Serie storiche

TRASFORMAZIONE BOX-COX:

si divide la serie in “n” so operiodi, per ciascun so operiodo vengono calcola

media e scarto quadra co medio. Viene costruito un gra co in cui nell’asse delle x

c’è la media, nell’asse delle y lo scarto quadra co medio e vengono “bu a ” dentro

il gra co le coppie di media e di standard di ciascun so operiodo. Sui pun viene

fa a una regressione, cioè si veri ca quale funzione si ada a di più a passare in

mezzo ai pun . λ

BOX-COX hanno studiato in base al po di funzione, si può s mare un parametro

λ = − 1

che varia al variare della funzione interpolante; se la re a è decrescente ; se

1

λ = − λ = 0;

c’è ramo di parabola ; se c’è re a crescente se c’è ramo di

2

λ = 1/2 λ = 1

parabola verso destra ; se c’è re a parallela all’asse x . (gra co)

λ

Dal valore di viene fuori la trasformazione che varia al variare dei da .

Zt-> è il valore già trasformato, come lo trasformiamo?

λ = 0

-Quando facciamo i logaritmi (cioè quando la funzione interpolare è una re a

crescente). Xt − 1

λ ≠ 0, zt(λ) =

-Quando quindi in tu gli altri casi, la trasformazione-> λ

NB: la trasformazione è sempre un passo successivo alla scelta della funzione.

λ = 0 quando la funzione interpolante (le coppie di media e varianza sono

crescen ). λ = 0

Come sarà la serie per ? Com’è l’andamento gra co della funzione che genera

λ = 0?

(gra ci) 29

tt fi fi ti

ti ti ti ti

ti tt ti ti tt tt ti

tti tt ti fi ti tt tt ti tt ffi ti fi tt tt fi ti tt ti fi tt ti ti tt fi ti ti ti tt

Nella prima fase dobbiamo fare l’analisi preliminare e veri ca delle condizioni

preliminari: stazionarietà, inver bilità e ergodicità.

Per veri care la condizione di ergodicità si fa il correlogramma e il valore assoluto dei

coe cien di autocorrelazione, dev’essere mediamente decrescente all’aumentare

del lag temporale.

La condizione di inver bilità, invece, consiste nel poter esprimere ciascuna variabile

casuale del processo stocas co in funzione che è accaduto nel passato

Y(t) = f (t − 1; t − 2; …; t − k)

I processi che hanno individuato Box- Jekins sono processi ergodici, inver bili, e

stazionari in senso debole.

Una variabile La suole espresse in funzione del passato, il che vuol dire, per lo studio

delle serie storiche, che ciascun dato osservato della serie al tempo t, sarà espresso

in funzione di qualcosa che è successo in periodi preceden .

C’è un par colare processo stocas co u le, determinante nella procedura Box-

Jekins, che è stazionario in senso stre o; si chiama rumore bianco (WHITE NOISE).

Il white noise è un processo stocas co che è stazionario in senso stre o,

cara erizzato dei seguen parametri:

μ = 0; δ; autocorrelazione = 0; distribuzione nor male .

Quindi il processo white noise è un processo stocas co stazionario in senso stre o, i

cui parametri sono: media=0, var costante, autocorrelazione=0, distribuzione

normale.

Autocorrelazione=0 vuol dire che tu i coe di autocorrelazione sono prossimi allo

0.

Un processo che ha queste cara eris che è un processo white noise.

Nel modello classico, i residui che media devono avere?

Dipende dal modello, modello addi vo-> media residui=0; modello mol plica vo->

media residui=1

Se i residui sono a media 0 e sono casuali, quindi variano casualmente a orno allo 0,

sono anche a varianza costante e autocorrelazione=0 e distribuzione normale.

Quindi anche i residui che o eniamo dall’analisi classica possono essere vis come

un white noise, poiché hanno le cara eris che di un processo white noise. 30

ffi tt fi ti ti ti ti ti tt ti tt ti ti ti tti tt

ti tt ti ti ff ti fi ti tt ti tt ti ti ti tt

Perché il white noise è importante? Perché è un processo stocas co la cui

realizzazione nita sono i residui ideali.

In ogni modello di analisi di serie storica avremo sempre una parte determinis ca e

un residuo. La parte determinis ca, determina il valore della serie a meno di errori

che in questo approccio dev’essere sempre di natura casuale.

Anche nell’approccio moderno avremo una parte determinis ca e una residuale, che

dobbiamo dimostrare che sia di natura casuale. Ma nell’approccio moderno, siccome

non conosciamo il processo, ma conosciamo i da della serie; i da della serie

( )

Yt = f yt − 1 + ε

saranno sempre funzione dei da preceden più l’errore

Avremo Yt tan quan sono i da in funzione di t-1; t-2; .. la stessa cosa vale per gli

ε

errori. Se avessimo 100 da , avremo 100 yt e 100 .

La serie degli errori è una serie osservata; nella visione di Box-Jekins la sequenza di

errori è realizzazione nita di una white noise.

Così come la sequenza di da osserva è realizzazione nita di un preciso processo

stocas co, che dobbiamo individuare; la sequenza degli errori che o erremo

dev’essere realizzazione nita di un altro processo stocas co, che deve avere le

μ = 0; δ

cara eris che: errori ; incorrela e distribuzione normale.

Queste 4 cara eris che ce l’ha solo il processo stocas co white noise.

(PS )

Yt = + (WN )

Quindi nell’approccio moderno:

I processi stocas ci generatori di serie storiche individuai da Box-Jekins sono:

• Processi stocas ci (AR)

• Processi stocas ci (MA)

• Processi congiun (ARMA)

PROCESSO STOCASTICO AUTOREGRESSIVO (AR)

Un processo stocas co è autoregressivo quando ciascuna variabile casuale del

processo è funzione delle variabili casuali dei periodi preceden e di un white noise.

Yt = ∅ + ∅1 + ∅2 + . . + ∅p

yt−1 yt−2

0 yt−p+et

Ciascuna variabile casuale del processo è funzione delle variabili casuali preceden e

di un rumore bianco. Ciascuna variabile casuale di periodi preceden , in uisce su yt

secondo un coe s mato.

∅ -> coe (quanto pesa ciascuna variabile sul valore che assume yt) 31

tt ti ff ti fi tt ti ti

ti ff ti ti ti ti ti ti fi fi ti ti ti ti

ti ti ti ti ti ti fi ti ti ti ti ti tt ti fl ti ti

PROCESSO MEDIA MOBILE (MA)

Il processo media mobile è espresso a raverso una formula simile.

Secondo il processo stocas co MA la variabile casuale è espressa in funzione di una

sequenza di impulsi casuali dello stesso tempo t c dei tempi preceden t-1; t-2; t-k.

2

et~WN(o; σ )

Yt = et − o1 et−1

Entrambi i processi sono inver bili.

RIEPILOGO ANALISI MODERNA:

è un approccio individuato da Box-Jekins che si fonda sul conce o di processo

stocas co.

In questo approccio la serie è vista come una realizzazione nita del processo

stocas co, in par colare, la realizzazione nita è data dalla sequenza dei da

osserva , che sono ciascun dato realizzazione nita di una variabile casuale del

processo. E quindi i da osserva della serie vengono tra a come campioni di

numerosità 1 estra dalla popolazione cos tuita dalle variabili casuali del processo.

L’obie vo in questo approccio è quello di scoprire qual è il processo stocas co che

potrebbe avere generato la serie storica osservata.

Quindi è un procedimento che è di inferenza sta s ca, perché tra amo la serie

come se fosse un campione e dobbiamo fare inferenza sulla popolazione che è il

processo. Inferenza vuol dire avere da campionari e le conclusioni dei da

campionari riferirli alla popolazione da cui quel campione viene estra o. Quindi

osserviamo la serie e facciamo delle conclusioni sul processo che ha generato quella

serie.

Processi stocas ci ce ne sono tan , fra quelli che Box-Jekins hanno individuato come

generatore di serie storica, ce ne sono alcuni che devono avere speci che condizioni.

Le condizioni più importan che abbiamo visto sono quelle di stazionarietà,

ergodicità, inver bilità.

Vi sono 2 conce di stazionarietà: in senso stre o e in senso debole.

Per i modelli ARIMA la stazionarietà è intesa in senso debole, il che vuol dire che il

μ = 0; δ

processo stocas co deve avere: ; autocovarianza (varia al variare dei lag

temporali) deve dipendere solo dal lag temporale.

Un processo stocas co stazionario in senso stre o che ci è u le nell’ambito di questa

analisi è il processo white noise, che è un processo stazionario in senso stre o,

μ = 0; δ

cara erizzato dai parametri: ; autocorr=0; distribuzione normale.

Ai ni dell’approccio di Box-Jekins uno studioso Wold ha fa o un’importante

dimostrazione. 32

fi tt tti ti

ti ti ti tti

ti ti ti tti ti ti ti

ti ti ti ti ti

tt fi ti fi tt

tt ti ti tt tt fi ti ti tt tti fi tt ti ti ti ti

tt

Wold ha dimostrato che un processo stocas co stazionario in senso debole può

essere scomposto in 2 termini di cui, in termini sarà determinis co e uno white

∞

∑

(t)

Yt = f + λt

noise.

Il teorema di Wold è fondamentale ai ni dei modelli ARIMA.

Nota: quando si parla di processo stocas co il processo e le variabili del processo

sono espresse con le le ere maiuscole; quando si parla della serie osservata le

stesse cose vengono espresse con le le ere maiuscole. Quindi, quando troviamo Yt e

Y si riferisce al processo. Se invece fosse yt minuscolo sarebbe un dato osservato

della serie.

Equazione processo stocas co medie mobili MA:

2

et~WN(o; σ )

Yt = et − o1 et−1

Nel processo MA, Yt, cioè la variabile casuale del processo al tempo t, è funzione di

una somma algebrica di impulsi casuali al tempo t e i tempi preceden .

et

-> è un impulso casuale al tempo t, quindi contemporaneo alla variante t.

et − 1 → impulso casuale al tempo precedente

et − 2 -> impulso casuale a 2 tempi preceden

et − q -> impulso casuale al tempo q, q generico che sta ad indicare periodi

preceden .

Impulso casuale vuol dire che come processo è un white noise, nella serie lo

μ = 0 δ

vediamo come una serie di da osserva a ; e autocorr=0. Ma sono

realizzazione nita di white noise.

et

Quindi devono considerarsi una serie di white noise.

Quindi la variabile casuale al tempo t può essere spiegata da una somma algebrica di

impulsi casuali, cioè di WN, di processi stocas ci speci ci rumore bianco, genera

processo MA-> somma di impulsi casuali che si intrecciano tra loro e generano la

loro e cacia in tempi diversi, ma che si possono sovrapporre.

Quan di ques impulsi generano e e