Appunti Simulazione di Componenti e sistemi idraulici per applicazioni veicolo

RIASSUNTO PROGRAMMA

SIMULAZIONE DI COMPONENTI E

SISTEMI IDRAULICI PER

APPLICAZIONI VEICOLO

AA 2022/2023

UNIMORE

RIASSUNTO PROGRAMMA

SIMULAZIONE DI COMPONENTI E

SISTEMI IDRAULICI PER

APPLICAZIONI VEICOLO

AA 2022/2023

UNIMORE

Metodi di risoluzione numerica

La soluzione del problema per problemi ingegneristici si ottiene in corrispondenza di una collezioni di punti temporali chiamati TIME STEPS questi sample interni a un intervallo tamponale di soluzione

t=0<t₁<...<tₘ=tfin

In base al tipo di problema e alla tipologia di soluzione che vogliamo ottenere, avremo una nuvola di punti temporali differenti e quindi un time steps differente.

I metodi di integrazione maggiormente utilizzati ricadono all'interno di due principali categorie:

Metodi ESPLICITI di Runge-Kutta:

• Sono anche chiamati metodi: A UN PASSO poiché per calcolare la soluzione di yₙ₊₁ è necessario conoscere solamente la soluzione di yₙ.
• Per usare questo metodo è importante conoscere il TIME-STEP : h: tₙ₊₁-tₙ

I metodi: ESPLICITI sono i più semplici da implementare proprio poiché questi sono espliciti. Uno degli enormi svantaggi è dato dalla loro modesta efficacia computazionale nel caso in cui le equazioni siano Metodi NUMERICI INFATTI fortemente non lineari

• Sono anche chiamati metodi IMPLICITI poiché per calcolare la yₙ₊₁ è necessario conoscere più di una soluzione calcolata a passi precedenti dalla generica variabile di stato y

Metodo di EULERO ESPLICITO E IMPLICITO E Metodi Dei TRAPEZI:

• Soluzione Esatta: y(t)= A e^-t
• EULERO ESPLICITO: yₙ₊₁= yₙ + R . fₙ₊₁

y₀ = Ay₁ = y₀ +R . y₀y₂ = y₁ + R . y₁⇒y₂= A . (1+R . ) . (1+ R . ) =A . (1+ R . )²

yₙ = A . (1+ R . )^ⁿ

• EULERO Implicito: yₙ₊₁ = yₙ + R . fₙ₊₁

y₀ = Ay₁ = y₀+ R . y₁⇒y₁⇒ y₁ .(1- R . ) = A ⇒_{y₁=A^/(1- R . )}

y₂+= y₂+ R . y₃ y₂⇒y₂ . ( 1- R . )=_{A^/(1- R . )}⇒y₂= _{A^/(1- R . )²}

yₙ= _{A^/(1- R . )^ⁿ}

• METODO DEI TRAPEZI: yₙ₊₁=yₙ+

  h _/ 2 (fₙ₊₁+fₙ₊₁)

y₀=Ay₀ = _{h^/ 2} (y₀+ y₁³)= _{y₁.(1 h}. 2 .)A .(1R..h.2)⇒_{y_n=A^{.(1+ . h h}²^{/ 2})ⁿh.^/(1-2.. h^{/ 2})ⁿ}

Stabilità

• Metodo Assolutamente Stabile: Consideriamo una generica variabile di stato al passo n+1 a partire da uno c.a. A e la medesima variabile di stato calcolata a partire da una condizione iniziale leggermente perturbata: y_n+1 = A; y_n+1 → (A + Δ)
  • Metodo assoluto stabile se: lim_n→inf (y_n+1^* - y_n+1) = 0
• Regione di Assoluta Stabilità Soluzione Analitica: y = Ae^λt ⇒ y_n+1 = Ae^λ(n+1)Δt ; y_n+1^* = (A+d)e^λ(n+1)Δt
  • Valuto la regione di assoluta stabilità equazionando a 0 il seguente limite: lim_n→inf de^λ(n+1)Δt = 0

Questa equazione è verificata per λ < 0 dove λ coeff che moltiplica la variabile di stato.

Dunque graficamente:

Regione assoluta stabilità se λ è un numero complesso ha regione di assoluta stabilità quindi coincido con il semipiano negativo del piano complesso.

Regione assoluta stabilità se λ numero reale

• Regione di Assoluta Stabilità del Metodo a Eulero Esplicito: y_n+1 = A(1 + R_Lλ)ⁿ⁺¹ ; y_n+1^* = (A+Δ)(1 + R_Lλ)ⁿ⁺¹

Stabilità se:

• 1 - |R_Lλ| < 1 ⇒ -2 < R_Lλ < 0

Con R_L = 0.1 e λ = 1 siamo oltre regione di assoluta stabilità

Con λ = -1000 siamo oltre da tale regione

Regione Assoluta Stabilità se λ numero complesso

Regione Assoluta Scabilità Metodo Eulero Implicito

^y_n+1 = A^y_n = Aⁿ

Avermo assoluta stabilità quando:

• lim _n→∞ d = 0
• E'eguazione è reffezata se
• h