Serie di Potenze

Serie di potenze

Si userà la z per indicare una variabile complessa, la x per una variabile reale. Come vedremo è naturale sviluppare la teoria delle serie di potenze in C. Ivi l’operazione di derivazione richiederebbe un discorso a sé stante, che vedremo più avanti; tuttavia le proprietà formali della derivazione in C sono in parte analoghe a quelle in R. In ogni caso i risultati che seguono valgono tanto in C quanto in R, e qui verranno presentati in C.

Definizione di serie di potenze

Si definisce una serie di funzioni della forma:

∞ - - - · · · - · · · 2n na (z - z₀) = a₀ + a₁(z - z₀) + a₂(z - z₀)² + ... + a_n(z - z₀)ⁿ,

dove a_n ∈ C per ogni n ∈ N. Si noti che si pone 0⁰ := 1; comunque la scrittura con la sommatoria è da intendersi solo come un'abbreviazione dell'espressione indicata a destra.

Teorema 1.1

Per ogni serie di potenze esiste R ∈ [0, +∞] tale che la serie converge assolutamente per ogni z ∈ C tale che |z - z₀| < R, e non converge nemmeno semplicemente per ogni z ∈ C tale che |z - z₀| > R. In particolare, se R = 0 la serie converge solo in z = z₀, se R = +∞ la serie converge assolutamente per ogni z ∈ C. Il raggio di convergenza dipende dalla particolare serie.

Teorema 1.2

Sia data una successione {a_n}. Se esiste L := lim_n→∞ |a_n|^1/n, allora la serie ha raggio di convergenza R = 1/L se 0 < L < +∞; R = +∞ se L = 0; R = 0 se L = +∞. Lo stesso vale se esiste L̃ := lim_n→∞ |a_n+1| / |a_n|. (Quindi se esistono sia L che L̃, essi coincidono.)

Dimostrazione. Basta applicare il criterio della radice nel primo caso, il criterio del rapporto nel secondo caso.

Osservazioni

• (i) Non sempre i limiti L e L̃ esistono. Invece esiste sempre il massimo limite |a_n|^1/n max lim := lim sup_n→∞, che è un concetto più generale. Inoltre, quando il limite L esiste, esso coincide con questo massimo limite.
• (ii) Si può dimostrare che se esiste L̃, allora esiste anche L. Quindi il primo teorema è più potente del secondo, tuttavia spesso quest'ultimo è di applicazione più agevole.

Esempio. Si fissi α ∈ R e si consideri la serie Σ_n=0^∞ n^α zⁿ. Si ha:

L = lim_n→∞ (n^α)^1/n = lim_n→∞ e^{α(log n)/n} = e⁰ = 1,

pertanto la serie ha raggio di convergenza 1 per ogni α ∈ R. Tuttavia il comportamento sulla circonferenza di convergenza dipende da α.

Serie di Taylor

Teorema 1.3

Sia {a_n} una successione in C ed f(z) := Σ_n=0^∞ a_n zⁿ. Allora la serie derivata:

∞ Σ a_n zⁿ⁻¹ ha lo stesso raggio di convergenza della serie originaria.