Serie numeriche e loro proprietà

Analisi 2

Appunti

Serie Numeriche

• Proprietà delle serie:
  • distributiva
  • associativa
  • commutativa

Analisi 2

Appunti

Serie Numeriche

• Proprietà delle serie:
  • distributiva
  • associativa
  • commutativa

Proprietà distributiva

Proprietà distributiva delle serieSe c è un numero reale diverso da 0, le serie^+∞ ∑ a_n, ^+∞ ∑ ca_n,n=1 n=1hanno lo stesso carattere.Se ^+∞ ∑ a_n ha somma s, allora ^+∞ ∑ ca_n è convergente e ha somma cs:n=1 n=1^+∞ ∑ ca_n = c · ^+∞ ∑ a_n.n=1 n=1

Dimostrazione

Consideriamo le successioni delle ridotte s_n = ^{n_n ∑} a_k e s_n' = ^{n_n ∑} ca_k:k=1 k=1s_n' = ca₁ + ca₂ + ... + ca_n = c(a₁ + a₂ + ... + a_n) = cs_n.Utilizziamo il teorema del prodotto dei limiti di due successioni:se lim s_n = s, allora lim cs_n = cs;n→+∞ n→+∞se lim s_n = ±∞, allora lim cs_n = ±∞ se c > 0,n→+∞ n→+∞ ∓∞ se c < 0;se s_n è indeterminata, anche cs_n è indeterminata.Le due serie hanno dunque lo stesso carattere.

Esempio

Applichiamo la proprietà distributiva alla serie^+∞ ∑ ⁵ 1 ,n=1 n(n+1)ottenuta dalla serie di Mengoli moltiplicando ogni suo termine per 5.Possiamo scrivere:^+∞ ∑ ⁵ = 5 · ^+∞ ∑ ¹ = 5.n=1 n(n+1) n=1 n(n+1)Dato che la serie di Mengoli ha somma 1, abbiamo concluso che la serie data è convergente e ha somma 5.

Proprietà associativa

Consideriamo una serie convergente oppure divergente, se si associano i suoi termini in gruppi contenenti un numero finito di termini consecutivi, si ottiene una serie che ha lo stesso carattere e la stessa somma, finita oppure infinita, della serie data.

Esempio

Consideriamo la serie geometrica convergente di ragione q = \frac{1}{3}:

\(\displaystyle\sum_{{n=0}}^{+\infty}\frac{1}{3^{n}}=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\frac{1}{81}+\frac{1}{243}+\ldots\)

Calcoliamo la sua somma:

\(s=\frac{1}{1-q}=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}.\)

Associamo ora alcuni termini consecutivi della serie in modo arbitrario, per esempio a due a due.

\(\left(1+\frac{1}{3} \right)+ \left( \frac{1}{9}+ \frac{1}{27} \right)+ \left( \frac{1}{81}+ \frac{1}{243} \right)+\ldots=\)

\(=\frac{4}{3}+\frac{4}{27}+\frac{4}{243}+\ldots=\frac{4}{3^{1}}+\frac{4}{3^{3}}+\frac{4}{3^{5}}+\ldots=\)

\(=\frac{4}{3} \left( \frac{1}{3^{2}}+ \frac{1}{3^{4}}+\ldots+ \frac{1}{3^{2n}}+\ldots \right) = \frac{4}{3}\cdot \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{3^{2n}} = \frac{4}{3}\cdot \sum_{n=0}^{+\infty}\left( \frac{1}{9} \right)^n.\)

La serie ottenuta è una serie geometrica di ragione \(\frac{1}{9}\), quindi:

\(\sum_{n=0}^{+\infty}\left( \frac{1}{9} \right)^n=\frac{1}{1-\frac{1}{9}}=\frac{9}{8} \rightarrow \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{4}{3}\cdot \left( \frac{1}{9} \right)^n = \frac{4}{3}\cdot \frac{9}{8}=\frac{3}{2}.\)

Abbiamo verificato la proprietà associativa: la serie data e la serie ottenuta associando i termini sono entrambe convergenti e hanno la stessa somma \(\frac{3}{2}\).

ATTENZIONE !!

La proprietà associativa non è valida se la serie è indeterminata.