15/12/2022
ANALISI
SERIE DI TAYLOR
FORMULA DI TAYLOR con resto di Lagrange
f(x) = k=0∞ f(k)(x₀)k! (x-x₀)k + Ln(x)
Ln(x) = f(n+1)(c)(n+1)!(x-x₀)n+1 con c tra x₀ e x.
Se la funzione f ha derivata di ogni ordine si può scrivere la
k=0∞ f(k)(x₀)k!(x-x₀)k
Tale serie di Taylor per la funzione f (centrato in x₀)
Si accetta che per ogni x in un intervallo I Ln(x) → 0
ordine di A e sviluppato in serie di Taylor
Scriviamo lo sviluppo di Maclaurin all'origine per xex
vert x Lagrange
f(x) = 1
f'(0) = 1
f''(0) = 1
f'''(0) = 1
f(m)(0) = 1
Tn=0(x) = 1 + 1(x-0)1! + 1(x-0)22! + 1(x-0)33! + ... + 1(x-0)mm!
ex = k=0∞ xkk! + Ln(x)
con c tra x₀ e x
ex 1x > 0
ex 1x < 0
in ogni caso limitate e a monot altrimenti di seguire
xn+1(n+1)! → 0
si nasce lim exn→∞ = lim n=k=0n→∞ nm→∞
15/12/2022
ANALISI
SERIE DI TAYLOR
FORMULA DI TAYLOR con resto Lagrange
f(x) = f(k)(x0) / k! (x-x0)k + Ln(x)
Ln(x) = f(n+1)(c) / (n+1)! (x-x0)n+1 con c tra x0 e x.
Se la funzione f ha derivata di ogni ordine a, si può scrivere la
∞
⨊ f(k)(x0) / k! (x-x0)k
k=0
Sviluppo di Taylor per la funzione f (centrato in x0)
Se accade che per ogni x in un intervallo I Ln(x) → 0
allora f si sviluppa in serie di Taylor
Scriviamo lo sviluppo di MacLaurin al ordine m = 4 con
resto di Lagrange
f(x) = 1
f'(0) = 1
f''(0) = 1
f(3)(0) = 1
Tm=0(x) = 1 + 1(x-0)1 / 1! + 1(x-0)2 / 2!
+ 1(x-0)3 / 3!
+ 1(x-0)m / m!
lim Ln = lim f(x+1)(c) / (n+1)! d
ex
1 + k=0 +∞ Σ xk / k!
x ∈ R
sin x
k=0 +∞ Σ (-1)k x2k+1 / (2k+1)! = V ∈ ℂ
cos x
k=0 +∞ Σ (-1)k x2k / (2k)! = V ∈ ℂ R
log (1+x)
m=0 +∞ Σ (-1)m xm / m + n=0 +∞ Σ (-1)n xn / (n+1)
Un altro (1) +
+∞ Σ (-1)n xn+1 / (n+1)
m=0 +∞ Σ (-1)m x2m / (2m)! = 1
add (+1)
cosy (x) = n=0 +∞ Σ (-1)n x2n+1 α2n / (2n)! - X n=0 +∞ (-1)m x2m+1 α2m / (2m)! of
k=0 +∞ Σ (-1)m α2m / (2m)! x
e = m=0 +∞ Σ +∞ Σ (n > 1) α
soluzione log (1+x) ∑ n=0+∞ (-1)n+1 (α - 1)n = A
con -- +∞ Σ {tg +∞ Σ } -- +∞ Σ (1-x)
m=0 (-1)etx
n=0(u, v)= (α, x)
R = (1 1 2 n)! x +∞ Σ R
pag = multipla conversion
n > 1 (s converga ) α
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