Serie, Taylor e funzioni iperboliche

T u

= cancella la fune + lenta → Ex -9") =-

Le Liti = 0 ✓

✗ > × gol NON Possono avere

stessa velocità

¥, So' [Fa?

+ 00 1

* se g è Potenza cancello potenze minori e metto in evidenza quelle maggiori.

Principio di cancellazione degli Infinitesimi (Tende a 0)

- 2X

4 ✗ 5+3×4 - 2x

Pota → 2x ¥

+ x

0 ✗ 8

Pot 1 > 1

<×? <✗ 3 <✗ m ☒ (+43×3-2) Cancella potenze + alte.

- 24

0C × <1 ✗ (+7+7)

oca " <× 3 <Ec. + Prine Care infinitesimi

✗

du sto f- ✗

a

sto & ×

G, §-0 (← 8--08)

+ veloci fig

7

f- g

⇒ a - -Lex 2+0191 - an

✓ ✗

sto & f è un infinitesmo maga di g

✗ > XO K Cancella in f.

maggiori

et,-✗ '=

Lo e" -1-9 = fio (ttyto (y)-a-g • (y)

¥ g resta qualcosa

g- × che tende a

0

Grado 0 e" = 1 ✗ 0=0 + 870) -" tolk")

fax)-Lo + fb (x) + 8! ×'

Grado 1 e"=L + yt.ly m!

2

qualcosa Polinomio Di Melorin

Grado 2 e"= Stytzy'+ • (f) MCLAURIN

L'ho)

Lo = 1+9+1/29' + • (9) -7-7

e"-1 -4

ex? 1- ✗ '= ln y?

×" 9- o s'

Prime. cancellazione

= 12g? - fly) 42 + veloce

"

La = 2kt

È E 2kt)

+

± + (1) k x

Z SI.mx# ✗

y il seno è fuma dispari

(24+1)!

3! 5! - '- ✗ questo pot disp.

flauti)-(1) "cosx

f. E" = (1) "si.mx

1 - 1

La - 1 - 00-@

✗ SIM

✗ so ✗

o = o fai = sinx L'cosx L't-simx L'

"=-cosa

= Le 1 (1- Ina) = 0. 00 Mccann

, Polinomio -ato (X) Gio È -0

=L. E (Shine) = 'sin

• ✗ SIMX ✗ 2 SIMX

×

1

Determina l'ordine di infinitesimo di 1 funz

Lui fatto

✗ sto

L è ordine di un infinitesimo # fu LI = le R ' {0}

fa) = aretanx-sinx => - 2kt 1 + , (✗ 2.

"+ 1)

fusinx- ✗ ¥. + È? - ¥? + 1-1)"

7kt 11! + 2kt' C- 1) Ktolx' "+)

g) aretangx 2x - 3 + È - ¥ 1

/ 2K +1

disp 3+3

g' A) = 1 g" = 9111: - 211++7' -2×-211++472 ×

✗

+2 -2x (2++44

(X +212 .

=-2

= 1 =D

- fataretangx-sint =-✗ 3 [13-131.) to (x)

La aretangx-sinx = fino -✗ 3 [467 + o (x) ¥ °

- E ER

✗ 3

✗ so 3

Determina a, b - "

" c- 2) "& o (×?"")

asina + b (1-cost) = 1

4 +

- * + È,-È,

SIM 12K +1!

✗ so ×

4 + 22K

2K! (1) "+ • (arr)

+

a (x-¥, + • (xD)' + b/E-☒ +1×4 = cosx-1-E, + ¥, - '

6!

- a (☒ -23×!4 + E 61 ) + b (¥-E. + 01×4) il denominatore ha orelinese

✗ - (×-5? +. (×»)"

SIM?

• (×")

(atb) ☒ + C- sa-4) ✗

"toh") f- cos ✗ = E -¥. to"")

atby-

×" - Ya-E, = 1

Go (atb) ✗

'+ (-Ya-141) ✗ "t. (v)

Se atbato = fa, (at b) ✗ ' = atba

2 = too

×" ⇒ a-%-)

se atbia = o - ga-ba!

= 4

×>

1 a-&, %

atz-0 risolvi e trovi a e b

13A-bye! =L • "+ <+ e- a

Cash? =

Funzioni iperboliche cosh = c'+ è 4

2 sinth = e 2×-2 + e- a-

sinh = ex- è 4

2

tanti = simbx

costa > et_ cos ha -simh'× =L = 1

è + è

der cosh -E (ex-e) = simux

der si mh = è + è = coshx

2 too

megan 9am} m an termine generale

Sm} m Su SOMME Parziali Sm- Eh, ok

{Sn}: la successione delle somme parziali è la serie di Termine generale an

+ a

2 am = s la serie di Terni generale an ha sauna se la sn = stR

mia m

too

• E an - SER - fan = o

M =L No vero te

me, F- +00 anta -0

too the Sm = SEI

• an 70 → E an è Regolare < m

Me 1

Cuteri per Gan con an> o Fm> in (deve essere vera definitivamente)

✗ un numero finito di termini

Caterio del confronto E Un & bm o cane bn 1 devo sapere

h

complicato come si comporta

so che Enbm = SER- & An ER

E an-700 → En bm: too

m

• Caterio del confronto asintotico : E

non E bn i am/baro

Da usare le Reo} > hanno lo stesso carattere

la an o, _ (an Ebm) =D Ebm EIR =D E an GIR v Eanetoo - Ebm-700 scambio an con bm

m bm (an Zbm) e viceversa

t =D la serie non sono confrontabili

Sera armonica generalizzata

too

2> o E 1 - SER se 14 too converge

his ma too OLLLI diverge

bn = 1/ma

- Caterio dell'ordine infinitesimo; so che Ean and

m

ln an

m 1 =L md.am-le RIGO}

CASO 1 an

(an ha ordine di infinitesimo d)

Se 2>1 - Ean converge

m ex: E Leagmm.hu m'flag mi ha mai login solo quando ho Potenza e leg

Se d t (0; 1) _E an diverge Pere. bassa.

m m del cit. dell'ordine

ASO 2 so hem Man-0 (an ha ordine di infinitesimo sup add)

m 2- 170

too

dm =. (Mma))

Sed> 1 - m E an converge too 2- 1=0

se 2 ← (0:13 - NON POSSO Dire nulla 2-1<0

CASO 3 So Lu Man = +00 (an ha ordine di Infin. Inf add ovvero + lente

m Non posso applicare erit. dell'ordine di info> Non puoi applicarlo

fa = o (an)) - Integrali

sede 10:13 =D an diverge

se LA 1+007 ⇒ NON POSSO Dire Nulla

- (Gettero radice = erit. radice ✗ sue/✗ a sere

& an an » 4 1 b Et an converge

un "Tam

m -n ? CAMBIA criterio

> 1 D E an = took

m

3° + che i len MI> 1 D in an-+00 - E an mon

m m converge

Critrael

successioni la serie diverge

1° duri ha "fan <1 → la an- ka

m m

> teso I MEIN: mith . "Tan <K-E non sempre a

indice partire da un indice

insth an-Ih + E) "

Penso con f. E an & (htc)" serie geom di ragione

h h + E

se ochtecs la serie geom E Ihtem regolare

m

- Caterio del rapporto Anso se 1 criterio non funziona

E an converge

ha Ant1 m

7 CAMBIO criterio . non funziona neanche l'altro

" :

an •

> 1 =D Ed, = too

m

ex an> o

E Èin m!

2m! > 0

h

• Ln an -glu yup, = % F. Imel.

m G. Inf.

• Criterio del rapporto

£ Anti = lui (batt)! (2h)! = la Chats) "M! - 2m!

an in ☑ CHAI! m! " (24+2)! m!

= 1--0<1 ⇒ E m Conv

= la (Mts)

(2h1! - an 1 m (2m)!

2 (24+1)

In (24+2) (2Mt 1) (2h)!

Serie a sogno alterno serie a segno

& 1- Il "an an» Sm =-asta,-astan... alterno

Posso

EI.LI

studiarle solo in 1 modo Caterio di Lebnita­

9m70

" am ← cond. Necessaria

m 1 anzi

ca

É L an> o → E c- 1) "an = SEI converge

m

• Gan} mi 5- Sn / E anti

an> anta SOMMA SOMMA 8 Termini che trascuro

parziale pari all'errore.

La s + C- 1) 2m-1

din. 52m = 5 02m-1 + (-112ha, n

Sam 2h-2

Pari = Sam-a -a

2m-1 + a In =

Santi

disp = Sam-2- (dans - 9am) E 5am-2

5 serie Hp s Man-1? 9am - aan-i 9m70

:

_

I 1

Se 3 55 57 Sam Sam S, by la

disparit pari

+00

ex: E 1-11". I - aretan (m))

M-1

Ami I-aretan 702 aretg =L si I

fa un = la I-aretan (m) = I-II-0 SI 2

m m t

1 aritangt c- 1) aretg!

am

Lui II - arcigay- flat =..#a <o ✗ E [stai

2

La serie converge × il out. Leibnit

Approssimare la SOMMA 5 con un errore < 1

204

am = I-arergm le E-aretam = o del Eso IMEN: min

IL- avete <E E = 1

(1) Meos (Mt! +0 104

÷. E tanta" È 1=+00

Mia MEL I-arcigna

son> aretg> I -G,

Cos (Mt) -1 4=1,3 M> Tam (Ita-Gon) = 5093,5

1 mia, 4. Mt-5093

.

CosCMIT):(-21M Is-an/ canti <Io"

too too Serie Armonica 5093

E (coshit) # = E C- 11" fa, generalizzata a Se hai> 5093 Se E (E-arergh).

Mil mia segno attorno b- 1

M> 5092

220 si studia con Leibnitz.

an = 1/ma 70

ln an = o

m d> o

1

ma M

è assolutamente convergente

E 1dm I converg del & an

E an Ass. contEan è convergente + o tomo

E 1- 11m In convenge E on con Fb Le 2 am €#

ke

M =L

& I = too + 00

an I 0, +0, + 03 + 04 - es -06

mi/

dim: as-da + 93 + 94 -95796 - 07-08-99 + - -- 97° too

E Am = astor + a] .. ..

Non considero la serie di partenza mie

+ 0°

E Am- as + o tast auto +06+0-o toto. o solo Positivi BN = - (Oh test 06 . . sa

Mil

E Bb =-(o tasto +0+95 +0+97+98+99... solo negativi K

/Hp ✓ /Con

K Am-Bm): ostartast Oates....

E 1am-Bm/= asta, + a, + as t as t... = E lak/

• • = &, la KI - converge_5 S

"M'ia 4=1

M-1 T

K CON

↳ E Ah Ah Elant _ ✗ il cr.com f hEot Am-AGR V

b- 1 E Am = BER.

Am = AE IK

mie

( ) 04-(Bn) <tanto K È, 1- Bn)-BER ÷

Èi Bn k laul =

E, Bm- -B mie A-B con v.

Ame Ant Bn K

{an =p

È, Amt'È,

Bn> A-B

convergente

V an a. m.) o

Ame am + 1am' an>,>

Bn: tant-an

n B 2

2 am to

too O - an anco

E % È 1am' = Ian!

Mel mia = an

amo Am - Bn = tant -on + on + Ioni

An> 0

Antan = 2am = An 2 ?

Amoant/an) 2 2 m 4

LE

ma i Lor 2 AM - Lu E

2 anco Kil K, B Ki A -B.

an-an - K-1

2 9m70

an-an

Bm = lant-an

2 2 100 m

- an - am =-anelant Anco E an comu → Ln E am ER

2 Mi 2 Kil

too An e + go

E tu

Bn SONO serie a termine non noegativi

m-1 E on: 01+02+03 -On-0,

me 1 mit

% Es t 00 @ mi 01+9

too

04AM E Ian/ too ↳ =,

O E BME 1am)]- E An convergente fu E, Ah-A ER È BN = - (auto, +

Mas % È 4=1

4 È Bn = BER m

too

Mes - E lakl #

E Am-Bmi art Or tostam Kis

Mel

Un = Am-Bniantlant - ami-an = + 21am/= an

2 EBN = BER)

[Am = AGIR

2 R

too

Thi E an è conversare + m

E an ER m m m

M-1 M KA Lun E on = Ln E Ah- Lu E Bu- A-B con v. ER.

KIL KI

m 4=1

µ KEir amo inn Fe-

, la,-Ba)-oh £, AK-È, BE

A -BER

Proprietà della somma di 2 o + termini ma F' (x) = fax,

sempre un mare. finito

- Associativa Li [a:b) -IR.

- Commutativa F

'In <fai

- Distributiva f. cont [a:b)

too

+00 too

E an E can = e 2 am distributiva vale fila:b)-I

MI his hit Fte

too too too Thohei I FIX

Eg (antbm) = E + E bn se entrambe-convergono Associativa vale

ma mia -divergono ① tre [a:b]

NOFImel. FIC ] a;D [

Teorema di Riemann Ftel' = Fix-fai

E