Serie numeriche e Successioni (Teoria ed esercizi)

Successioni

Cos'è una successione di numeri reali?

• Una funzione che va dall'insieme dei numeri naturali all'insieme dei numeri reali.
• Può essere calcolata solo per valori naturali della variabile indipendente.

Notazione della funzione

• a_m
• Variabile indipendente

Esempio

Come sono fatti i vari termini di a_m = 2m - 3

Il primo termine della successione è quello corrispondente al valore 0 della variabile m che andrà indicato con a₀. Per capire chi è a₀ sostituiamo la "m" con 0 nella funzione e facciamo i calcoli.

• a₀ = 2.0 - 3 = -3
• a₁ = 2.1 - 3 = -1
• a₂ = 2.2 - 3 = 1
• a₃ = 2.3 - 3 = 3
• a₄ = 2.4 - 3 = 5

Quindi iterando questo passaggio posso ottenere un numero qualsiasi di termini della successione.

Possiamo quindi rappresentare la funzione su un piano cartesiano.

ρ(x) = 2x - 3a_m = 2n - 3

Successioni

Cos'è una successione di numeri reali?

• Una funzione che va dall'insieme dei numeri naturali all'insieme dei numeri reali, quindi è una funzione a_n: ℕ → ℝ

Pùò essere calcolata solo per valori naturali della variabile indipendente

Notazione della funzione

a_m ← Variabile indipendente

Esempio

Come sono fatti i primi termini?

a_m = 2m - 3

Il primo termine della successione è quello corrispondente al valore 0 dellavariabile m che andrà indicato con a₀. Per capire chi èa₀ sostituiamo la "m" con 0 nella funzione e facciamo i calcoli.

1. a₀ = 2 · 0 - 3 = -3
2. a₁ = 2 · 1 - 3 = -1
3. a₂ = 2 · 2 - 3 = 1
4. a₃ = 2 · 3 - 3 = 3
5. a₄ = 2 · 4 - 3 = 5

Quindi iterando questo passaggio posso generare un numero qualsiasi di terminidella successione. Possiamo quindi rappresentare la funzione su un piano cartesiano.

f(x) = 2x - 3a_m = 2n - 3

Una successione {a_n} si dice

"limitata inferiormente" se ∃ m &element; ℝ, a_n ≥ m ∀ n &element; ℕ

"limitata superiormente" se ∃ M &element; ℝ, a_n ≤ M ∀ n &element; ℕ

Esempi

1. La successione