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Serie di Potenze Appunti scolastici Premium

Appunti di Metodi Matematici del prof. Ferone sulla serie di Potenze: raggio di convergenza, massimo limite, Serie di Taylor, Funzioni Analitiche, cerchio di convergenza, formula di Lagrange, Quadro della Situazione, le Funzioni Iperboliche, Sviluppi in Serie di Taylor di Alcune Funzioni Analitiche.

Esame di Metodi matematici docente Prof. V. Ferone

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1

2. Serie di Potenze

1 Serie di Potenze

Si userà la z per indicare una variabile complessa, la x per una variabile reale. Come vedremo

è naturale sviluppare la teoria delle serie di potenze in C. Ivi l’operazione di derivazione

richiederebbe un discorso a sé stante, che vedremo più avanti; tuttavia le proprietà formali

della derivazione in C sono in parte analoghe a quelle in R. In ogni caso i risultati che seguono

valgono tanto in C quanto in R, e qui verranno presentati in C.

serie di potenze

Si definisce una serie di funzioni della forma

− − − · · · − · · ·

2

n n

a (z z ) = a + a (z z ) + a (z z ) + + a (z z ) + ,

0 0 1 0 2 0 0

n n

n=0

∈ ∈ 0

one a C per ogni n N. Si noti che si pone 0 := 1; comunque la scrittura con la

n

sommatoria è da intendersi solo come una abbreviazione dell’espressione indicata a destra.

Per ogni serie di potenze esiste tale che la serie converge assolu-

Teorema 1.1 R [0, +∞]

∈ |z − |

tamente per ogni tale che non converge nemmeno semplicemente per ogni

z C z < R,

0

∈ |z − |

tale che In particolare, se la serie converge solo in , se

z C z > R. R = 0 z R = +∞

0 0

la serie converge assolutamente per ogni z C. |

∈ |z − dipende dalla

Se la convergenza della serie per gli tali che = R

0 < R < +∞ z C z

0

particolare serie. }. |a |

{a 1/n

Se esiste , allora la serie

Sia data una successione L := lim

Teorema 1.2 n n→∞ n

∞ − n ha raggio di convergenza

a (z z )

0

n

n=0 se se se

R = 1/L 0 < L < +∞, R = +∞ L = 0, R = 0 L = +∞.

|a |/|a |.

Lo stesso vale se esiste (Quindi se esistono sia che allora

L̃ := lim L L̃,

n→∞ n+1 n

essi coincidono.)

Dimostrazione. Basta applicare il criterio della radice nel primo caso, il criterio del rapporto

nel secondo caso.

Osservazioni. (i) Non sempre i limiti L ed L̃ esistono. Invece esiste sempre (finito o infinito)

massimo limite

il

|a | |a |

1/n 1/n

max lim := lim sup ;

n n

n→∞ m→∞ n≥m 1 Quest’ultimo

inoltre, quando il limite L esiste, esso coincide con questo massimo limite.

è quindi un concetto più generale; inoltre per esso valgono le proprietà sopra indicate per il

limite.

(ii) Si può dimostrare che se esiste L̃ allora esiste anche L. Quindi il primo teorema è più

potente del secondo, tuttavia spesso quest’ultimo è di applicazione più agevole.

{(−1) }

1 n

Ad esempio la successione non ha limite, ma ha massimo limite 1.

2 Metodi Matematici per TLC – aa 2002-03 – A. Visintin

∈ α n

Esempio. Si fissi α R e si consideri la serie n z . Si ha

n=0

1/n lim 0

α α(log n)/n α(log n)/n

(n ) = lim e = e = e = 1,

L = lim n→∞

n→∞ n→∞ ∈

pertanto la serie ha raggio di convergenza 1 per ogni α R. Tuttavia il comportamento sulla

circonferenza di convergenza dipende da α.

1.1 Serie di Taylor

{a } n

Sia una successione in ed . Allora la serie derivata

Teorema 1.3 C f (z) := a z

n n

n=0

∞ n−1 ha lo stesso raggio di convergenza della serie originaria, ed all’interno del cerchio

na z

n

n=1

n−1

di convergenza converge alla derivata di ; ovvero .

f f (z) = na z

n

n=1

Reiterando questo risultato, si perviene al seguente corollario. ∈

Sia definita come sopra. Allora per ogni la serie derivata

Corollario 1.4 f (z) m N m-

∞ − n−m

esima ha lo stesso raggio di convergenza della serie originaria, ed

[n!/(n m)!]a z

n

n=m

all’interno del cerchio di convergenza converge alla derivata di ; ovvero

m-esima f

n! ∀m ∈

(m) n−m

f (z) = z N. (1.1)

a n

(n m)!

n=m

Pertanto ogni funzione rappresentabile come somma di una serie di potenze è infinitamente

derivabile (all’interno del cerchio di convergenza di tale serie di potenze). Inoltre per ogni

∈ (m) (m) serie

m N si ha f (0) = m!a , ovvero a = f (0)/m!; quindi la serie di partenza è una

m m

di Taylor: ∞

(n)

f (0) n all’interno del cerchio di convergenza. (1.2)

f (z) = z

n!

n=0

1.2 Funzioni Analitiche

analitica

Si dice che una funzione f è se è sviluppabile in serie di potenze nell’intorno di ogni

{a }

punto; ovvero se per ogni punto z dell’insieme di definizione di f esiste una successione

0 n

∞ − n

tale che la serie di potenze a (z z ) converge ad f in un cerchio del piano complesso

0

n

n=0

contenente z .

0

Si può dimostrare che:

• la somma di una serie di potenze è una funzione analitica, all’interno del cerchio di

un

convergenza. Pertanto se una funzione è sviluppabile in serie di potenze nell’intorno di

punto, allora essa è analitica all’interno del cerchio di convergenza (ovvero è sviluppabile in

serie di potenze nell’intorno di ogni punto del cerchio).

• componendo funzioni analitiche si ottengono funzioni analitiche (all’interno del dominio

di definizione). ∞

Ogni funzione analitica è di classe C , ma il viceversa non sempre vale. Un controesempio

è fornito dalla funzione (di Cauchy)

1

− ∀x ∈ \ {0},

R f (0) := 0.

f (x) := exp 2

x


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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria informatica
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher valeria0186 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Metodi matematici e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Napoli Federico II - Unina o del prof Ferone Vincenzo.

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