Serie Numeriche

X X

k = k + (n + 1) = + (n + 1) =

2 2

k=1 k=1 4

che è esattamente l'espressione che dovevamo ottenere. Quindi possiamo concludere

che la proprietà vale per ogni maggiore di 1. Per chiarire facciamo un ulteriore

n

esempio, considerando la seguente serie:

n n(n + 1)(2n + 1) (1.8)

X 2

k = 6

k=1

Usiamo il principio di induzione per vericare la validità della proprietà per ogni

maggiore di 1. Per prima cosa verichiamo la validità per (ovviamente

n n = 1

dovremo ottenere 1): ·

n(n + 1)(2n + 1) 1(1 + 1)(2 1 + 1) (1.9)

=⇒ =1

6 6

A questo punto dimostriamo per induzione che:

n+1 (n + 1)(n + 2)(2n + 3) (1.10)

X 2

k = 6

k=1

Avremo chiaramente, operando in modo analogo all'esempio precedente:

n

n+1 n(n + 1)(2n + 1) (1.11)

X

X 2 2

2 2

k + (n + 1) =

k = + (n + 1)

6

k=1

k=1 2

2n + 7n + 6

n(2n + 1) (1.12)

+ (n + 1) = (n + 1)

= (n + 1) 6 6

Il polinomio di secondo grado in ha due radici distinte pari a e quindi

−2 −3/2

n

può essere fattorizzato come segue: 3 (1.13)

2 )(n + 2) = (2n + 3)(n + 1)

2n + 7n + 6 = 2(n + 2

sostituendo si verica la validità della proprietà per da cui segue la validità

n + 1

generale per ogni maggiore di 1.

n

1.2 Algebra elementare delle serie

In questa sezione introduciamo le due proprietà fondamentali di base delle se-

rie numeriche che torneranno utili in seguito. Queste due proprietà riguardando

essenzialmente la delle serie numeriche ovvero:

linearità ∞ ∞ ∞ (1.14)

X X X

± ±

(a b ) = a b

n n n n

n=0 n=0 n=0

∞ ∞ (1.15)

X X

(ca ) = c a

n n

n=0 n=0

con . In termini più rigorosi, la condizione di linearità impone che se due

∈

c R

serie numeriche di termini generali e convergono rispettivamente ad e

a b A B

n n

(cioè per molto grande tendono ad assumere i valori e ) allora anche una

n A B

loro combinazione lineare con coecienti e converge e in particolare converge a

c d

. Chiariremo questi concetti nella prossima sezione in cui introduciamo il

±

cA dB

concetto di convergenza. 5

1.3 Convergenza

Per denizione il della successione delle somme parziali è il carattere della

carattere

serie associata. Quindi diremo che la seguente serie:

∞ (1.16)

X a n

k=0

è convergente e ha somma se la successione:

l n (1.17)

X →

s = a l

n k

k=0

allo stesso modo la serie diverge se la successione delle somme parziali diverge. Così

ad esempio la serie ormai familiare: ∞ (1.18)

X k

k=0

diverge in quanto la successione: n n(n + 1) (1.19)

X

s = k =

n 2

k=0

ovviamente diverge al crescere di . E' chiaro che se la successione delle somme

n

parziali è irregolare, ovvero non converge e non diverge ma oscilla in un intervallo,

anche la serie associata sarò irregolare. Enunciamo ora un teorema molto impor-

tante in quanto ci fornisce una condizione necessaria per la convergenza, e quindi

rappresenta il primo step nello studio della convergenza di una qualsiasi serie:

: Condizione necessaria anché la serie converga ad è:

∞

P a l

Teorema k

k (1.20)

→

a 0

k

quando tende a innito.

k : Scriviamo:

Dimostrazione (1.21)

s = a + a + . . . + a +a n

n 0 1 n−1

{z }

| s n−1

da cui: (1.22)

−

a = s s

n n n−1

Se la serie converge allora ed essendo:

→

s l

n (1.23)

≤ ≤

s s l

n−1 n

allora anche , quindi possiamo scrivere:

→

s l

n−1 (1.24)

− → − →

a = s s l l 0

n n n−1

6

: Sia monotona. Allora la serie è regolare ovvero o

∞

nk

P P

s = a a

Teorema n k k

k

converge o diverge.

: Sia non decrescente per cui:

s

Dimostrazione n (1.25)

≥ − ≥

s s =⇒ s s 0

n+1 n n+1 n

ed essendo si avrà:

−

s s = a

n+1 n n+1 (1.26)

≥ ∀n

a 0

n+1

quindi la serie o converge o diverge.

Per chiarire l'utilità di questi due teoremi prendiamo in considerazione la seguente

serie numerica: ∞

1 (1.27)

X cos k

k=0

possiamo fare la seguente osservazione:

1 1 (1.28)

≤ ∀n

0 < 1 =⇒ cos > 0

k k

la successione delle somme parziali è di conseguenza monotona quindi la serie è

regolare. Tuttavia osserviamo che:

1 (1.29)

6

= 1 = 0

lim cos k

k→+∞

quindi la serie non converge ma diverge in quanto non è soddisfatta la condizione

necessaria di convergenza.

1.4 Serie fondamentali

Prima di entrare nel dettaglio dei criteri di convergenza è comodo introdurre alcune

serie che incontreremo più volte nella trattazione successiva, in quanto ci accorge-

remo che spesso, nello studio concreto della convergenza, ciò che si prova a fare è

maggiorare la serie con cui si lavora con una serie di cui si conosce già il carattere.

Partiamo allora con il considerare la seguente serie:

∞

1 (1.30)

X n(n + 1)

k=1

la serie potrebbe convergere in quanto il termine generale va a zero per . Per

→ ∞

n

vericarlo procediamo come segue:

∞

n

1 1

1 (1.31)

X X −

= =

n(n + 1) k k + 1

k=1 k=1

1 1 1 1 1 1 1

− − − −

= 1 + + + ... +

2 2 3 3 4 n n +1

1

−

=1 n +1 7

allora per avremo:

→ ∞

n ∞

1 (1.32)

X =1

n(n + 1)

k=1

questa serie è nota come . Una serie analoga ma con comporta-

Serie di Mengoli

mento del tutto dierente è la seguente:

∞ 1 (1.33)

X k

k=1

detta . Essa è una serie divergente anche se soddisfa la condizione

Serie armonica

necessaria (ma non suciente) di convergenza. Si può dimostrare che la sua succes-

sione di somma parziali è asintotica a e in particolare vale la seguente relazione

log n

nota come formula di Eulero-Mascheroni

n 1 (1.34)

X = log n + c + ε n

k

k=0

dove è una costante (di Eulero-Mascheroni) pari a circa 0.5, mentre è un

c ε n

innitesimo che soddisfa: 1 (1.35)

0 < ε <

n n

La serie armonica può essere generalizzata con la seguente espressione:

∞ 1 (1.36)

X

ζ(s) = s

k

k=1

assumendo il nome di . Dimostreremo che essa converga se e

serie Zeta di Riemann

solo se .

s > 1

Consideriamo ora la seguente successione: (1.37)

2 3 n

s = 1 + q + q + q + . . . + q

n

questa successione di somme parziali da origine ad una serie detta Serie geometrica

di ragione . Il termine generale tende a zero se e sole se . Questa è

n −1

q q < q < 1

una condizione necessaria e suciente anché la serie:

∞ (1.38)

X n

q

k=0

converga. : Consideriamo la seguente successione:

Dimostrazione (1.39)

2 n

s = 1 + q + q + . . . + q

n

moltiplichiamo ambo i membri per :

q (1.40)

2 3 n n+1

qs = q + q + q + . . . + q + q

n n+1

−

1 q (1.41)

n+1

− − 6

s qs = 1 q =⇒ s = q = 1

n n n −

1 q

8

allora avremo che, quando :

−1 < q < 1 1 (1.42)

→

s n −

1 q

quando , la sua potenza diverge all'innito quindi anche la serie

q > 1 (n + 1)

converge. Quando , per pari la serie diverge a , mentre per dispari

−1

q < n +∞ n

a . Quando , è 0 o 1 rispettivamente se è dispari o pari. Mentre

−∞ −1

q = s n

n

quando è evidente che la serie è la somma di inniti termini pari a 1 e quindi

q = 1

diverge. 9

10

Capitolo 2

Criteri di Convergenza

In questo capitolo enunceremo una serie di criteri utili per studiare la convergenza

delle serie numeriche; ogni criterio verrà accompagnato dalla sua dimostrazione e da

alcuni esempi attraverso la quale cercheremo di chiarirne l'applicabilità.

2.1 Criterio del confronto

Si considerino le due seguenti serie numeriche:

∞ (2.1)

X a n

n=0

∞ (2.2)

X b n

n=0

entrambe a termini positivi o nulli, ovvero . Sia inoltre .

≥ ≤ ≤

a , b 0 0 a b

n n n n

Allora si ha che: diverge;

diverge allora anche

i) Se ∞ ∞

P

P b

a

n n

n=0 n=0

ii) Se converge allora anche converge.

∞

∞ P

P b a n

n n=0

n=0

La dimostrazione è molto semplice e intuitiva, infatti basta tenere presente della

relazione , per la quale si ha:

≤ ≤

0 a b

n n ∞ ∞ (2.3)

X X

≤

s (a) = a b = s (b)

n n n n

n=0 n=0

per cui posto: (2.4)

→

s (a) +∞

n

è evidente che anche divergerà. D'altro canto, se si ha:

s (b)

n (2.5)

→

s (b) l

n

allora: (2.6)

≤ → →

s (a) s (b) l =⇒ s (a) l

n n n

11

essendo regolare. Un corollario a questo criterio è il così detto

s (a) criterio del

n , secondo il quale, se le due serie (2.1) e (2.2) sono tali per cui:

confronto asintotico (2.7)

≥ ≥

a 0 b 0

n n

e è asintotico a per (in simboli: ), allora le due serie hanno

→ ∞ ∼

a b n a b

n n n n

stesso carattere. Questo criterio è molto utile nel valutare la convergenza di una

serie quando si è a conoscenza del comportamento di una sua serie asintotica; ad

esempio se si ha: ∞ 5 2

−

n 2n (2.8)

X 7 2

3n + 5n

n=1

si nota che per il termine generale:

5 2 5

−

n 2n n 1 (2.9)

∼ =

a =

n 7 2 7 2

3n + 5n 3n 3n

poiché la serie: ∞ 1 (2.10)

X 2

n

n=1

è una serie armonica convergente, allora ne deduciamo che anche la serie (2.8) con-

verge. Facciamo un altro esempio applicando questa volta il più generale criterio

del confronto; consideriamo la serie:

∞ 1 (2.11)

X √ 3

n log n

n=1

√

sia e sia tendono a innito quando tende a innito. Tuttavia sappiamo

log n n n

che il logaritmo a qualsiasi potenza è un innito di ordine inferiore rispett