Appunti sulle serie nunmeriche per Analisi 1

Serie Geometriche:

• ∑ m=0 q^m S_m = 1 + q + q² + q³ + ... + q^m = - if q≠1 m+1 if q=1

• lim S_m m→∞ 1 / 1-q se |q| < 1 + ∞ se q > 1 NON ESISTE se q ≤ -1

Quindi:

• ∑ m=0 q^m è CONVERGENTE se |q| < 1 DIVERGENTE se q > 1 INDETERMINATA se q ≤ -1

• Esempio:

  ∑ m=0 (1/2) ^m CONVERGE (1/2 < 1) E LA SOMMA È 1 / 1-(1/2) = 2

Serie Telescopiche:

SERIE DI MENGOLI:

• ∑ m=1 1 / (m(m+1))
• a_m = 1 / (m(m+1)) = 1/m - 1/(m+1)
• S_m = 1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - ... + 1/m - 1/(m+1) = = 1 - 1/(m+1)

• lim S_m = lim_m→∞ [1 - 1/(m+1)] = 1 CONVERGE E LA SOMMA È 1

Esempio:

\[\sum_{{m=1}} \ln\left(1+\frac{1}{m}\right)\]

\[a_m=\ln\left(1+\frac{1}{m}\right)=\ln\left(\frac{m+1}{m}\right)=\]

\[=\ln(m+1)-\ln(m)\]

\[S_m=\ln(x_{2})-\ln(x_{1})+\ln(x_{3})-\ln(x_{2})+\ldots\]

\[+\ln(x_{m+1})-\ln(x_{m})=\]

\[=\ln(m+1)\]

\[\lim_{{m\to\infty}} S_m = \lim_{{m\to\infty}} \ln(m+1) = +\infty\]

Diverge a \(+\infty\)

Le serie geometriche e le serie telescopiche sono semplici da caratterizzare poiché possiamo ricavare una formula chiusa per \(S_m\).

IMPORTANTE:

Affinché una serie converga, il termine generale \(a_m\) dev'essere infinitesimo \((a_m \to \emptyset \text{ per } m \to +\infty)\)

Esempio:

Studiare la serie

\( \sum \left(\frac{\cos(m)}{m}\right)^2 \)

OSSERVAZIONI:

• Essendo elevata al quadrato, sarà sempre ≥0;
• \(\cos(m)\) è una quantità compresa tra -1 e 1 e al quadrato rimarrà ≤1.

Perciò:

\( 0 \leq \left(\frac{\cos(m)}{m}\right)^2 \leq \frac{1}{m^2} \quad \forall \, m \geq 1 \)

\( \sum \frac{1}{m^2} \) CONVERGE perché α=2>1. Quindi a maggior ragione CONVERGE la serie studiata, in quanto minore di questa.

Esempio:

Studiare la serie

\( \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m^{\log m}} \)

\( 0 \lt \frac{1}{m^{\log m}} \lt \frac{1}{m^2} \) definitivamente, poiché \( m^{\log m} \), \( m^2 \) definitiv.

\( \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m^2} \) CONVERGE e perciò CONVERGE anche la serie studiata.

Esempio:

Studiare la serie: ^∞_∑ (-1)ⁿ log(a)_n

• -a_n è definitivamente positiva ed infinitesima
• -a_n è decrescente
• Troppo complesso, provo a dimostrare la decrescenza con le derivate
• f’(x) = ¹⁄_x • (- log(x)) = ^{1 - log(x)}⁄_x²

SEGNO:

• N
• log(x) ≤ 1
• x < e
• D

f(x) è decrescente per x ≥ e

Quindi converge per Leibnitz.