Serie numeriche e di potenza

Serie Numeriche - Analisi Matematica 2

Una serie numerica è la somma di una successione infinita di numeri:

∞

∑ a = a + a + a + … + a

n 1 2 3 n

n=1 a

Qui ( ) è una successione. La serie è il tentativo di sommare tutti i suoi termini, anche se

n

sono infiniti.

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Quando una Serie Converge? n

Una serie converge se la somma dei suoi primi termini tende a un numero finito al

S = a + a + … + a

crescere di n n. Questo significa che la somma parziale ha un limite

n 1 2 n

finito quando n→∞. Se questo limite esiste ed è finito, diciamo che la serie converge. Se il

limite non esiste o è infinito, la serie diverge.

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Condizione Necessaria per la Convergenza:

Se una serie converge, allora il termine generale tende a zero:

lim a = 0

n

n→∞ a

Ma non vale il contrario: se →0, non è detto che la serie converga.

n

∞ 1 1

∑ = ∞ → 0

(diverge, anche se )

Esempio: n n

n=1

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Tipi di Serie: ∞ n

∑ ar

Serie Geometrica: n=0 a

Se |r| < 1: converge a

- 1 − r

- Se |r| ≥ 1: diverge

( ) n

∞ 1 1

∑ = = 2

Esempio: .

2 1

1 −

n=0 2

∞ 1

∑

Serie Armonica: n

n=1

- Diverge, anche se i termini vanno a zero!

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Criteri di Convergenza:

Per stabilire se una serie converge o no, si usano vari criteri.

Criterio del Confronto:

∑ ∑

b a

0 ≤ a ≤ b

Se e converge, allora anche converge.

n n n n

1 1 1

∑

≤ ⇒

Esempio: converge (perché converge).

n + 1 n n

2 2 2

Criterio del Rapporto (d’Alembert): a n+1

lim = L

Si applica a serie con termini positivi: a

n→∞ n

- Se L < 1 converge;

⟹

- Se L > 1 diverge;

⟹

- Se L = 1 inconcludente.

⟹

∞ n n+1

a

2 2 n 2n

n+1

∑ ⇒ lim = lim ⋅ = lim =2

Esempio: n a n + 1 2 n + 1

n

n→∞ n→∞ n→∞

n

n=1

Poiché 2 > 1, la serie diverge.

Criterio della Radice (Cauchy): | |

lim n a = L

Utile per espressioni con esponenti: n

n→∞

- Se L < 1 converge;

⟹

- Se L > 1 diverge;

⟹

- Se L = 1 inconcludente.

⟹ ( ) ( )

n n

∞ 3n 3n 3n 3

∑ ⇒ lim = lim = lim =3

n

Esempio: n + 1 n + 1 n + 1 1

1 +

n→∞ n→∞ n→∞

n=1 n

Poiché 3 > 1, la serie diverge.

Criterio Integrale: ∞

1 1

∑

∑

Per serie del tipo , con funzione decrescente e positiva: n

n p

p n=1

- Se p > 1 converge;

⟹

- Se p ≤ 1 diverge;

⟹ 1 1

∑ ∑

Esempio: (converge); (diverge).

n n

2

Criterio di Leibniz (Serie Alternata): n

∑ (−1) a

Serie in cui i termini cambiano segno: n

Criterio di Leibniz (per la convergenza di una serie alternata):

- a ≥ 0

n

- a decrescente

n

- a 0

⟶

n

Allora la serie converge

∞ n+1

(−1)

∑ ⇒

(serie armonica alternata) converge (ma non assolutamente)

Esempio: .

n

n=1

Convergenza Assoluta:

∑ ∑ | |

a a

Una serie converge assolutamente se la serie dei valori assoluti converge.

n n

Se ignorando i segni la serie converge, allora converge sicuramente anche con i segni.

∞ n 1

(−1)

∑ ∑

Esempio: è assolutamente convergente, perché converge.

n n

2 2

n=1

Convergenza Condizionata:

∑ a

Una serie converge condizionatamente se:

n

∑ a

- converge;

n

∑ | |

a

- diverge.

n

La convergenza dipende dalla presenza dei segni alterni. Se togli i segni, la serie diverge.

∞ n+1

(−1) 1 1 1

∑ = 1 − + − + ⋯

Esempio: (converge per criterio di Leibniz),

n 2 3 4

n=1 1

∑ ⇒

ma diverge non converge assolutamente, solo condizionatamente.

n

Teorema Importante:

Ogni serie assolutamente convergente è anche convergente. Ma non vale il contrario!

∑

∑ | |

a

a

Convergenza Note

n n

Assoluta Convergenza Forte

✅ ✅

Cindizionata Dipende dai Segni

✅ ❌

Divergente Nessuna

❌ ❌ Convergenza