Serie di Potenze

Corollario 1.4

Reiterando questo risultato, si perviene al seguente corollario. ∈Sia definita come sopra. Allora per ogni la serie derivataCorollario 1.4 f (z) m N m-∞ − n−mesima ha lo stesso raggio di convergenza della serie originaria, ed[n!/(n m)!]a znn=mall’interno del cerchio di convergenza converge alla derivata di ; ovverom-esima f∞ n! ∀m ∈(m) n−mf (z) = z N. (1.1)a n−(n m)!n=mPertanto ogni funzione rappresentabile come somma di una serie di potenze è infinitamentederivabile (all’interno del cerchio di convergenza di tale serie di potenze). Inoltre per ogni∈ (m) (m) seriem N si ha f (0) = m!a , ovvero a = f (0)/m!; quindi la serie di partenza è unam mdi Taylor: ∞ (n)f (0) n all’interno del cerchio di convergenza. (1.2)f (z) = zn!n=01.2 Funzioni AnaliticheanaliticaSi dice che una funzione f è se è sviluppabile in serie di potenze nell’intorno di ogni{a }punto; ovvero se per ogni punto z

Dell'insieme di definizione di f esiste una successione {n} infinita e tale che la serie di potenze a_n(z-z_0) converge a f in un cerchio del piano complesso contenente z_0.

Si può dimostrare che:

• La somma di una serie di potenze è una funzione analitica all'interno del cerchio di convergenza. Pertanto, se una funzione è sviluppabile in serie di potenze nell'intorno di un punto, allora essa è analitica all'interno del cerchio di convergenza (ovvero è sviluppabile in serie di potenze nell'intorno di ogni punto del cerchio).
• Componendo funzioni analitiche si ottengono funzioni analitiche all'interno del dominio di definizione.

Ogni funzione analitica è di classe C^∞, ma il viceversa non sempre vale. Un controesempio è fornito dalla funzione (di Cauchy):

f(x) = exp(2x) per ogni x diverso da 0,

f(0) = 0.

Ovviamente f è di classe C^∞ in R, ma essa è addirittura analitica in tale insieme.

Si verifica poi che le derivate di f di ogni ordine esistono in 0 e sono nulle. Pertanto sviluppando f in serie di Taylor in un intorno di 0 si ottiene la serie ⁿ⁄_n!x = 0, che ovviamente coincide con f solo in 0. Quindi in R f è di classe C ma non analitica.

Sia f di classe r, a + r[→ R C M > 0|f ≤ ∀x ∈]a − r, a + r[, N. (1.3)

Allora è analitica in f]a r, a + r[,∞ (n)f(a) ∀x ∈]a −− nf(x) = r, a + r[. (1.4)

Dimostrazione. Si ricordi la formula di Lagrange per il resto della serie di Taylor E(x) := m− −m (n)f(x) f(a)/n! (x − a) :n=0 (m+1) (ξ)f∀x ∈]a, ∃ξ ∈]a, − (m+1)a + r[, x[: E(x) = ;(x − a)^m (m + 1)!∈]a −un'analoga formula vale per ogni x r, a[. Quindi per la (1.3)|x − (m+1)(M − a)|E ≤ → → ∞.(x)|

0 per mm (m + 1)! − → ∈]a − m (n) nPertanto f (a)/n! (x a) f (x) per ogni x r, a + r[.n=0* Quadro della Situazione. Una serie di potenze definisce una funzione f all’interno del suocerchio di convergenza, se questo non è ridotto ad un punto. Tale funzione è analitica, quindi∞di classe C ; pertanto si può considerare la sua serie di Taylor rispetto al centro del cerchio diconvergenza. Tale serie coincide con la serie di potenze iniziale, poiché se due serie di potenzecon raggio di convergenza non nullo hanno la stessa somma allora esse coincidono termine atermine. Pertanto ogni serie di potenze è la serie di Taylor di una funzione analitica.∞Partiamo ora da una funzione f di classe C in un insieme che contiene un cerchio centratoin un punto x . Si consideri la sua serie di Taylor rispetto ad x . Se la sua somma coincide con0 0 ∞∈f in un cerchio di centro x , allora ivi f è analitica. Ciò però non succede per ogni f C

(si0consideri il controesempio di Cauchy). Nei casi in cui tale proprietà non è verificata, la funzionenon è analitica; infatti abbiamo appena visto che se lo fosse, essa coinciderebbe con la sommadella sua serie di Taylor. ∞Possiamo allora concludere che una funzione di classe C è analitica se e solo se essa coincidecon la sua serie di Taylor.

1.3 Le Funzioni Iperboliche

Le funzioni −z −z−z zee + e e ∀z ∈, sinh z := C,cosh z := 2 2 (1.5)−z−zsinh z ee −z∀z ∈ zC : e + e = 0tanh z := = −zzcosh z e + e

4 Metodi Matematici per TLC – aa 2002-03 – A. Visintin(coseno iperbolico, seno iperbolico, tangente iperbolica) sono dette funzioni iperboliche poiché∈2 2cosh θ−sinh θ = 1, per ogni θ R. Ovvero, al variare di θ in R, i punti (x, y) = (cosh θ, sinh θ)−2 2percorrono l’iperbole equilatera di equazione x y = 1.Si noti l’analogia con le

funzioni circolari, per le quali si ha−iz −iz−iz ize+ e ee ∀z ∈, sin z := C,cos z := 2 2i (1.6)−iz−izsinh z e e −iz∀z ∈ iztan z := = C tale che e + e = 0,−izizcosh z e + ecome si verifica facilmente in base agli sviluppi in serie di Taylor. Inoltre, come ben noto, al2 2variare di θ i punti (x, y) = (cos θ, sin θ) percorrono la circonferenza di equazione x + y = 1.Infine funzioni perboliche e circolari sono legate dalla formulecosh iz := cos z, sinh iz := i sin z ∀z ∈ C. (1.7)cos iz := cosh z, sin iz := i sinh z1.4 Sviluppi in Serie di Taylor di Alcune Funzioni Analitiche∞ 2 3nz z z ··· ∀z ∈exp z = =1+ z + + + C, (1.8)n! 2 6n=0∞ 2n+1 3z z− ··· ∀z ∈n(−1) = z + C, (1.9)sin z = (2n + 1)! 6n=0∞ 2n 2zz − ··· ∀z ∈n(−1) =1 + C, (1.10)cos z = (2n)!

2n=0&infin; 2n+1 3z z− ··· ∀z ∈ |z|n(−1) = z + C, < 1, (1.11)arctan z = 2n + 1 3n=0 &infin; 2n+1 3zz ··· ∀z ∈= z + + C, (1.12)sinh z = (2n + 1)! 6n=0&infin; 2n 2zz ··· ∀z ∈=1+ + C, (1.13)cosh z = (2n)! 2n=0&infin;1 · · · ∀z ∈ |z|2 3nz = 1 + z + z + z + C, < 1, (1.14)=&minus;1 z n=0 &infin; 2 3n+1 z zz ··· ∀z ∈ |z|− − = z + + + C, < 1, (1.15)log(1 z) = n + 1 2 3n=0&infin; &minus; α(α 1)α ··· ∀z ∈ |z|2&alpha; n= z = 1 + &alpha;z + + C, < 1. (1.16)z(1 + z) n 2n=0coefficiente binomialeIl è definito da &minus; · · · −&alpha;(&alpha; 1) (&alpha; n + 1)&alpha; &alpha; ∀&alpha; ∈ ∀n ∈ \ {0}.R, N (1.17):= 1, :=0 n n!