Serie a termini variabili
Def. Una serie a termini positivamente convergente se converge la serie di valori assoluti.
Σ |aᵢ| → serie a termini non negativiTeo. Se la serie Σ aₙ converge assolutamente allora converge.
∞∑ (-1)ⁿn=1con a ≥ 1
∞ 1 1 1 1— = - - - + - - -₂ 2 3 4 +Stidio della convergenza assoluta
∞ ∞∑ |(-1) | ↔ ∑n=1 n=1Converge ↔ con la serie Σ |(-1)ⁿ| converge
^ ↔ (-1)ⁿ mⁿconverge
Serie a termini di segno alterno
Teo. Criterio di Leibniz
Se al.à. le serie Σ (-1)ᵏ aₖ con aₖ ≥ 0 ∀
- (i) la successione {aₙ} è decrescente
- (ii) aₙ → 0 per n → le
Allora la serie è convergente.
Inoltre detta S la somma della serie
S2m = 2∑ (-1)ᵏ ak ↑ S k=0 S2n+1 = ∑ (-1)ᵏ ak ↑ S k=0 |Rm | = |∑ (-1)ᵏ ak | ≤ an i=mSerie a termini variabili
Def: Una serie Σ an è detta assolutamente convergente se converge la serie dei suoi termini in valore assoluto Σ |an| → serie a termini non negativi.
Teo
Se la serie Σ converge assolutamente allora converge.
Esempio:
∑n=1∞ (-1)n an con an = 1/n = 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, …
Studio la convergenza assoluta.
Σ 1/n2 con n > 1 → converge → convergono
Serie a termini di segno alternato
Teo: Criterio di Leibniz
Sia Σ ak=0∞ (-1)n an con an ≥ 0 ∀ n.
Se
- (i) la successione {an} è decrescente
- (ii) an → 0 per n → ∞
Allora la serie è convergente.
Inoltre detta S la somma della serie
S2n = ∑k=02n (-1)k an ↓ S
S2n+1 = ∑k=02n+1 (-1)k an ↑ S
|Rm| = |∑k=n+1m ak| ≤ an
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