

del metodo ed è definito nel seguente modo: ℎ = −

+1

Tanto maggiori sono i valori del parametro k utilizzati, tanto maggiore sarà l’accuratezza del metodo.

I metrodi espliciti di tipo Runge-Kutta sono i più semplici da implementare, perché sono appunto espliciti; essi

sono in grado di fornire buoni risultati quando le equazioni da risolvere non sono troppo complesse.

Per la seconda categoria di metodi di integrazione si introduce la seguente notazione:

)

= ( ,

+1 +1 +1

)

= ( ,

… … ..

I metodi di tipo linear multistep sono detti anche metodi multipasso poiché per calcolare il valore di y è

n+1

necessario conoscere più di un valore già calcolato ai passi precedenti della generica variabile di stato y (ad

esempio: y , y , y , etc.). Si rip