Serie Numeriche

Indice

• Introduzione
• Principio di induzione
• Algebra elementare delle serie
• Convergenza
• Serie fondamentali
• Criteri di convergenza
• Criterio del confronto
• Criterio della radice
• Criterio del rapporto
• Esempi di applicazione dei criteri
• Assoluta convergenza
• Criterio di Leibniz
• Esempi riassuntivi

Serie numeriche

Mirko Leccese

3 giugno 2016

Introduzione

Con il termine serie numerica si indica un caso particolare di successione numerica, la successione delle somme parziali, comunemente indicata con la seguente notazione:

{s_n}_{n → ∞} ∑_n=0^∞ a_n = [a₀ + a₁ + a₂ + ... + a_n]

Per comprenderne il significato facciamo un esempio concreto. Supponiamo di prendere un segmento di lunghezza 2m e dividerlo in due parti uguali; ciascuna parte sarà chiaramente lunga 1m. Prendiamo ora uno dei due segmenti di lunghezza 1m e dividiamolo ancora a metà, ottenendo quindi altri due segmentini di lunghezza (1/2)m. Iterando il procedimento e sommando le lunghezze di tutti i segmentini otterremo la seguente successione di somme parziali:

s_n = 1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/2ⁿ

Ed è evidente che il suo limite sarà pari alla lunghezza del segmento totale ovvero 2. Bisogna fare attenzione però a non farsi ingannare dalla notazione: quando parliamo di serie numeriche non stiamo parlando di somme di infiniti termini perché in generale non valgono le usuali proprietà della somma, come vedremo in seguito.

In questo capitolo introdurremo alcuni concetti fondamentali su questa tipologia di successioni, chiarendo alcune delle proprietà algebriche che le caratterizzano, giungendo poi alla questione fondamentale che riguarda la convergenza o meno della serie. La convergenza è infatti quella che desta in generale il maggiore interesse nelle applicazioni (è importante sapere se la nostra "successione di somme" diverge all'infinito o se ha un limite superiore!!) e per questo è fondamentale stabilire una serie di criteri e condizioni che ci permettano, semplicemente conoscendo il termine generale della serie (a_n), di capire come essa si comporta quando diventa abbastanza grande.

Nella trattazione ci accorgeremo inoltre che alcune serie numeriche possono essere ricondotte ad una ben precisa espressione analitica; facciamo un esempio: per indicare la somma dei primi interi positivi possiamo utilizzare la seguente notazione:

∑_k=1ⁿ k

Ci chiediamo se è possibile avere una espressione analitica immediata che ci permetta di calcolare esplicitamente questa somma senza sommare effettivamente termine a termine. La risposta è affermativa e si ha:

∑_k=1ⁿ k = n(n + 1)/2

Nel corso della trattazione vedremo come sarà possibile ricavare espressioni analitiche di questo tipo per certe serie, ma prima ancora di entrare nel merito di questa questione, possiamo fin da subito enunciare un principio del tutto generale che ci permetta di verificare a posteriori la loro validità. Questo principio è noto come principio di induzione e ha una grande importanza proprio in virtù della sua "generalità". Vediamo come esso possa essere applicato al caso delle serie.

Principio di induzione

Consideriamo una proprietà dipendente da un certo intero n, con n ≥ n₀. Per dimostrare che P_n è valida per ogni intero n ≥ n₀ possiamo procedere in questo modo:

• Dimostriamo che la proprietà è vera per un certo n₀, ad esempio il primo termine della serie;
• Facciamo una ipotesi di induzione, ovvero supponiamo P_n vera per un indice n e dimostriamo che la proprietà è valida anche per P_n+1.

Per l'arbitrarietà di n, è evidente che se P_n+1 è vera allora la proprietà sarà vera per ogni n maggiore del n₀ scelto. Per chiarire questo procedimento facciamo subito un esempio, considerando proprio la serie con cui avevamo costruito la somma dei primi interi. Allora avremo:

∑_k=1ⁿ k = n(n + 1)/2

Prendiamo n = 1. La proprietà è vera per n=1? La somma dei primi n termini è chiaramente 1, se partiamo a contare da 1 e non da 0 (come esplicitato nella notazione della serie); se sostituiamo a n il valore 1 nell'espressione analitica otteniamo chiaramente [1(1+1)]/2 che è ovviamente pari a 1, quindi la proprietà è verificata. Usando l'ipotesi di induzione, dobbiamo ora dimostrare che vale:

∑_k=1ⁿ⁺¹ k = (n+1)(n+2)/2

Per dimostrarlo, conviene scrivere la serie che "scorre" fino a n+1 come la serie fino a n più il termine che aggiungiamo, ovvero (n + 1), quindi:

∑_k=1ⁿ⁺¹ k = ∑_k=1ⁿ k + (n + 1) = n(n + 1)/2 + (n + 1) = (n + 1)(n + 2)/2

che è esattamente l'espressione che dovevamo ottenere. Quindi possiamo concludere che la proprietà vale per ogni n maggiore di 1. Per chiarire facciamo un ulteriore esempio, considerando la seguente serie:

∑_k=1ⁿ k² = n(n + 1)(2n + 1)/6

Usiamo il principio di induzione per verificare la validità della proprietà per ogni n maggiore di 1. Per prima cosa verifichiamo la validità per n = 1 (ovviamente dovremo ottenere 1):

n(n + 1)(2n + 1)/6 = 1(1 + 1)(2 * 1 + 1)/6 = 1

A questo punto dimostriamo per induzione che:

∑_k=1ⁿ⁺¹ k² = (n+1)(n+2)(2n+3)/6

Avremo chiaramente, operando in modo analogo all'esempio precedente:

∑_k=1ⁿ⁺¹ k² = ∑_k=1ⁿ k² + (n + 1)² = n(n + 1)(2n + 1)/6 + (n + 1)²

Il polinomio di secondo grado in n ha due radici distinte pari a -2 e -3/2, quindi può essere fattorizzato come segue:

2n² + 7n + 6 = 2(n + 2)(n + 1)

Sostituendo si verifica la validità della proprietà per n + 1, da cui segue la validità generale per ogni n maggiore di 1.

Algebra elementare delle serie

In questa sezione introduciamo le due proprietà fondamentali di base delle serie numeriche che torneranno utili in seguito. Queste due proprietà riguardano essenzialmente la linearità delle serie numeriche, ovvero:

∑_n=0^∞ (a_n ± b_n) = ∑_n=0^∞ a_n ± ∑_n=0^∞ b_n

∑_n=0^∞ (c a_n) = c ∑_n=0^∞ a_n

con c ∈ ℝ. In termini più rigorosi, la condizione di linearità impone che se due serie numeriche di termini generali a_n e b_n convergono rispettivamente ad A e B (cioè per n molto grande tendono ad assumere i valori A e B) allora anche una loro combinazione lineare con coefficienti c e d converge e in particolare converge a cA ± dB. Chiariremo questi concetti nella prossima sezione in cui introduciamo il concetto di convergenza.

Convergenza

Per definizione, il carattere della successione delle somme parziali è il carattere della serie associata. Quindi diremo che la seguente serie:

∑_k=0^∞ a_n

è convergente e ha somma s se la successione:

s_l = ∑_k=0^l a_k → s