Serie - Appunti sulle serie

Serie numeriche

Data una successione {a_n} chiamiamo serie dei termini a_n la scrittura ∑_n=0^∞a_n.

Costruiamo un’altra successione {S_n} i cui termini sono così definiti:

S₀ = a₀.

S₁ = a₀ + a₁.

S₂ = a₀ + a₁ + a₂.

S_m = a₀ + a₁ + ... + a_m = ∑_k=0^ma_k.

Il numero S_m viene detto “Somma parziale M-esima della serie” e {S_m} si dice “Successione delle somme parziali della serie”.

Serie convergenti e divergenti

Una serie numerica ∑_n=0^∞a_n si dice convergente se S = lim S_n esiste.

Si dice divergente se S = lim S_n = ±∞.

Si dice irregolare se S = lim S_n non esiste.

Condizione necessaria (non sufficiente) per la convergenza

Data una successione {a_n} n ∈ N affinché la serie ∑_n=0^∞a_n converga, è necessario che lim a_n = 0.

Non è vero il contrario.

Dimostrare che lim a_n = 0 non è sufficiente per dire che converge.

Oss. Se lim a_n ≠ 0 allora necessariamente la mia serie non converge.

Serie numeriche

Data una successione {a_n} chiamiamo serie de termini a_n la scrittura Σ_n=0^∞ a_n.

Costruiamo un'altra successione {S_n} i cui termini sono così definiti:

S₀ = a₀.

S₁ = a₀ + a₁.

S₂ = a₀ + a₁ + a₂.

S_n = a₀ + a₁ + ... + a_n = Σ_k=0^m a_k.

Il numero S_n viene detto “Somma parziale M-esima della serie” e {S_n} si dice Successione delle somme parziali della serie.

Serie convergenti e divergenti

Una serie numerica Σ_n=0^∞ a_n si dice convergente se S = lim S_n esiste, _m⟶∞.

Si dice divergente se S = lim S_n = ±∞ _m⟶∞.

Si dice irregolare se S = lim S_n non esiste _m⟶∞.

Condizione necessaria (non sufficiente) per la convergenza

Data una successione {a_n} n∈N affinché la serie Σ_n=0^∞ a_n converge, è necessario che lim a_n = 0 _m⟶∞.

Non è vero il contrario.

Dimostrare che lim a_n = 0 non è sufficiente per dire che converge _m⟶∞.

Oss. Se lim a_n ≠ 0 allora necessariamente la mia serie non converge _m⟶∞.

Dimostrazione della condizione necessaria

∑_i=0ⁿ a_i = S_n + a_n → S_m = S_m-1 + a_m → S_m = S_n + a_m → a_m = S_m - S_m-1.

Poiché la mia serie converge, per definizione: lim_n→+∞ S_m = S.

Allora: lim_n→+∞ S_m - S_m-1 = lim_n→+∞ S_n - lim_n→+∞ S_n-1 = S - S = 0.

Serie a termini positivi/negativi

a_n è a termini positivi se a_n ≥ 0 ∀ n ∈ N (∀ n ≥ 0).

a_n è a termini negativi se a_n ≤ 0 ∀ n ∈ N.

b_n = -a_n.

∑_i=0ⁿ b_m = -∑_i=0ⁿ a_m.

Data una serie a termini positivi, una non è irregolare.

Criteri di convergenza

Criterio del confronto

Siano ∑_i=0^+∞ a_m e ∑_i=0^+∞ b_m serie a termini positivi con a_m ≤ b_m ∀ a ∈ N.

• Se ∑_i=0^+∞ a_n diverge allora ∑_i=0^+∞ b_n diverge.
• Se ∑_i=0^+∞ b_n converge allora ∑_i=0^+∞ a_n converge.

Dimostrazione

∑_i=0^+∞ a_m serie a_m ≥ 0; S_k = ∑_i=0^k a_i; ∑_i=0^+∞ b_m serie b_m ≥ 0; t_k = ∑_i=0^k b_i.

∀ n ∈ N o ∀ n ≥ 0: a_n ≤ b_m → t_k ≥ S_k ∀ k ∈ N.

Per teorema del confronto tra successioni: lim_n→+∞ 0 ≤ lim_n→+∞ S_k ≤ lim_n→+∞ t_k.

• Se ∑ b_n converge lim t_k = T; lim S_k ≤ T = {converge quindi ∑ a_n converge.
• Se ∑ a_n diverge lim t_k = +∞ ≠ {diverge quindi ∑ a_n diverge.

Criterio del confronto asintotico

Siano _n=0^∞ a_n e _n=0^∞ b_n a termini positivi tali che ∃M ∋ b_n ≠ 0 _n→+∞ (lim _n→+∞ a_n/b_n = l).

Allora _n=0^∞ a_n e _n=0^∞ b_n hanno lo stesso carattere.

Dimostrazione

Sapendo che lim _n→+∞ a_n/b_n = l, ∀ε>0 ∃N∈ℕ : ∀n≥m₀ : _n→+∞ a_n/b_n - 1 ∈ (-ε,ε).

∃ε.UI0 ≤ b_n(1-ε) ≤ a_n ⇒ per criterio del confronto se _n=0^∞ a_n converge, _n=0^∞ b_n(1-ε) converge ⇒ _n=0^∞ b_n converge.

0 ≤ a_n ≤ b_n(1+ε) ⇒ per criterio del confronto se _n=0^∞ b_n(1+ε) converge, _n=0^∞ a_n converge.

Analogamente per la divergenza.

Criterio del rapporto e della radice

Sia _n=0^∞ a_n a termini positivi.

Sia l = lim _n→+∞ a_n+1/a_n, oppure l = lim _n→+∞ a_n^1/n.

Se l = 1 il criterio fallisce.

Se l > 1 la serie diverge.

Se l < 1 la serie converge.

Dimostrazione radice

l = lim _n→+∞ a_n^1/n se l < 1 ∃ε>0 tali che: 0 < l + ε < 1.

Quindi ∃ε>0 ∃m₀∈ℕ : ∀n≥m₀ |_n→+∞ a_n^1/n - l| < ε ⇒ -ε < a_n^1/n - l < ε ⇒ ∀n a_n^1/n < l + ε ⇒ a_n < (l+ε)ⁿ.

Per criterio del confronto: 0 ≤ a_n ≤ _n=0^+∞ (l+ε)ⁿ → serie geometrica di ragione (l+ε) < 1, convergente.

Dimostrazione

b = lim _m→+∞ a_m+1 / a_m.

Sia b < 1 => ∃ q < 1: q < b + 1.

Quindi ∀ ε > 0 ∃ n₀ ∀ n ≥ n₀ a_m+1 / a_m < b + ε => a_m+1 / a_m < ε + θ ε => 2 m + 1 (q + ε) a_m ∀ n > m₀ => 0 ≤ ∑_m=0^+∞ a_m.

Per criterio del confronto: 0 < ∑_m=0^+∞ (q + ε) a_m a_m ∑_m=0^+∞ (a_m)^m-n₀ a_m0.

a_m ∑_m=0^+∞ (a_{m0+ ε)^m-n0.}

Serie geometrica convergente => ∑_m=0^+∞ a_m converge.

Criterio di sostituzione (o condensazione)

Sia ∑_n=0^+∞ a_n a_n 0^\forall > N \in \mathbf N.

Per questa tipologia di serie vale il seguente criterio:

Criterio di Leibnitz

Data +_m=0^+∞ (-1)^m 2_m con 2_m > 0^\forall > N \in \mathbf N se:

• Lim 2_m = 0 _m→+∞.
• 2_n è monotona decrescente.

⇒ la serie converge e si detta S la somma.

S - S_m+1 ≤ 2_m+1.

-S_2m+1 ≤ S ≤ S_2m.

Dimostrazione

2_m decrescente ⇒ S₀ = 2₀, S₁ = 2₀ - 2₁ S₂ = 2₀ - 2₁ + 2₂, S₃ = 2₀ - 2₁ + 2₂ - 2₃.

S_m = 2₀ - 2₁ + 2₂ - 2₃ + ...(-1)^m 2_m = S_n - (-1)^m 2_m.

S_2k = S_2k-1 + (-1)^2k 2_k 0> perché 2_m è decrescente = S_2k-2 - 2_k + 2_k = S_2k-2 - (2_k - 1 - 2_k) ≤ S_2k-2.

= S_2k-2 - 2_k ≤ S_2k-2.

S_k+1 = S_k - 2_k + 2_k+1 + 2_k = S_2k-1 + (2_k - 2_k+1) ≤ S_2k-1.

⇒ S_m pari è decrescente.

S_m ╱(pari ⧧ dispari)⧧ ⥥ decrescente.

Sn ≤ S2k-2 ≤ S2k-4 ≤ ... ≤ S0.

S2k+1 ≥ S2k-1 ≥ S2k-3 ≥ ... ≥ S1.

Sn è anche limitata, S2k e S2k+1 convergono.

Caso pari: lim S2m = S_m→∞.

Caso dispari: lim S2m+1 = S_n→∞.

• lim (S2m - S2m+1) - lim S2m+1 = 0_{m→∞m→∞}.

lim (S2m) - lim (S2m+1) = S - S = 0 ⇒ S = S_{n→∞n→∞}.

S2m+1 ≤ S ≤ S2m.

Serie e loro dimostrazioni

Serie armonica

∑_n=1 1/n divergente.

1/n > 0 ∀n ≥ 1, chiamo ln = (1+1/n)ⁿ lim ln_n→∞ = e ⇒ ln ≤ e ∀n ≥ n₀.

(1+1/n)ⁿ ≤ e ⇒ ln (1+1/n)ⁿ ≤ ln(e) = n ln (1+1/n) ≤ 1 ⇒ ⇒ ln (m+1/m) ≤ 1/m ⇒ ln (m+1) - ln (m) ≤ 1/m = ∑m ⇒ ∑m ≤ ∑n ∀n ≥ n₀, allora 0 n=n₀ (1/n) = ∑_n=1.

Osservo che ∑_n=1 ln (m+1) - ln (m) è una serie telescopica.

La sua somma = ln (m+1) - ln (m+1) ⇒ lim ln (m+1) = +∞_m→∞.

⇒ ∑_n=1 ln (m+1) - ln (m) diverge, per criterio del confronto, anche ∑_n=1 1/n diverge.

* Una serie si dice telescopica se il suo termine generale an si scrive come differenza di due termini successivi *

Serie di Mengoli

∑_n=1^{∞ 1}/_n(n+1).

Δn = ¹/_n - ¹/_n+1.

S_k = ∑_n=1^{k 1}/_n(n+1) = S₁ = Δ₁ = 1 - ¹/₂.

S₂ = Δ₁ + Δ₂ = (1 - ¹/₂) + (¹/₂ - ¹/₃) = 1 - ¹/₃.

S₃ = 1 - ¹/₄ ... S_k = 1 - ¹/_k+1.

lim_k→+∞ (1 - ¹/_k+1) = 1.

La serie di Mengoli è convergente.

Serie geometrica

∑_i=0^∞ qⁱ dove Δn = qⁿ.

S_m = ∑_i=0^m qⁱ = ^{1 - qm+1}/_1-q = { ¹/_1-q se |q| < 1; +∞ se q > 1; irregolare se q ≤ -1}.

Se q = 1 S_m = ∑_i=0^m 1ⁱ = m+1 → lim_m→+∞ S_n = +∞.

Quindi: ∑_i=0^∞ qⁱ → converge a ¹/_1-q se |q| < 1; diverge a +∞ se q > 1; irregolare se q ≤ -1.