Serie - Appunti sulle serie

SERIE NUMERICHE

Data una successione {a_n} chiamiamo serie dei termini a_n la scrittura ∑_n=0^∞a_n

Costruiamo un’altra successione {S_n} i cui termini sono così definiti:

• S₀ = a₀
• S₁ = a₀ + a₁
• S₂ = a₀ + a₁ + a₂
• S_m = a₀ + a₁ + ... + a_m = ∑_k=0^ma_k

Il numero S_m viene detto “Somma parziale M-esima della serie” e {S_m} si dice “Successione delle Somme parziali della serie”.

SERIE CONVERGENTI E DIVERGENTI

Una serie numerica ∑_n=0^∞a_n si dice convergente se S = lim S_n esiste.

Si dice divergente se S = lim S_n = ±∞

Si dice irregolare se S = lim S_n non esiste.

CONDIZIONE NECESSARIA (non sufficiente) PER LA CONVERGENZA

Data una successione {a_n} n ∈ N affinché la serie ∑_n=0^∞a_n converga, è necessario che lim a_n = 0.

• Non è vero il contrario
• Dimostrare che lim a_n = 0 non è sufficiente per dire che converge

Oss. Se lim a_n ≠ 0 allora necessariamente la mia serie non converge

SERIE NUMERICHE

Data una successione {a_n} chiamiamo serie de termini a_n la scrittura Σ_n=0^∞ a_n.

Costruiamo un'altra successione {S_n} i cui termini sono così definiti:

• S₀=a₀.
• S₁=a₀+a₁.
• S₂=a₀+a₁+a₂.
• S_n=a₀+a₁+...+a_n=Σ_k=0^m a_k.

Il numero S_n viene detto "Somma parziale M-esima della serie" e {S_n} si dice Successione delle Somme parziali della serie.

SERIE CONVERGENTI E DIVERGENTI

Una serie numerica Σ_n=0^∞ a_n si dice convergente se S=lim S_n esiste, _m⟶∞

Si dice divergente se S=lim S_n=±∞ _m⟶∞

Si dice irregolare se S=lim S_n non esiste _m⟶∞

CONDIZIONE NECESSARIA (non sufficiente) PER LA CONVERGENZA

Data una successione {a_n} n∈N affinché la serie Σ_n=0^∞ a_n converge, è necessario che lim a_n=0 _m⟶∞

• Non è vero il contrario
• Dimostrare che lim a_n=0 non è sufficiente per dire che converge _m⟶∞

Oss. Se lim a_n≠0 allora necessariamente la mia serie non converge _m⟶∞

Dimostrazione condizione necessaria

∑_i=0ⁿ a_i = S_n + a_n → S_m = S_m-1 + a_m → S_m = S_n + a_m → a_m = S_m - S_m-1

poiché la mia serie converge, per definizione: lim_n→+∞ S_m = S

Allora: lim_n→+∞ S_m-S_m-1 = lim_n→+∞ S_n - lim_n→+∞ S_n-1 = S - S = 0

Serie a termini positivi/negativi

• a_n è a termini positivi se a_n ≥ 0 ∀ n ∈ N (∀ n ≥ 0)
• a_n è a termini negativi se a_n ≤ 0 ∀ n ∈ N
• b_n = -a_n
• ∑_i=0ⁿ b_m = -∑_i=0ⁿ a_m

Data una serie a termini positivi, una non è irregolare

Criteri di convergenza

Criterio del confronto

• siano ∑_i=0^+∞ a_m e ∑_i=0^+∞ b_m serie a termini positivi con a_m ≤ b_m ∀ a ∈ N

1. se ∑_i=0^+∞ a_n diverge allora ∑_i=0^+∞ b_n diverge
2. se ∑_i=0^+∞ b_n converge allora ∑_i=0^+∞ a_n converge

dimostrazione:

• ∑_i=0^+∞ a_m serie a_m ≥ 0; S_k = ∑_i=0^k a_i; ∑_i=0^+∞ b_m serie b_m ≥ 0; t_k = ∑_i=0^k b_i
• ∀ n ∈ N o ∀ n ≥ 0: a_n ≤ b_m → t_k ≥ S_k ∀ k ∈ N

per teorema del confronto tra successioni:

lim_n→+∞ 0 ≤ lim_n→+∞ S_k ≤ lim_n→+∞ t_k

1. se ∑ b_n converge lim t_k = T; lim S_k ≤ T = {converge quindi ∑ a_n converge
2. se ∑ a_n diverge lim t_k = +∞ ≠ {diverge quindi ∑ a_n diverge

Criterio del confronto asintotico

Siano _n=0^∞ a_n e _n=0^∞ b_n a termini positivi tali che ∃M ∋ b_n ≠ 0 _n→+∞ (lim _n→+∞ a_n/b_n = l).

Allora _n=0^∞ a_n e _n=0^∞ b_n hanno lo stesso carattere.

Dimostrazione:

Sapendo che lim _n→+∞ a_n/b_n = l, ∀ε>0 ∃N∈ℕ : ∀n≥m₀ : _n→+∞ a_n/b_n - 1 ∈ (-ε,ε)

∃ε.UI

0 ≤ b_n(1-ε) ≤ a_n ⇒ per criterio del confronto se _n=0^∞ a_n converge, _n=0^∞ b_n(1-ε) converge ⇒ _n=0^∞ b_n converge

0 ≤ a_n ≤ b_n(1+ε) ⇒ per criterio del confronto se _n=0^∞ b_n(1+ε) converge, _n=0^∞ a_n converge

Analogamente per la divergenza

Criterio del rapporto e della radice

Sia _n=0^∞ a_n a termini positivi

Sia l= lim _n→+∞ a_n+1/a_n, oppure l=lim _n→+∞ a_n^1/n

Se l =1 il criterio fallisce

Se l > 1 la serie diverge

Se l < 1 la serie converge

Dimostrazione radice

l= lim _n→+∞ a_n^1/n se l<1 ∃ε>0 tali che: 0<l+ε<1

quindi ∃ε>0 ∃m₀∈ℕ : ∀n≥m₀ |_n→+∞ a_n^1/n - l| < ε

⇒ -ε < a_n^1/n - l < ε ⇒ ∀n a_n^1/n < l + ε ⇒ a_n < (l+ε)ⁿ

per criterio del confronto:

0 ≤ a_n ≤ _n=0^+∞ (l+ε)ⁿ → serie geometrica di ragione (l+ε) < 1, convergente.

dimostrazione

b = lim _m→+∞ a_m+1 / a_m

Sia b < 1 => ∃ q < 1: q < b + 1

quindi ∀ ε > 0 ∃ n₀ ∀ n ≥ n₀ a_m+1 / a_m < b + ε

=> a_m+1 / a_m < ε + θ ε => 2 m + 1 (q + ε) a_m ∀ n > m₀

=> 0 ≤ ∑_m=0 ^+∞ a_m

per criterio del confronto:

0 < ∑_m=0 ^+∞ (q + ε) a_m a_m ∑_m=0 ^+∞ (a_m)^m-n₀ a_m0

a_m ∑_m=0 ^+∞ (a_{m0+ ε)^m-n0}

Serie geometrica convergente

=> ∑_m=0 ^+∞ a_m converge

CRITERIO DI SOSTITUZIONE (O CONDENSAZIONE)

Sia ∑_n=0 ^+∞ a_n a_n 0 ^{\forall \sup>N \in \mathbf N}

per questa tipologia di serie vale il seguente criterio:

Criterio di Leibnitz

Data +_m=0^+∞ (-1)^m 2_m con 2_m > 0 ^{\forall \sup>N \in \mathbf N} se:

1. lim 2_m = 0 _m→+∞
2. 2_n è monotona decrescente

⇒ la serie converge e si detta S la somma

^{S-S_m+1 \leq 2_m+1}

^{-S_2m+1 \leq S \leq S_2m}

dimostrazione

2_m decrescente ⇒ S₀ = 2₀, S₁ = 2₀ - 2₁ S₂ = 2₀ - 2₁ + 2₂, S₃ = 2₀ - 2₁ + 2₂ - 2₃

S_m = 2₀ - 2₁ + 2₂ - 2₃ + ...(-1)^m 2_m = S_n - (-1)^m 2_m

S_2k = S_2k-1 + (-1)^2k 2_k 0> perche 2_m è decrescente

= S_2k-2 - 2_k + 2_k = S_2k-2 - (2_k - 1 - 2_k) \leq S_2k-2

= S_2k-2 - 2_k \leq S_2k-2

S_k+1 = S_k - 2_k + 2_k+1 + 2_k = S_2k-1 + (2_k - 2_k+1) \leq S_2k-1

⇒ S_m pari è decrescente

S_m ╱(pari ⧧ dispari)⧧ ⥥ decrescente

Sn ≤ S2k-2 ≤ S2k-4 ≤ ... ≤ S0

S2k+1 ≥ S2k-1 ≥ S2k-3 ≥ ... ≥ S1

Sn è anche limitata, S2k e S2k+1 convergono

CASO PARI:

lim S2m = S_m→∞

CASO DISPARI:

lim S2m+1 = S_n→∞

• lim (S2m - S2m+1) - lim S2m+1 = 0_{m→∞m→∞}

lim (S2m) - lim (S2m+1) = S - S = 0 ⇒ S = S_{n→∞n→∞}

S2m+1 ≤ S ≤ S2m

SERIE E LORO DIMOSTRAZIONI

serie armonica.

∑_n=1 1/n divergente

1/n > 0 ∀n ≥ 1, chiamo ln = (1+1/n)ⁿ lim ln_n→∞ = e ⇒ ln ≤ e ∀n ≥ n₀

(1+1/n)ⁿ ≤ e ⇒ ln (1+1/n)ⁿ ≤ ln(e) = n ln (1+1/n) ≤ 1 ⇒

⇒ ln (m+1/m) ≤ 1/m ⇒ ln (m+1) - ln (m) ≤ 1/m = ∑m

⇒ ∑m ≤ ∑n ∀n ≥ n₀, allora 0 < ∑_n=n0 (1/n) = ∑_n=1

osservo che ∑_n=1 ln (m+1) - ln (m) è una serie telescopica

la sua som = ln (m+1) - ln (m+1) ⇒ lim ln (m+1) = +∞_m→∞

⇒ ∑_n=1 ln (m+1) - ln (m) diverge, per criterio del confronto, anche

∑_n=1 1/n diverge

* Una serie si dice telescopica se il suo termine generale an si scrive come differenza di due termini successivi *

Serie di Mengoli

∑_n=1^{∞ 1}/_n(n+1)Δn = ¹/_n - ¹/_n+1S_k = ∑_n=1^{k 1}/_n(n+1) =    S₁ = Δ₁ = 1 - ¹/₂    S₂ = Δ₁ + Δ₂ = (1 - ¹/₂) + (¹/₂ - ¹/₃) = 1 - ¹/₃ S₃ = 1 - ¹/₄    ...    S_k = 1 - ¹/_k+1

lim_k→+∞ (1 - ¹/_k+1) = 1

La serie di Mengoli è convergente

Serie geometrica

∑_i=0^∞ qⁱ dove Δn = qⁿ

S_m = ∑_i=0^m qⁱ = ^{1 - qm+1}/_1-q = {   ¹/_1-q se |q| < 1  +∞ se q > 1  irregolare se q ≤ -1}

se q = 1S_m = ∑_i=0^m 1ⁱ = m+1 → lim_m→+∞ S_n = +∞

quindi:∑_i=0^∞ qⁱ → converge a ¹/_1-q se   |q| < 1            diverge a +∞ se q > 1            irregolare se q ≤ -1