Serie numeriche, studio del carattere di una serie

Analisi 2

Esercizi svolti

Serie Numeriche

• Determinare il carattere di una serie

1. \[\sum_{{n=1}}^{+\infty} \dfrac{{(n-1)!}}{{n!}}\]

2. \[\sum_{{n=0}}^{+\infty} \dfrac{n}{6^n}\]

3. \[\sum_{{n=1}}^{+\infty} \dfrac{{n+5}}{{n^3-3}}\]

4. \[\sum_{{n=1}}^{+\infty} \dfrac{{(-1)^n}}{{4n+7}}\]

5. \[\sum_{{n=0}}^{+\infty} \dfrac{{2+n}}{{n!}}\]

6. \[\sum_{{n=1}}^{+\infty} \dfrac{{(-1)^n n}}{{5n-1}}\]

Analisi 2

Esercizi svolti

Serie Numeriche

• Determinare il carattere di una serie

1. a. \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(n-1)!}{n!}\)
2. b. \(\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n}{6^n}\)
3. c. \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n+5}{n^3-3}\)
4. d. \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{4n+7}\)
5. e. \(\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{2+n}{n!}\)
6. f. \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n n}{5n-1}\)

Determina il carattere delle seguenti serie.

1. ⁺∞_n=1 ^(n-1)!⁄_n!

2. ⁺∞_n=0 ⁿ⁄_6ⁿ

3. ⁺∞_n=1 ⁿ⁺⁵⁄_n³-3

4. ⁺∞_n=1 ^(-1)n⁄_4n+7

5. ⁺∞_n=0 ²⁺ⁿ⁄_n!

6. ⁺∞_n=1 ^(-1)nn⁄_5n-1

a. Analizziamo il termine a_n = ^(n-1)!⁄_n!:

a_n = ^(n-1)!⁄_n! = ^(n-1)!⁄_n⋅(n-1)! = ¹⁄_n.

Il termine a_n = ¹⁄_n è quello della serie armonica semplice che diverge. Pertanto

∞_n=1 ^(n-1)!⁄_n!

è divergente.

b. La serie ⁺∞_n=0 ⁿ⁄_6ⁿ è a termini positivi. Per determinare il carattere della serie, applichiamo il criterio del rapporto:

^a_n+1⁄_an = ⁿ⁺¹⁄_6ⁿ⁺¹ ÷ ⁿ⁄_6ⁿ = ⁿ⁺¹⁄_n ⋅ ⁶ⁿ⁄_6ⁿ⁺¹ = ⁿ⁺¹⁄_{6 ⋅ n n→+∞} ¹⁄₆.

Essendo

lim_n→∞ ^a_n+1⁄_an = ¹⁄₆ < 1

la serie è convergente.

c. La serie è a termini positivi, a parte il primo _a1 = ^{1 + 5}/_{1 - 3} = -3, che è negativo. Possiamo quindi applicare i criteri per serie a termini positivi. Sia _an = ^{n + 5}/_{n³ - 3} e sia _bn = ¹/_n² il termine della serie armonica generalizzata ^∞∑_{n = 1} ¹/_n² con α = 2.

Studiamo il limite del rapporto _an/_bn.

_an/_bn =^{n + 5}/_{n³ - 3} : ¹/_n² = ^{n + 5}/_{n³ - 3} : ⁿ²/₁ = ^{n3 + 5n2}/_{n³ - 3} -> 1.

Per il criterio del confronto asintotico, le serie ^∞∑_{n = 1 an} e ^∞∑_{n = 1 bn} hanno lo stesso carattere. Sappiamo che la serie armonica generalizzata ^∞∑_{n = 1} ¹/_n² è convergente, pertanto anche la serie ^∞∑_{n = 1} ^{n + 5}/_{n³ - 3} è convergente.

d. La serie ^∞∑_{n = 1} ^(-1)n/_{4n + 7} è una serie a termini di segno alterno. Verifichiamo che la serie dei valori assoluti _an = ¹/_{4n + 7} è decrescente:

_an > _{an + 1} -> ¹/_{4n + 7} > ¹/_{4(n + 1) + 7} -> ¹/_{4n + 7} > ¹/_{4n + 11} -> 4n + 11 > 4n + 7 -> 11 > 7 vero. La serie è decrescente.

Verifichiamo anche che ^lim_{n -> +∞ an} = 0:

^lim_{n -> +∞} ¹/_{4n + 7} = 0.

Per il criterio di Leibniz, la serie ^∞∑_{n = 1} ^(-1)n/_{4n + 7} è convergente.

e. La serie ^∞∑_{n = 0} ^{2 + n}/_n! è data dalla somma di due serie a termini positivi:^∞∑_{n = 0} ^(2)/(n!) + ^∞∑_{n = 0} ⁿ/_n!.

Verifichiamo con il criterio del rapporto che entrambe le serie sono convergenti:

• _an = ²/_n!

Studiamo:

_{an + 1}/_an = ²/_{(n + 1)!} : ²/_n! = ²/_{(n + 1)! (:) 2 / n! = 1}/(n + 1) -> 0.

b_n = ⁿ⁄_n!

Studiamo:

^b_n+1⁄_bn = ^{(n + 1)}⁄_{(n + 1)!} ⋅ ^n!⁄_n = ^{(n + 1)}⁄_n ⋅ ^n!⁄_{(n + 1)! ⋅ n!} = ¹⁄_n = ¹⁄_{n → +∞} → 0.

In entrambi i casi il limite è minore di 1, pertanto le due serie ∑_{n = 0}^+∞ a_n e ∑_{n = 0}^+∞ b_n, sono convergenti. Per il

teorema sulla convergenza della serie somma e della serie differenza, anche la serie ∑_{n = 0}^{+∞ 2}⁄_n! è

convergente.

f. La serie ∑_{n = 1}^{+∞ (-1)n}⁄_{5n - 1} è una serie a segni alterni e, per il criterio di Leibniz, converge se a_n ≥ a_n > 0 e

se lim_n→+∞ a_n = 0, con n = ⁿ⁄_{5n - 1}.

Verifichiamo la seconda condizione:

lim_n→+∞ ⁿ⁄_{5n - 1} = ¹⁄₅ ≠ 0.

La serie non soddisfa la condizione necessaria di convergenza, quindi non può convergere.