Appunti sulle serie nunmeriche per Analisi 1

Serie geometriche

∑_m=0 ∞ q^mS_m = 1 + q + q² + q³ + ... + q^m = ⎧ (1 - q^m+1) / (1 - q) se q ≠ 1⎨⎩ m + 1 se q = 1.

lim_m→∞ S_m = ⎧ 1 / (1 - q) se |q| < 1⎨ +∞ se q > 1⎩ NON ESISTE se q ≤ -1.

Quindi:∑_m=0 ∞ q^m è ⎧ convergente (con somma 1 / (1 - q)) se |q| < 1⎨ divergente se q > 1⎩ indeterminata se q ≤ -1.

Esempio: ∑_m=0 ∞ (1/2)^m converge (1/2 < 1) e la somma è 1/(1 - 1/2) = 2.

Serie telescopiche

Serie di Mengoli

∑_m=0 ∞ 1 / [m(m+1)].

a_m = 1 / [m(m+1)] = 1/m - 1/(m+1).

S_M = 1/1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + ... + 1/m - 1/(m+1) = 1 - 1/(m+1).

lim_m→∞ S_m = lim_m→∞ [1 - 1/(m+1)] = 1.

Converge e la somma è 1.

Serie a termini di segno variabile

Convergenza assoluta

Una serie Σa_n si dice assolutamente convergente se converge la serie Σ|a_n|.

Se una serie converge assolutamente, allora converge. Il viceversa, in generale, non è vero.

Esempio: Studiare la serie Σ_n=1^∞ sin(n+1) / n⁴. Segno variabile [-1,1], non è possibile utilizzare il criterio del confronto.

0 < |sin(n+1)| / n⁴ < 1 / n⁴ → α=4 > 1 convergenza assoluta (con il valore assoluto posso usare il criterio del confronto).

Perciò si può concludere che la serie studiata converge.

Esempio: Studiare la serie Σ_n=1^∞ (-1)ⁿ n² + 3 / (n⁴ + 2n). Segno variabile (alterna).

Sempre positiva = n² + 3 / (n⁴ + 2n) ∼ n² / n⁴ = 1 / n² converge assolutamente, α=2 > 1.

Esempio: Studiare la serie Σ_n=1^∞ (-1)ⁿ n² + 3 / (n³ + 2n) = n² + 3 / n³ + 2n ∼ n² / n³ = 1 / n¹ diverge assolutamente, α=1.

Criterio di Leibniz

Sia {a_n} una successione e supponiamo che:

• a_n → 0 definitivamente
• a_n → 0 per n → +∞
• a_n → m definitivamente

Allora la serie ∑ (-1)ⁿa_n è convergente.

Esempio: Studiare la serie ∑_n=0^∞ (-1)^{n 1}/_n!.

• -a_n = ¹/_n! è positivo e infinitesimo (n! → ∞ → ¹/_n! → 0)
• -a_n è decrescente

Per il criterio di Leibniz, converge.

(Risolvendo con la convergenza assoluta: lim_{n → ∞} ¹/_(n+1)!² • lim_{n → ∞} ¹/_n² = 0 < 1).

Esempio: Studiare la serie ∑_n=1^∞ (-1)^{n n-1}/_n²-n.

• -a_n è definitivamente positiva e infinitesima
• -a_n è decrescente

a_m+1 ≤ a_m ⇒ ^m/_(n+1)(n+2) ≤ ^m-1/_m(m+1) ⇒ n ⋅ m ≤ (n-n)(n+2) ⇒ n > 2 ⇒ a_m è definitiv. decrescente.

Per il criterio di Leibniz, converge.

Pur non convergendo assolutamente.

Esempio: Studiare la serie.

• -a_n è definitivamente positiva ed infinitesima
• -a_n è decrescente

log(a_n+1) < log(a_n) → Troppo complesso, provo a dimostrare la decrescenza con le derivate.

f'(x) = ^1-log(x)/_x² f(x) è decrescente per x ≥ e.

Quindi converge per Leibniz.