Serie - Appunti sulle serie

Serie Numeriche

Data una successione {an} chiamiamo serie dei termini an la scrittura ∑ an.

Costruiamo un'altra successione {Sn} i cui termini sono così definiti:

• S₀ = a₀
• S₁ = a₀ + a₁
• S₂ = a₀ + a₁ + a₂
• S_n = a₀ + a₁ + ... + a_n = ∑_k=0^m a_k

Il numero Sn viene detto "Somma parziale M-esima della serie" e {Sn} si dice successione delle somme parziali della serie.

Serie Convergenti e Divergenti

Una serie numerica ∑_n=0^∞ an si dice convergente se S = lim S_n esiste finito.

Si dice divergente se S = lim S_n = ±∞

Si dice irregolare se S = lim S_n non esiste

Condizione Necessaria (non sufficiente) per la Convergenza

Data una successione {an} n∈ℕ affinché la serie ∑_n=0^∞ an converga, è necessario che lim a_n = 0

Non è vero il contrario

Dimostrare che lim a_n = 0 non è sufficiente per dire che converge

Oss.: Se lim a_n ≠ 0 allora necessariamente la mia serie non converge

Dimostrazione condizione necessaria

∑_n=0^M a_n ≥ ∃_n=0^M b_n → S_m = S_n + 2b_m ⇒ 2b_m = S_n − S_m−1

poiché la mia serie converge per definizione: lim S_m = S lim S_n = S

Allora lim (S_m − S_n) = lim S_n (S_n−1 − S_m) = 0

S = S − S = 0

Serie a termini positivi/negativi

• a_n è a termini positivi se a_n > 0 ∀n ∈ ℕ (∃n > m₀)
• b_n è a termini negativi se b_n < 0 ∀n ∈ ℕ

∑_n=0^∞ b_n = − ∑_n=0^∞ a_m = − ∑_n=0^∞ a_m

Data una serie a termini positivi, essa non è irregolare

Criteri di Convergenza

• Criterio del confronto

siano ∑_n=0^∞ a_n e ∑_n=0^∞ b_n serie a termini positivi con a_n ≤ b_m ∀n,m ∈ ℕ

⇒

• se ∑_n=0^∞ a_n diverge allora ∑_n=0^∞ b_m diverge
• se ∑_n=0^∞ b_n converge, allora ∑_n=0^∞ a_n converge

dimostrazione:

• ∑_n=0^∞ a_m serie a_m > 0, s_k = ∑_i=0^k a_i, ∑_n=0^∞ b_n serie b_m > 0, t_k = ∑_i=0^k b_i
• ∀n ∈ ℕ o ∀n ≥ m₀, a_n ≤ b_m ⇒ t_k ≥ s_k ∀k ∈ ℕ
• per teorema di confronto era successioni:

lim_n→∞ c ≤ lim s_k ≤ lim t_c

• se ∑ b_n converge, lim t_k = T: lim s_k ≤ T → CONVERGE quindi ∑ a_m converge
• se ∑ b_n diverge, lim t_n→∞ = ∞: lim t_m→∞ = DIVERGE quindi ∑ b_m diverge

S_2k ≤ S_2k-2 ≤ S_2k-4 ≤ ... ≤ S₀

S_2k+1 ≥ S_2k-1 ≥ S_2k-3 ... ≥ S₁

S_n è anche limitata, S_2k e S_2n+1 convergono

CASO PARI:

lim S_2m = S_m→∞

CASO DISPARI:

lim S_2m+1 = S_m→∞

• lim (S_2m-S_2m+1) - lim S_2m+1 = 0
• lim (S_2m) - lim (S_2m+1) + S - S = 0 ⇒ S = S̅
• S_2m+1 ≤ S ≤ S_2m

SERIE E LORO DIMOSTRAZIONI

serie armonica

∑_n=1^∞ 1/n divergente.

b_m=1/m > 0 ∀ m ≥ 1, chiamo b_m=(1+¹/_m)^m lim b_m=e ⇒ b_m ≤ e ∀ n ≥ m₀.

(1+¹/_m)^m ≤ e ⇒ ln (1+¹/_m ≤ ln (e)=m ln (1+¹/_m) ≤ 1 ⇒

⇒ ln (^m+1/_m) ∑₁^m ln (^m+1/_m) - ln (x) ≤ ¹/_m = ∑ ln (m+1) - ln (m ≤ ¹/_m = ∑ 1/m

• osservo che ∑_n=1^∞ ln (m+1) - ln (m) è una serie telescopica *
• la sua S_m= ln (m+1) - ln (m+1) ⇒ lim ln (m+1) = +∞_M→∞

⇒ ∑_n=1^∞ ln (m+1) - ln (m) diverg per criterio del confronto, anche ∑&sub>n=1^∞ 1/m diverg

* Una serie si dice telescopica se il suo termine generale a_m si scrive come differenza di due termini successivi