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74 CAPITOLO 4. METODI DI CONFRONTO PER LA MISURA R,L,C

pile di resistenza interna piuttosto elevata, ma a piccole batterie di accumulatori, la cui resistenza é

praticamente trascurabile rispetto alle altre resistenze in gioco, cosicché si puó senza errore supporre

che il ponte sia alimentato a tensione V costante. Con tali ipotesi il problema si riduce a trovare il

valore della corrente I che la tensione V manda nella diagonale di galvanometro.

g

Al risultato si giunge facilmente applicando il teorema di Thevenin al circuito di figura 4.20 ove si

supponga s = 0.

Si arriva cosı́ al circuito equivalente avente una resistenza complessiva:

ab cx

r + +

a + b c + x

nel quale agiscono in opposizione le due f.e.m.

a x

E = V = V

E

0 1 c+x

a + b

La corrente I nel galvanometro sará pertanto:

g −

a x −

− V V ac bx

E a(c + x) x(a + b)

E 0 1

0 1 a+b c+x = V

= = = V

I

g ab cx ab cx

r + s + s D

r + + (a + b)(c + x)(r + + )

0 1 v

a+b c+x a+b c+x

a conferma che, per annullare la I deve essere ac = bx.

g

, si noti in primo luogo che esso risulta formato da una somma di prodotti

Quanto al denominatore D v

ternari di resistenze, come é necessario per l’omogeneitá della formula che dá la I . Il numeratore

g

contiene infatti quadrati(prodotti binari)di resistenze: se il denominatore non fosse omogeneo con un

cubo di resistenze(prodotto ternario)il coefficiente di V non risulterebbe, come é necessario, l’inverso

di una resistenza. ab cx

+ non é altro che la resistenza esterna al galvanometro, nell’ipotesi

In secondo luogo si noti che a+b c+x

fatta che sia nulla la resistenza fra A e B e fra C e D. Il circuito puó in tal caso disegnarsi come in figura

4.29 da cui si deduce immediatamente il valore sopra scritto per la resistenza esterna al galvanometro

che indicheremo con: cx

ab

R +

=

go a + b c + x

= (a + b)(c + x)(r + R ) che, moltiplicato e diviso per la somma a + b + c + x = S

Con ció risulta D v go

dei quattro lati diventa: (a + b)(c + x)

D (r + R

= (a + b + c + x) )

v go

a + b + c + x

Ma (a + b)(c + x)

a + b + c + x

é la resistenza del ponte, fra i morsetti di alimentazione, nelle condizioni di equilibrio. Quando infatti

∞)

il galvanometro non sia piú percorso da nessuna corrente, il suo circuito puó essere interrotto (r =

4.13. METODI DI PONTE-COMPLEMENTI ** 75

Figura 4.29: Schema equivalente per la deduzione della resistenza esterna al galvanometro

Figura 4.30: Schema di ponte in equilibrio

senza modificare nulla nel regime del circuito, che si riduce allo schema di figura 4.30 e che presenta

fra i punti di alimentazione una resistenza: (a + b)(c + x)

=

R

p∞ a + b + c + x

Con ció possiamo scrivere D = SR (r + R ) espressione facile da ricordare in quanto ognuno dei

v p∞ go

suoi quattro termini ha un significato fisico ben preciso e cioé:

S = a + b + c + x

é la somma delle resistenze dei quattro lati; (a + b)(c + x)

=

R

p∞ S ∞;

é la resistenza del ponte fra i morsetti di alimentazione all’equilibrio, ossia per r =

ab cx

= +

R go a + b c + x

é la resistenza esterna al galvanometro, supposta nulla la resistenza interna del circuito di alimentazione

del ponte; r

é la resistenza propria del galvanometro.

Giunti a questo punto, é immediato il passaggio alla considerazione del caso piú generale in cui non

si possa piú considerare costante la V, ma ci si debba riferire alla f.e.m. E della sorgente, tenendo

conto della resistenza interna di questa. All’equilibrio infatti, la corrente assorbita complessivamente

V

dal ponte sará I = cosicché la relazione fra la E e la V sará espressa da:

R p∞ s

s = V (1 + )

E = V + sI = V + V R R

p∞ p∞

76 CAPITOLO 4. METODI DI CONFRONTO PER LA MISURA R,L,C

E

Basterá quindi nell’espressione che dá la I nel galvanometro sostituire a V il suo valore e si

g 1+ s

R

p∞

otterrá : −

E ac bx

ac bx

I = = E

g s

1 + D D

V E

R p∞

s

ponendo: D = D (1 + ) ossia D = S(s + R )(r + R ).

p∞ go

E V E

R p∞

Il denominatore della I nel caso piú generale é quindi dato dal prodotto di S = a + b + c + x, per la

g

resistenza all’equilibrio del circuito di pila (s + R ) e per la resistenza del circuito di galvanometro

p∞

) quando sia s = 0.

(r + R

go

Il riferirsi sempre e solo alle condizioni di equilibrio del ponte, é perfettamente lecito se si pensa che,

anche durante le operazioni di interpolazione, la corrente nel galvanometro é generalmente una frazione

di microampere ed é quindi trascurabile rispetto alle correnti in gioco nel ponte che sono generalmente

dell’ordine almeno dei milliampere. Figura 4.31:

Il valore esatto della resistenza complessiva R fra i morsetti di alimentazione del ponte quando si sia

p

lontani dalla condizione di equilibrio e per r finito, si puó ottenere facilmente sostituendo (figura 4.31)

alla maglia triangolare b, c, r, una stella equivalente i cui raggi hanno come é noto, i valori indicati in

figura. Risulta con ció intuitivamente: rc br

( + x)( + a)

V b+c+r b+c+r

=

R =

p r(c+b)

I a + x + b+c+r

che si puó scrivere: ab cx

r + +

(a + b)(c + x) a+b c+x

=

R

p (c+b)(a+x)

a + b + c + x r + a+b+c+x

L’ultimo termine al denominatore non é altro che la resistenza esterna al galvanometro, quando fosse

∞,

s = con il quale il galvanometro rimane chiuso su un doppio arco formato dalle due resistenze

(c+b)(a+x)

= si puó scrivere, ricordando le precedenti posizioni,

c + b e a + x. Posto pertanto R

g∞ a+b+c+x

r+R a x

go

= R . Nelle condizioni di equilibrio del ponte risulta = = ρ, ossia a = bρ e x = cρ.

R p p∞ r+R b c

g∞

4.13. METODI DI PONTE-COMPLEMENTI ** 77

Sostituendo nelle espressioni di R e di R , si ottiene:

go g∞

2 2

ρc ρ

ρb

R + = (c + b)

=

go (ρ + 1)b (ρ + 1)c ρ +1

ρ

(c + b)ρ(c + b) = (c + b)

=

R g∞ (ρ + 1)b + (ρ + 1)c ρ +1

Risulta pertanto, all’equilibrio, R = R e quindi R = R come deve essere.

go g∞ p p∞

Il calcolo della resistenza esterna al galvanometro R , nel caso generale di ponte squilibrato si puó

g

fare con lo stesso procedimento seguito per il calcolo della R , sostituendo una stella equivalente al

p

, s ad r, a a c e viceversa. Risulta:

triangolo a, b, s, oppure sostituendo nella formula di R

p

as bs bc ax

( s +

+ x)( + c) + s + R

ab (c + b)(a + x) po

a+s+b a+b+s b+c a+x

R +

= = = R

g g∞

(a+b)(c+x)

a+b

a + b + s S s + R

c + x + s s + p∞

a+b+s S

Ma, all’equilibrio, si é visto essere R = R . Risulterá quindi sempre all’equilibrio:

po p∞ ρ

R (c + b)R

= R =

g g∞ go

ρ +1

ossia, nelle condizioni di equilibrio del ponte, la resistenza esterna ad una delle diagonali puó calcolarsi

ponendo l’altra diagonale indifferentemente uguale a zero o ad infinito. In ogni caso risulta:

cx ρ

ab + = (b + c)

= R =

R go g∞ a + b c + x ρ +1

ax bc

cb

R + = (ρ + 1)

= R =

po p∞ c + b a + x b + c

donde la relazione importante R R = ρbc

go po

4.13.5 Sensibilitá del metodo a ponte

Analiticamente, per determinare la sensibilitá del ponte si puó procedere con un metodo generale,

valevole per tutti i metodi di zero considerando che se, all’equilibrio, quando

ac bx

= E =0

I

g D E

si dá un piccolo incremento dx alla x, si avrá nel galvanometro una:

bdx dλ

−E

= =

dI g D K

a

E

potendosi ritenere che il denominatore, che pure contiene la x come fattore di solo alcuni dei suoi

termini, non muti sensibilmente di valore per la variazione infinitesima dx. Se quindi indichiamo con

dλ la piú piccola deviazione che si é in grado di osservare, la piú piccola dx che noi potremo apprezzare

sará data da: dλD E

dx = K Eb

a

78 CAPITOLO 4. METODI DI CONFRONTO PER LA MISURA R,L,C

(si trascura il segno, non importando il segno della deviazione). Pertanto la sensibilitá del metodo

sará espressa dall’inverso dell’errore relativo:

dx dλD E

=

x K Ebx

a

Tale valore coincide naturalmente con quello determinabile sperimentalmente espresso da:

dλ∆c

dx =

x (λ + λ )c

1 2

Come si vede, e come é naturale in tutti i metodi di zero, la sensibilitá aumenta con l’aumentare della

sensibilitá del galvanometro (K ) e della tensione applicata. Quanto all’influenza del fattore D /bx

a E

che dipende dal proporzionamento delle varie resistenze che costituiscono il ponte, conviene ancora

ab xc

= = ρ. Sostituendo ρb ad a e ρc a x nella espressione di D ,

riferirsi alle condizioni di equilibrio E

essa assume la forma: bc

ρ (b + c)][s + (ρ + 1) ]

= (ρ + 1)(b + c)[r +

D E ρ +1 b + c

E quindi D D (ρ + 1)(b + c) ρ bc

E E

= = [r + (b + c)][s + (ρ + 1) ]

bx ρbc ρbc ρ +1 b + c

x con il quale si ottiene:

Volendo mettere in evidenza l’incognita x, basta porre c = ρ

(ρ + 1)(ρb + x) ρb + x bx

D E = [r + ][s + (ρ + 1) ]

bx ρbx ρ +1 ρb + x

Molte considerazioni sono state sviluppate su questa espressione. In primo luogo si puó osservare che

per la migliore utilizzazione della sorgente di f.e.m. e del galvanometro dovrebbero le loro resistenze

interne essere uguali alle resistenze del circuito esterno a cui essi sono collegati, ossia dovrebbe essere

ρb+x .

r = ρ+1

D’altra parte é intuitivo che la maggiore sensibilitá si verifica quando a = b e c = x, ossia per ρ = 1,

b+x bx bx

nel qual caso dovrebbe essere: r = e s = 2 ; e poiché é minimo per b = x, si conclude

2 b+x b+x

che la massima sensibilitá teorica si raggiungerebbe in un ponte in cui fossero tutti i lati uguali, cioé

a = b = c = x = r = s. 3 D

= 16r ed a = 16r. Dal che risulterebbe ancora la convenienza a ridurre

Si arriva in tal caso a D E

E bx

r ossia la resistenza di tutti i lati, pur tenendo conto che al diminuire di r, per un galvanometro di

data costante intrinseca C, diminuisce la sua sensibilitá amperometrica K C r. All’atto pratico,

a

evidentemente, le condizioni saranno sempre molto diverse. Sará in generale s < r ma, poiché dovrebbe

essere: bx

ρb + x (ρ + 1) = bx = ac

sr = ρ +1 ρb + x √

2

data la convenienza teorica di avere b = x, risulterá in definitiva sr = b ossia b = sr. Donde la

condizione di massima sensibilitá: √ sr

a = b = c = x =

4.13. METODI DI PONTE-COMPLEMENTI ** 79

Meglio di ogni possibile considerazione teorica vale la rappresentazione grafica. In figura 4.32 sono

tracciate, in scala logaritmica, le curve che mostrano come vari la sensibilitá:

x K Ebx

a

=

dx dλD E

al variare della x per diversi valori di ρ = a/b per un caso medio normale, ossia per r = 500Ω, s = 20Ω,

8

b = 100Ω, K = 10 mm/A, E = 4V , dλ = 0, 4.

a Figura 4.32: Curva di sensibilitá del ponte

Come si vede, la sensibilitá raggiunge in tal caso il suo valore massimo di circa 500000 per a = b = c =

x = 100 e va decrescendo da una parte e dall’altra quanto piú ci si allontana da tale condizione. Si vede

anche come al diminuire di x convenga diminuire rho ed aumentarlo quando x aumenta; condizione

questa in pieno accordo con le necessitá pratiche della misura. Ma comunque, anche scegliendo il

≤ ≥

rapporto ρ piú oppurtuno, per x 0.1Ω o per x 100000Ω, la sensibilitá, nel caso considerato non é

piú che di 10000; dal che risultano i limiti pratici giá ricordati, per l’impiego del ponte.

Da quanto precede si possono dedurre, riassumendo, le seguenti regole pratiche per il corretto uso del

ponte. Coi ponti (poco usati) nei quali i lati a e b costituiscono una resistenza potenziometrica e la

misura si fa variando il rapporto ρ = a/b, si deve sempre collegare la sorgente ai vertici ax e bc e fare

c prossimo a x in modo che ρ risulti quanto piú si possa vicino all’unitá.

80 CAPITOLO 4. METODI DI CONFRONTO PER LA MISURA R,L,C

Coi ponti ordinari, si deve fare il rapporto a/b piccolo, medio o grande a seconda che x sia piccolo, medio

o grande, ed inserire la pila in modo che essa alimenti in serie i due lati di minor resistenza. In pratica

conviene poi scegliere il rapporto in modo da ridurre l’importanza dell’interpolazione. Quando ció

accada, quando cioé si trovi un valore esatto di c per cui il galvanometro rimane a zero, é consigliabile

verificare sempre la sensibilitá, dando a c una variazione ∆c e osservando il ∆λ corrispondente.

Potrebbe infatti accadere che, per l’eccessiva riduzione del rapporto ρ, il ponte fosse in cattive

condizioni di sensibilitá. dx

Converrá infine, talvolta, controllare con l’espressione teorica di il valore della sensibilitá determi-

x

nato sperimentalmente.

Un notevole divario fra i due valori sarebbe indizio di qualche anormalitá del ponte: resistenza delle

diagonali notevolmente maggiore di quanto supposto, od altro.

4.13.6 Ponti a deviazione

Nell’industria, quando per esempio occorra determinare rapidamente la resistenza di un gran numero

di resistori, che dovrebbero essere tutti praticamente uguali entro determinati limiti di tolleranza, si

usano spesso ponti a deviazione ne quali i lati a, b, c sono costituiti da tre resistenze aventi il valore che

dovrebbero avere i resistori in prova, i quali con opportuni dispositivi possono essere sostituiti l’uno

all’altro, sul lato x. Al posto del galvanometro si trova un milliamperometro del tipo elettromagnetico

a bobina mobile, con scala a zero centrale, il quale pertanto indica la corrente che lo percorre ossia

(figura 4.22): −

ac bx

= V

I

g ab cx

(a + b)(c + x)(r + + )

a+b c+x

che per a = b = c diventa: −

a x

= V

I

g a ax

2(a + x)(r + + )

2 a+x

Pertanto, se x = a come dovrebbe essere, l’indice rimarrá sullo zero. In caso contrario devierá a destra

o a sinistra a seconda che x sia minore o maggiore di a. E se le differenze presunte nelle varie x sono

limitate a qualche percento, si puó ritenere che il denominatore sia costante, e scrivere:

= V (a x) = V ∆

λ = I

g

talché, se V é mantenuto praticamente costante, la scala dello strumento puó essere graduata diretta-

mente in ∆. Con ció si legge direttamente sulla scala dello strumento lo scarto ∆ del valore x effettivo

della resistenza da quello a che essa dovrebbe avere.

4.13.7 Doppio ponte di Thomson (Lord Kelvin)

Altro cospicuo esempio di ponte a piú di quattro lati é il doppio ponte di Lord Kelvin, particolarmente

adatto, come meglio si vedrá alla misura di piccole o piccolissime impedenze o resistenze, a seconda

che lo si usi con corrente alternata o continua.

In figura 4.33, che considera un doppio ponte per corrente continua, si suppone di dover misurare

che, messa in serie con una resistenza nota R , dello stesso ordine di grandezza,

una resistenza R

x c

4.13. METODI DI PONTE-COMPLEMENTI ** 81

Figura 4.33: Doppio ponte di Thompson

viene fatta percorrere dalla corrente I data dalla batteria B e controllata da un amperometro A.

Costruttivamente i quattro resistori regolabili a, a’, b e b’ sono fatti in modo che si possa sempre fare

e b = b .

a = a

All’uopo di solito i lati a e a’ sono costituiti per esempio ciascuno da tre resistori a spine che possono

avere i valori 1,10 e 100Ω, mentre i lati b e b’ sono costituiti da complessi di decadi a comandi collegati

.

in modo che, automaticamente, durante le manovre, risulti sempre b = b

Lo schema si riduce immediatamente a quello di ponte ordinario a quattro lati sostituendo al triangolo

con R , una stella equivalente p, q, s in cui

formato da a’, b’ e dalla connessione r che collega R

c x

r

a

p = S

r

b

q = S

b

a

s = S

dove

S = a + b + r

é la somma delle tre resistenze del triangolo primitivo. Si ottiene cosı́ un ponte ordinario i cui lati

sono a, b, R + q, R + p per il quale il galvanometro sará ridotto a zero quando

c x + p)b = (R + q)a

(R

x c

donde, sostituendo a p e q i loro valori,

r r

a b

)b = (R )a

+ +

(R x c

S S

da cui

b

a r a

R ( a

= + ) (4.1)

R x C

b S b

82 CAPITOLO 4. METODI DI CONFRONTO PER LA MISURA R,L,C

ab

Ma se, come detto a = a e b = b il secondo termine del secondo membro si annulla e risulta R = R .

x c

Si arriva cosı́ alla formula stessa del ponte ordinario, del quale il doppio ponte conserva l’elevata

sensibilitá, mentre la misura é del tutto indipendente dalle eventuali variazioni della corrente I. Il

valore di tale corrente deve essere scelto, per ovvie ragioni di sensibilitá, il piú elevato possibile,

compatibilmente con la necessitá di limitare l’errore di temperatura dovuto al riscaldamento delle R

c

ed R . Sulla questione si tornerá nel seguito.

x

La formula completa 4.1 é interessante perché mostra quale puó essere l’errore sistematico del metodo

nel caso che la condizione a = a e b = b non sia rigorosamente rispettata. Si vede infatti che tale

−a

b a

errore sará sempre assai piccolo, dato il termine ( ) giá piccolo di per se stesso, viene moltiplicato

b

r

per r/S = sempre molto minore dell’unitá dato che la connessione r sará sempre di piccola

+b +r

a

resistenza relativamente ai termini a’ e b’.

Che la sensibilitá aumenti con l’aumentare della I appare evidente se si considera che, in sostanza, il

metodo confronta le d.d.p. agli estremi delle R e R le quali tendono a inviare nel galvanometro due

x c

correnti di senso opposto.

Quanto al nome di doppio ponte dato dal Thompson al suo metodo, esso deriva dalla considerazione

che, lungo la connessione r (figura 4.34) vi sará sempre un punto P allo stesso potenziale del punto N,

cosicché un secondo galvanometro derivato fra N e P sarebbe anch’esso ridotto a zero.

Figura 4.34: Genesi del nome del doppio ponte

Si possono poi considerare contemporaneamente due ponti: uno costituito dai lati a’, b’, α e β (essendo

α e β le due parti in cui la r viene divisa dal punto P) per il quale sará:

a

α = = ρ

β b

βb αa

+ e R + , dato che, essendo equipotenziali i

L’altro ponte é invece formato dalla a, b, R

C X

β+b α+a

punti N e P, é come se fossero coincidenti, con il quale la a’ risulta in parallelo con la α e la b’ con la

4.13. METODI DI PONTE-COMPLEMENTI ** 83

β. La condizione di equilibrio del secondo ponte si scrive:

βb αa

(R + )a = (R + )b

C X

β + b α + a

da cui, ponendo a = ρβ

e

= ρb

a

si ricava:

a β ab

R a

R = + ( )

x c

b β + b b

α a

relazione che coincide con la formula 4.2, dato che per la proporzionalitá = , risulta

β b

r

α + β r

β =

= =

β + b β + b + α + a a + b + r S

Ovvia é la possibilitá di usare il doppio ponte anche con corrente alternata: basta considerare tutte

le relazioni sopra scritte come relazioni vettoriali fra le impedenze dei vari lati anziché come relazioni

algebriche fra le loro resistenze. La condizione di equilibrio vettoriale

Z Z = Z Z

x c a

b

si scinderá al solito in una doppia condizione algebrica. In particolare essa puó essere soddisfatta

quando Z e Z siano impedenze simili; nel qual caso:

x c X a

R

x x

= =

R X b

c c

come per il ponte. Si dovrá pertanto anche qui regolare qualche altro elemento, oltre che il rapporto

= R

a/b, per poter realizzare la condizione di zero. Come caso particolare piú importante, quando Z

c c

sia una piccola resistenza non induttiva, e Z una piccola impedenza, si potrá (figura 4.35) ricorrere

x

a due capacitá regolabili. Figura 4.35: Doppio ponte a c.a.

84 CAPITOLO 4. METODI DI CONFRONTO PER LA MISURA R,L,C

4.13.8 Metodi di ponte a corrente alternata

La teoria generale del ponte a corrente alternata si puó facilmente dedurre da quella del ponte a corrente

continua. Basta perció interpretare come equazioni vettoriali le equazioni algebriche che danno i valori

della corrente (continua) in ciascun lato del ponte. In particolare la condizione di equilibrio ac = bx

(da cui x = ac/b) si deve interpretare come relazione vettoriale fra le quattro impedenze costituenti i

quattro lati del ponte (caso piú generale) scrivendola:

Z = Z Z (4.2)

Z

x c a

b

oppure = Z Z Y (4.3)

Z

x a c b

Sostituendo i complessi (genericamente: Z = R + jX) si ottiene:

− −

(R R X X ) + j(X R + X R ) = (R R X X ) + j(X R + X R )

a c a c a c c a x x x x

b b b b

Perché tale relazione sia soddisfatta, devono essere soddisfatte contemporaneamente le due relazioni:

− −

R X X = R R X X

R a c a c x x

b b

X R + X R = X R + X R

a c c a x x

b b

che si possono scrivere anche: − −

R R R = X X X X

R

a c x a c x

b b

− −

X R X R = X R X R (4.4)

a c x x c a

b b

Sono queste le due condizioni che devono essere contemporaneamente soddisfatte per annullare ogni

corrente nel galvanometro.

Come caso particolare, se R R = R R , ossia se le resistenze dei quattro lati soddisfano le condizioni

a c x

b X = X X , ossia anche le quattro reattanze

di equilibrio, in virtú della prima deve essere anche: X

a c x

b

devono stare nelle stesse proporzioni, cioé: R X X

R x a x a

= = =

R R X X

c c

b b

In modo piú intuitivo, le condizioni di equilibrio si possono dedurre dal diagramma vettoriale del ponte

che é facile tracciare per le condizioni di equilibrio. Basta infatti pensare che, in tali condizioni, non

e i lati

passando alcuna corrente nel galvanometro, i lati a e b sono percorsi da una stessa corrente I

a

Z e Z dalla stessa I . Da tale diagramma in cui:

c x x

OA = R I , AM = X I , OX = R I , XM = X I ,

a a a a x x x x

M B = R I , BD = X I , M C = R I , CD = X I ,

a a c x c x

b b

risulta infatti subito: Z I = Z I e Z I = Z I che, divise membro a membro, danno (relazioni

a a x x a c x

b

algebriche): Z Z = Z Z

x c a

b − −

Ma risulta anche immediatamente: ϕ ϕ = ϕ ϕ

a x c

b

4.13. METODI DI PONTE-COMPLEMENTI ** 85

Figura 4.36: Schema e diagramma generale di un ponte a corrente alternata

Le due condizioni di equilibrio risultano pertanto espresse algebricamente dalle due relazioni fonda-

mentali: Z Z

a c

Z = = Z Z Y

x a c b

Z

b

ϕ = ϕ ϕ + ϕ (4.5)

x a c

b

che equivalgono alle formule 4.4. = ϕ (ossia le due impedenze

Anche la seconda delle formule 4.5 ci dice che se, come caso particolare, ϕ

a b

Z e Z sono simili) risulta ϕ = ϕ (ossia anche Z e Z devono essere simili).

a x c c x

b

Il fatto di dover soddisfare contemporaneamente due condizioni indipendenti si traduce, durante la

misura, nella necessitá di regolare due delle otto grandezze in gioco, indipendentemente l’una dall’al-

tra. La cosa appare intuitiva, considerando ancora la figura 4.36. Dei quattro triangoli rettangoli

OAM, OXM, MBD, MCD, la prima coppia (OXM e MCD) si puó disegnare in modo qualunque, solo

rispettando il parallelismo dei lati e la posizione dei vertici O e D. Della seconda coppia, il primo si

puó ancora disegnare in modo qualunque sull’ipotenusa OM, ma con ció il quarto rimane poi perfet-

tamente definito. Ció vuol dire che, date tre qualunque delle quattro impedenze, si potrá annullare

la corrente nel galvanometro solo se si potranno regolare al valore voluto, e indipendentemente l’una

dall’altra, la R e la X della quarta.

4.13.9 Esempi di ponti a corrente alternata

Considerando il caso, particolarmente semplice, di un ponte costituito da due resistenze (a e b) e da

due impedenze (figura 4.37) é chiaro che per poter annullare ogni corrente nel galvanometro, ossia

coincidesse con la frazione

per ottenere un metodo di zero propriamente detto, bisognerebbe che la V

x

86 CAPITOLO 4. METODI DI CONFRONTO PER LA MISURA R,L,C

Figura 4.37: Ponte per proiezione

della V che esiste agli estremi della parte a della R = a + b. Ció puó accadere (figura 4.38) solo se le

o

due impedenze Z e Z sono simili (ϕ = ϕ ).

x c x c

Quando sia soddisfatta tale condizione risulta intuitivamente:

a R X

Z

x x x

= =

=

b Z R X

c c c

Sia le resistenze dei quattro lati stanno nei rapporti voluti per l’equilibrio, anche le reattanze devono

soddisfare tale rapporto. Ovviamente quando la Z e la Z , siano qualunque, non si potrá giungere alla

x c

voluta condizione di equilibrio se non alterando un delle due in modo da renderla simile all’altra. Ora

un’impedenza puó essere modificata nei suoi elementi costituitivi in molti modi diversi: aggiungendo

ad essa, in serie o in parallelo, una resistenza, una induttanza, una capacitá, donde una grande varietá

in questi schemi di ponte.

Per esempio, nel caso piú semplice del confronto di due impedenze induttive, si puó adottare lo schema

della figura 4.39. La resistenza R regolabile, puó, mediante il deviatore d, essere messa in serie con

l’una o con l’altra delle due impedenze, e precisamente con quella delle due che é relativamente meno

> ϕ , si dovrebbe mettere la R in

resistente. Riferendosi ancora al caso della figura 4.37, essendo ϕ

c x

serie con la Z . Ció fatto, regolando la R si possono rendere simili le impedenze dei due lato (Z + R)

c c

e Z in modo da far cadere il punto M sulla OD. Regolando quindi il rapporto delle resistenze a e b

x

si potrá annullare ogni corrente nel galvanometro. Sará, allora, come giá detto:

a R

X x x

=

=

b X R + R

c c

Con questo schema, che costituisce il ponte di Wien per la misure delle induttanze o delle capacitá, le

due grandezze da regolare indipendentemente l’una dall’altra sono la R e la a (o la b).

É interessante notare che la regolazione della R fa spostare il punto M su un arco di cerchio facilmente

individuabile.

4.13. METODI DI PONTE-COMPLEMENTI ** 87

Figura 4.38: Diagramma del ponte all’equilibrio M N (fi-

La posizione in cui esso dovrá trovarsi ad equilibrio raggiunto, si ottiene prolungando la

gura 4.40). Tale prolungamento infatti taglia la OB nel punto A, il quale é il solo che soddisfa la

condizione: a

OA PM X x =

= = X b

OB NB c

Ma d’altra parte, durante la regolazione della R, il triangolo OPM deve conservarsi simile a se stesso,

perché le caratteristiche della Z non mutano. Pertanto, tracciata la AC che formi con la OA l’angolo

x M P individua in

alfa uguale all’angolo OMP, il suo punto d’incontro C con il prolungamento della

OC la corda del cerchio passante per A e per M, su cui si deve muovere il punto M in modo che, da

esso, la corda stessa sia sempre vista sotto l’angolo α.

Come giá detto si possono pensare e realizzare molti diversi schemi di ponte variando l’artificio me-

diante il quale si rendono simili le due impedenze da confrontare. Si possono allo scopo adottare

induttanze, capacitá e resistenze regolabili. In ogni caso per raggiungere le condizioni di equilibrio si

dovranno regolare indipendentemente due grandezze.

Considerando, per esempio, lo schema del ponte di Maxwell (figura 4.41), il galvanometro (a vibrazione

o ad amplificatori) potrá essere ridotto a zero regolando contemporaneamente la resistenza c e la

l’impedenza dell’arco doppio formato dalla K

capacitá variabile K in parallelo sul lato b. Detta Z

b

con la b, avremo allora, come al solito: Z

ac = Z x

b

Ma Z = R + jωL

x x x b

1 =

Z =

b 1/b + jωK 1 + jωKb

sostituendo : ac(1 + jωKb) = b(R + jωL ) che, uguagliando parti reali e immaginarie, si scinde nelle

x x

88 CAPITOLO 4. METODI DI CONFRONTO PER LA MISURA R,L,C

Figura 4.39: Schema del ponte di Wien

Figura 4.40:

e acωKb = bωL da cui

due ac = bR x x a c

=

R

x b

ed L = acK

x

che ci danno i parametri cercati della Z in funzione delle tre resistenze a, b e c e della capacitá K,

x

indipendentemente dal valore della frequenza, ossia della pulsazione.

Non va dimenticato che, in generale i valori di R ed L cosı́ determinati sono i valori delle grandezze

x x . Tali valori equivalenti valgono

del circuito equivalente in serie che si puó pensare di sostituire alla Z

x

esclusivamente per la frequenza e per la forma della curva con cui furono determinati. In generale le

variazioni di tale valore al variare della frequenza sono modeste, tanto che in molti casi i valori stessi

si suppongono costanti, almeno nei limiti ordinari delle frequenze industriali, ma anche con frequenze

industriali le variazioni possono diventare assai notevoli se la Z contiene materiali magnetici o se il

x

circuito é formato da conduttori massicci di notevole sezione. In tal caso le perdite nel ferro fanno

4.13. METODI DI PONTE-COMPLEMENTI ** 89

Figura 4.41: Ponte di Maxwell

aumentare, con la frequenza, il valore della resistenza equivalente, che tiene conto delle perdite stesse,

mentre le correnti indotte nella massa dei conduttori fanno diminuire l’induttanza.

Degno di nota il fatto che tanto in questo metodo quanto in altri che vedremo piú avanti, la formula

risolutiva per la R é la stessa che nel ponte a corrente continua. Ne consegue la possibilitá di eseguire

x

il metodo in due tempi: in un primo tempo, alimentato il ponte con una f.e.m. continua e usando un

ordinario galvanometro per c.c., si equilibra il ponte regolando la c, con che appunto:

a c

=

R

x b

La presenza della capacitá K derivata sul lato b, non disturba affatto la misura se si ha cura di

chiudere la chiave di pila prima di quella di galvanometro, in modo che le correnti dovute al fenomeno

transitorio della carica del condensatore, e che si sovrappongono a quelle di regime, siano cessate

quando il galvanometro viene inserito. In un secondo tempo, alimentando il ponte a corrente alternata

e usando un galvanometro a vibrazione, lo si riduce a zero regolando il solo condensatore K, senza piú

toccare le resistenze a, b e c. Si realizza cosı́ la seconda condizione di equilibrio

L = acK

x

É interessante ricordare questo possibile modo di procedere, in quanto molti di questi metodi di ponte

nacquero assai prima che si sviluppassero le misure a corrente alternata, per la misura di induttanze e

capacitá, utilizzando appunto il procedimento in due tempi. Regolate, nel primo tempo, le resistenze in

ab

= c., nel secondo tempo bastava chiudere prima la chiave di galvanometro e poi

modo da ottenere R

x

quella di pila. Con ció il galvanometro riceveva un impulso dovuto alla corrente transitoria; impulso

che si poteva eliminare regolando la capacitá K, ossia realizzando di fatto l’altra condizione L = acK.

x

La sensibilitá di questa seconda fase risultava naturalmente piuttosto limitata: molto minore di quella

raggiungibile alimentando il ponte in corrente alternata. Di piú non si deve dimenticare che salvo

in caso di induttanze senza ferro e di filo sottile (non sede di apprezzabili correnti parassite) e di

condensatori senza perdite, i valori di R , L e K sono sempre valori equivalenti, valevoli solo per quella

x x

particolare frequenza con cui vengono misurati i valori ottenuti coi vecchi metodi a corrente continua

in due tempi, possono pertanto risultare sensibilmente diversi da quelli a frequenza industriale.

90 CAPITOLO 4. METODI DI CONFRONTO PER LA MISURA R,L,C

Per quanto il ponte di Maxwell possa servire per misure di capacitá, quando al posto della Z si

x

ponga un induttore campione, si preferisce generalmente ricorrere al confronto diretto con condensatori

campione, che sono piú facilmente realizzabili degli induttori.

Figura 4.42: Ponte di Gott

Il metodo a cui generalmente si ricorre é quello del ponte di Gott di cui la figura 4.42 dá lo schema e il

diagramma vettoriale, e che puó dirsi il reciproco del ponte di Wien. Il diagramma vettoriale suppone

che i due condensatori K e K messi a confronto abbiano forti perdite. La piccola resistenza regolabile

c x

r, ch esi puó mettere in serie con quello dei due condensatori che ha relativamente minori perdite (il

K , nel caso in figura), serve ancora per rendere simili i triangoli relativi ai due condensatori. Ad

c

equilibrio raggiunto risulta: b

K

x =

K a

c

r a

x =

r + r b

c

Si noti la caratteristica inversione del rapporto a/b che é proprio di questo metodo.

L’importanza pratica del ponte di Gott deriva dal fatto che, nei condensatori usati normalmente nei

laboratori, l’angolo di perdita delta é estremamente piccolo talché i segmenti OA e M B diventano tra-

I e I ωK cadono praticamente sulla OC. Si puó quindi ottenere praticamente

scurabili e le tensioni x x c

ωK

x

l’azzeramento regolando soltanto il rapporto a/b e scrivere

b

K = K

x c a

Analogo al precedente, e assai usato per lo studio dei condensatori é il ponte di Schering. Com’é noto,

un condensatore imperfetto (avente cioé una certa perdita nel dielettrico, per cui la corrente in esso,

o o

anziché a 90 in anticipo sulla tensione é spostata solo di 90 δ) puó sempre concepirsi come un

condensatore perfetto messo in serie con una resistenza ohmica r (figura 4.43).

I OA

Essendo: OA = rI , e AB = risulta tan(δ) = = rωC.

c

c ωC AB , r ,

Ció premesso, lo schema del ponte di Schering é dato in figura 4.44. In esso il complesso C

x x

rappresenta, per quanto si é detto, il condensatore incognito, che si puó concepire come una impedenza

4.13. METODI DI PONTE-COMPLEMENTI ** 91

Figura 4.43: Circuito equivalente di un condensatore

; C é un condensatore di capacitá nota, senza perdite; a e b sono due resistenze ohmiche; K un

Z

x

condensatore variabile. Figura 4.44: Ponte di Schering

Per l’equilibrio deve essere, come sempre: Z = Z Z Y

x c a

b

dove 1

Z = r j

x x ωC

x

Z = b

b

92 CAPITOLO 4. METODI DI CONFRONTO PER LA MISURA R,L,C

1

−j

Z =

c ωC

1 + jωK

=

Y

a a

sostituendo si ottiene: 1

b

Z ( + jωK)

= j

x ωC a

che, uguagliando separatamente le parti reali e immaginarie, ci dá:

K

r = b

x C

a

C = C

x b

D’ordinario, nel caso di condensatori imperfetti, si usa definirli in base al valore di tan(δ): si ha

tan(δ) = r ωC = ωaK

x x

Allo stesso risultato si puó giungere considerando il diagramma vettoriale del ponte all’equilibrio,

rappresentato in figura 4.45. Figura 4.45: 1

OM = aI = bI = aI cos(δ) ; M A = Z I = I .

Si ha infatti: a x c x x c

ωC

Dividendo b = ωCa cos(δ)

Z

x

Ma 1 = Z cos(δ)

x

ωC

x

ossia 1

=

Z

x ωC cos(δ)

x

4.13. METODI DI PONTE-COMPLEMENTI ** 93

e quindi bωC cos(δ) = ωCa cos(δ)

x

donde a C

C =

x b

mentre I

k

tan(δ) = = ωKa

I

a

4.13.10 Ponti a corrente alternata con piú di quattro lati

Le considerazioni finora fatte possono sembrare insufficienti di fronte ai tipi piú complessi di ponte or-

mai entrati largamente nell’uso, come per esempio il ponte di Anderson per la misura delle induttanze,

del quale la figura 4.46 dá lo schema.

Figura 4.46: Schema del ponte di Anderson

Essi possono invece facilmente ricondursi sempre ai casi ordinari finora considerati. Cosı́ nel caso del

1

ponte di Anderson, chiamando x la reattanza di capacitá del condensatore K, potremo sempre,

ωK 1

−j

al triangolo ABD, formato dalle resistenze R e b e dalla x = sostituire una stella equivalente.

ωK

Sará pertanto possibile sostituire allo schema del ponte di Anderson della figura 4.47a lo schema della

figura 4.47b purché fra gli elementi non coincidenti dei due sussistano le relazioni:

bR

p = b + R + x

bx

q = b + R + x

Rx

s = b + R + x

94 CAPITOLO 4. METODI DI CONFRONTO PER LA MISURA R,L,C

Figura 4.47: Trasformazione del ponte di Anderson in ponte ordinario

Siamo cosı́ ricondotti a un ponte ordinario i cui quattro lati sono: a + p , q , c , Z . La s in serie col

x

galvanometro non interviene nella condizione di equilibrio che si scrive:

(a + p)c = qZ

x

Sostituendo a p e q i valori: bx

bR )c = )Z

(a + x

b + R + x b + R + x

donde: [a(b + R + x) + bR]c = bxZ

x 1

−j

Sostituendo i complessi, ricordando che a, b, c, R sono semplici resistenze che x = e che

ωK

= R + jωX = R + jωL , si ottiene:

Z

x x x x x b

1 −j

− ) + bR]c = (R + jωL )

[a(b + R j x x

ωK ωK

ossia ωbL bR

ac x x

− = j

ca(b + R) + bRc j ωK ωK ωK

Questa relazione si scinde nelle due condizioni:

ωK[ca(b + R) + bRc] = ωbL

x

ac = bR x

La seconda ci mostra che le resistenze dei quattro lati del ponte devono soddisfare alla solita condizione

di equilibrio, ossia: a

R c

=

x b

La prima si semplifica nella relazione: R

L ) + R]

= Kc[a(1 +

x b

della Z in funzione della capacitá K e delle quattro resistenze.

che ci dá il valore dell’induttanza L

x x

Se pertanto si regolano per successivi tentativi le resistenze fino ad annullare ogni corrente nel galva-

nometro, le ultime due relazioni ci danno i valori cercati di R e di L , indipendentemente dal valore

x x

4.13. METODI DI PONTE-COMPLEMENTI ** 95

della frequenza. Oppure quando la Z sia a parametri costanti (induttanza senza ferro) si puó prima

x

alimentare il ponte con corrente continua, sostituendo al galvanometro a vibrazione un galvanometro

elettromagnetico, e, fissato a/b, regolare la c fino all’equilibrio. La presenza del condensatore K non

influisce infatti sull’equilibrio del ponte. Quindi, alimentando il ponte con corrente alternata, senza

piú toccare a, b, c, si ridurrá a zero il galvanometro a vibrazione (o equivalente) regolando la R.

L’uso di uno schema piú complesso, qual é quello del ponte di Anderson, in confronto con quello del

ponte di Maxwell, é giustificato dal fatto che esso consente la misura di induttanze di maggior valore

utilizzando lo stesso condensatore campione, il quale inoltre non deve essere piú di tipo regolabile.

4.13.11 Ponti automatici a corrente alternata

Come abbiamo giá visto é ovvia la possibilitá di realizzare ponti a corrente alternata a regolazione

ed eventuale registrazione automatica. In modo del tutto analogo basterá inserire sulla diagonale

di galvanometro due relé i quali sentano rispettivamente la componente in fase e la componente

in quadratura con la tensione che alimenta il ponte, e comandino due servomotori i quali regolino

indipendentemente le due variabili del metodo. Cosı́ per esempio, nel caso del ponte di Schering,

uno dei servomotori dovrá regolare il lato b e l’altro il condensatore variabile K. Come nel caso del

potenziometro si potrá ottenere una regolazione diretta utilizzando due strumenti a induzione che

riuniscano in sé le funzioni di relé e di servomotore.

4.13.12 Le schermature nei ponti in corrente alternata

Nelle misure con corrente alternata, oltre alle deficienze di isolamento interno ed esterno, sono da

temersi anche gli accoppiamenti parassiti, capacitivi e induttivi, fra le varie parti del circuito, ma

isofrequenziali con la corrente di misura.

I concatenamenti parassiti sono tanto piú dannosi quanto é maggiore la frequenza; perció, mentre

hanno una influenza modesta a frequenza industriale, acquistano importanza notevole per le medie

frequenze (acustiche) e diventano assolutamente preponderanti per le radiofrequenze.

Limitandoci alle frequenze industriali o, al piú, acustiche, osserviamo che la protezione contro le

correnti disperse di conduzione si effettua con piastre ed anelli di guardia, come per la corrente

continua.

I concatenamenti parassiti capacitivi hanno luogo fra i vari tronchi del circuito di misura che vengono a

costruire altrettante armature di condensatori aventi per dielettrico l’aria interposta; attraverso l’aria

avvengono scambi di corrente dielettrica che non seguono le vie normali previste dal circuito di misura

e possono falsare anche gravemente i risultati.

Per eliminare o almeno guidare questi scambi, il procedimento é quello di interporre sul percorso della

corrente dielettrica un conduttore (lastra o tubo, a seconda della forma del circuito da proteggere)

collegato in modo che assuma un potenziale prossimo a quello del tratto di circuito da proteggere; alle

capacitá parassite fra i due tratti di circuito si vengono cosı́ a sostituire due capacitá in serie, di cui

quella fra il tronco da proteggere e lo schermo (elettrostatico o meglio dielettrico) é senza effetti sulla

misura, essendo piccolissima la loro differenza di potenziale, mentre l’altra dá luogo a un passaggio di

96 CAPITOLO 4. METODI DI CONFRONTO PER LA MISURA R,L,C

corrente solitamente maggiore di quella che circola quando non esiste schermatura, ma che costituisce

solo una maggiore prestazione per la sorgente che alimenta il circuito, mentre é senza effetti sulla

misura, non interessando le parti che devono essere protette.

Si ripete cioé il procedimento, giá noto per le correnti di conduzione, di tagliare la strada alle correnti

disturbanti che sono ora correnti dielettriche.

Non sempre peró il procedimento é applicabile facilmente; talvolta la capacitá fra schermo e tron-

co da proteggere, se pure é piccola la loro differenza di potenziale, deve essere presa anch’essa in

considerazione nella espressione dei risultati, ció che obbliga a conoscerla con esattezza e complica i

conteggi.

Tipico il caso del ponte di Schering schermato nei tratti che vanno dai due condensatori (il campione e

quello in prova) ai vertici di galvanometro (figura 4.48). Si ritiene solitamente che questa schermatura,

abbinata a un allontanamento dei due condensatori, e quindi dell’alta tensione, dal galvanometro e

dai lati resistivi del ponte, sia sufficiente allo scopo, perché protegge dagli effetti dei concatenamenti

con l’alta tensione i due tronchi di circuito che collegano i condensatori, mentre alla protezione degli

altri due lati del ponte e del galvanometro sopperisce la lontananza. Gli schermi sono in questo caso

costituiti da due tubi metallici flessibili che circondano i due conduttori e si prolungano fino agli anelli

di guardia contribuendo di fatto anche a drenare la corrente di conduzione superficiale e a delimitare

una zona dei due condensatori in cui il campo dielettrico é uniforme.

Figura 4.48:

Questi schermi sono messi a terra, come il vertice inferiore del ponte, che é poi uno dei due vertici

dell’alimentazione. Dato che le impedenze dei due condensatori sono di gran lunga maggiori delle im-

pedenze dei due lati resistivi, quasi tutta la tensione applicata si esaurisce nei due condensatori, sicché

la differenza di potenziale fra i vertici di galvanometro e la terra risulta piccola (questa disposizione

si allontana da quella di massima sensibiltá, ma é consigliabile per la sicurezza dell’operatore e per

diminuire le cause di disturbo).

Si osserva peró che la capacitá fra i due tronchi schermati e gli schermi sono rappresentabili con due

condensatori derivati fra i vertici di galvanometro e la terra e quindi in parallelo con i lati resistivi del

ponte. Si tratta certo di capacitá piccolissime, che possono tuttavia introdurre degli errori specialmente

4.13. METODI DI PONTE-COMPLEMENTI ** 97

Figura 4.49:

in media frequenza, ma anche talvolta con frequenza industriale, specialmente quando é molto piccolo

l’angolo di perdita del condensatore in esame, perché la capacitá K risulta piccolissima e quindi si

avvicina all’ordine di grandezza della corrispondente capacitá parassita. In questo caso conviene dare

agli schermi un potenziale uguale a quello dei due vertici di galvanometro (in equilibrio); a tale fine lo

schermo non é collegato a terra direttamente, ma attraverso una impedenza Z , regolabile in valore

O

e angolo, detta impedenza di bilanciamento e costituita di solito da un induttore in serie con un

arco doppio resistore-condensatore (figura 4.49). Il galvanometro a sua volta puó essere connesso a

un commutatore sia fra i vertici corrispondenti del ponte, in inserzione normale, sia fra uno dei due

vertici e lo schermo, per il bilanciamento.

Portato il ponte in equilibrio normalmente, si sposta il commutatore sulla posizione di bilanciamento

e si regola il potenziale dello schermo, fino a quando il galvanometro torna a zero. Poiché questa ope-

razione puó avere squilibrato il ponte, le due operazioni di equilibratura del ponte e di bilanciamento

dello schermo vanno ripetute alternativamente piú volte, finché si ottiene l’azzeramento del galvano-

metro contemporaneamente nelle due condizioni. In tale modo il ponte é in equilibrio e lo schermo si

trova al potenziale del galvanometro; non vi puó quindi essere nessun passaggio di corrente dielettrica

fra galvanometro e lo schermo e la loro capacitá mutua é senza effetti.

Nel caso delle medie frequenze gli accoppiamenti capacitivi assumono maggiore importanza; in par-

ticolare non é piú possibile supporre le capacitá dei vari elementi che costituiscono il circuito come

concentrati in un punto, ma é necessario considerarle, come in realtá distribuite (figura 4.50a) e in

generale variabili con la posizione degli oggetti circostanti.

Perció, in media frequenza, ogni elemento costituente il circuito di misura, viene schermato singolar-

mente con un tubo metallico che va collegato a uno dei morsetti dell’oggetto stesso (figura 4.50b).

In tal modo la capacitá distribuita risulta derivata verso lo schermo e quindi definita e invariabile,

sicché se ne puó tenere conto nella determinazione dell’impedenza dell’oggetto. Inoltre la capacitá

verso l’esterno risulta tutta riportata a un estremo, il che semplifica notevolmente lo studio della sua

influenza sulla misura.

A sua volta questa capacitá verso l’esterno puó essere resa fissa circondando i vari elementi schermati

con un secondo schermo messo a terra. La disposizione e i collegamenti degli schermi variano da caso a

caso, devono essere studiati di volta in volta in modo da eliminare o governare le ammettenze derivate

che possono influire sulla precisione della misura.

98 CAPITOLO 4. METODI DI CONFRONTO PER LA MISURA R,L,C

Figura 4.50:

Uno schema generico di ponte con doppia schermatura é rappresentato nella figura 4.51, dove ogni lato

del ponte é rappresentato con un impedenza schermata; una seconda schermatura generale circonda le

precedenti e le connessioni del ponte ed é messa a terra. Il generatore di alimentazione e l’indicatore

di zero sono collegati al ponte per mezzo di trasformatori di isolamento, pure schermati.

Figura 4.51:

Poiché gli schermi dei singoli lati riportano ai vertici del ponte le ammettenze derivate verso terra,

torna vantaggioso eliminare gli effetti di qualcuna di queste ammettenze annullando la differenza di

potenziale fra vertici corrispondenti e terra.

Si é giá illustrato il procedimento dello schermo bilanciato solitamente usato in bassa frequenza, che

consiste nel portare lo schermo potenziale dei vertici di galvanometro. In media frequenza si adopera

piú spesso un sistema reciproco, detto della messa a terra di Wagner, rappresentato in figura 4.52.

Il procedimento richiede un ponte ausiliario costituito dai due lati AB e BC del ponte principale

AT e CT ; questo ponte deve essere azzerato insieme con il ponte

e dalle due impedenze regolabili

principale e l’operazione di azzeramento dei due ponti puó anche venire effettuata alternativamente,

4.13. METODI DI PONTE-COMPLEMENTI ** 99

Figura 4.52:

con lo stesso galvanometro, passando ripetutamente dall’una all’altra inserzione.

Quando i due ponti sono equilibrati i due vertici B e D del ponte principale sono al potenziale di terra,

come lo schermo generale S (rappresentato per chiarezza di disegno col solo contorno esterno); la loro

ammettenza verso terra é perció senza effetti sulla misura.

Gli schermi elettrostatici, come sopra descritti, in quanto si interpongono fra i supporti materiali

dei circuiti, servono anche a drenare le correnti laterali di conduzione che hanno per sostegno, invece

dell’aria, appunto tali supporti, ma sono dovute alla stessa causa che determina le correnti dielettriche.

Gli schermi elettrostatici assumono perció essi stessi la funzione delle piastre e degli anelli di guardia

e possono quindi essere piú in generale considerati come schermi contro le ammettenze laterali di

dispersione. Fanno eccezione le misure con correnti impulsive (misure balistiche), per le quali gli

schermi elettrostatici devono essere tenuti distinti dalle guardie.

Dato poi il loro collegamento a terra, gli stessi schermi sono generalmente efficaci non solo contro le

cause interne, ma anche contro i campi elettrici (correnti disperse) e dielettrici dovuti a cause esterne

al circuito di misura.

Per completare il quadro delle protezioni contro i disturbi restano da esaminare i concatenamenti

parassiti induttivi fra le parti del circuito di misura e con campi magnetici esterni. Trattandosi anzi

qui di campi alternati, dobbiamo considerarli piú generalmente come campi elettromagnetici, che

possono determinare variazioni anche sensibili nella impedenza di qualche lato del ponte.

Diremo subito che queste cause di disturbo sono molto meno importanti delle precedenti e sono soli-

tamente limitate a qualche parte del circuito di misura e particolarmente al generatore. La protezione

contro questi disturbi puó essere eseguita, circondando le parti da proteggere con una scatola di ma-

teriale ad alta permeabilitá, ma poiché si tratta di campi variabili piuttosto rapidamente, il migliore

sistema di schermatura consiste ancora nell’interporre fra causa disturbante e oggetto da proteggere

una lastra di materiale conduttore. Le correnti parassite in esso indotte dal campo elettromagnetico

tendono infatti a indebolirlo e producono perció un effetto schermante.

A differenza di quanto avviene per gli schermi elettrostatici non é peró qui piú necessario che lo

schermo assuma un potenziale definito o sia collegato a qualche punto particolare del circuito di misura;

100 CAPITOLO 4. METODI DI CONFRONTO PER LA MISURA R,L,C

la sua azione schermante é infatti legata solo alle correnti parassite indotte nella massa stessa del

conduttore del campo perturbatore; perció essa é tanto maggiore quanto piǵrandi sono la conduttivitá

del materiale costituente lo schermo e il suo spessore; a paritá di altre caratteristiche, la permeabilitá

magnetica del materiale esercita pure una azione favorevole. Normalmente si usano lastre o tubi di

rame dello spessore di 1mm circa.

Naturalmente l’effetto schermante cresce, a paritá di altre circostanze, con la frequenza, tanto che,

con le frequenze piú elevate, puó bastare uno schermo a gabbia invece che continuo.

Per quanto detto, gli stessi schermi elettrostatici, se costituiti di sufficiente spessore e saldati con cura

in modo da non dare luogo a discontinuitá, servono anche come protezione contro gli accoppiamenti

parassiti elettromagnetici. La loro presenza determina peró in questo caso delle perdite di energia di

cui occorre talvolta tenere debito conto.

4.14 Ponti a lati di rapporto induttivi (Ponti a trasformatore)

Concettualmente simili al ponte di Gott per il confronto tra condensatori, impiegano un divisore di

tensione a rapporto variabile di tipo induttivo. Pregio fondamentale di questi dispositivi, tale da

qualificarli come sistemi di misura di alta precisione, é la possibilitá di quantificare il rapporto del

ramo induttivo mediante il conteggio delle spire. Nello schema fondamentale di figura 4.53, infatti, la

condizione di equilibrio del ponte si ha quando risulta:

V E n

Y 1 1

x c

= =

Y V E n

2 2

c x

Figura 4.53: Ponte a trsformatore.Schema di principio

Affinché il rapporto di spire del divisore induttivo corrisponda, con la richiesta approssimazione, al

4.14. PONTI A LATI DI RAPPORTO INDUTTIVI (PONTI A TRASFORMATORE) 101

rapporto inverso delle ammettenze si deve realizzare un divisore di tensione induttivo con le seguenti

caratteristiche:

a) che la f.e.m. per spira sia uguale lungo tutto il divisore;

b) che la c. di t. interna al divisore induttivo sia trascurabile rispetto alle tensioni in gioco.

Le due condizioni si ottengono mediante l’impiego di nuclei magnetici torici costituiti con leghe ma-

gnetiche ad elevatissima permeabilitá relativa (da 50000 a 250000) e realizzando avvolgimenti di bassa

resistenza avvolti a spire strette e ben uniformi. L’impiego di schermature magnetiche facilita il

contenimento del flusso utile riducendo le reattanze di dispersione.

Sistemi di questo genere presentano una elevata impedenza in ingresso.

Per ottenere la condizione di equilibrio, nel caso di ponti per il confronto tra condensatori campione,

occorre poter regolare il rapporto spire con elevata finezza.

4.14.1 Impiego di piú condensatori campione sul ramo di riferimento

Figura 4.54: Impiego di piú condensatori campione

Poiché la condizione di equilibrio del ponte corrisponde al bilanciamento delle correnti capacitive nel

nodo di galvanometro, cioé: = I c + I c + ... + I c

I 1 2

x m

si ottiene Y V = Y cV c + Y cV c + ... + Y cV c

1 1 2 2

x x m m

impiegando m condensatori campione scalati di valore secondo ordini di grandezza successivi, da

inserire separatamente su una tra 10 prese diverse del ramo induttivo di regolazione (uniformemente

distribuite sull’avvolgimento) si ottiene anche:

α α α

1 2 m

V V V

V = Y c + Y c + ... + Y c

Y 1 2

x x c c m c

10 10 10

102 CAPITOLO 4. METODI DI CONFRONTO PER LA MISURA R,L,C

con V tensione applicata a tutto il ramo di regolazione ed α , α ,...,α dei coefficienti numerici interi

1 2

c m

compresi tra 0 e 9. Infine, considerando i rapporti previsti tra gli m condensatori campione (ordini di

grandezza successivi) si ha : α

V α α

1 2 −1 −(m−1)

c m

Y + 10 10

= Y c( + ... +

1

x V 10 10 10

x −m

La sensibilitá di una simile regolazione é pari a 10 , ottenibile con l’impiego di soli m condensatori

campione e con una suddivisione dell’avvolgimento del ramo di regolazione in sole 10 parti.

4.14.2 Impiego di un divisore potenziometrico tipo Thompson-Varley

Figura 4.55: Lato di regolazione: schema Thompson-Varley

É possibile impiegare una variante induttiva dello schema di divisore potenziometrico detto di Thompson-

Varley che, nella forma classica, verrá descritto nei prossimi paragrafi. Una semplificazione introdotta

nello schema induttivo é che non ci si deve preoccupare degli assorbimenti di corrente provocati dalle

decadi successive.

Infatti, caratteristiche peculiari dei divisori induttivi sono l’elevata impedenza in ingresso e la minima

impedenza in uscita.

L’influenza di una decade successiva, quando viene inserita in parallelo a un gradino della decade

precedente, é praticamente nulla, in condizioni di regime. Per quanto riguarda la transizione da una

posizione all’altra si provvede a limitare la corrente di inserzione con contatti ausiliari resistivi.

In questo caso, quindi, nel ponte si impiega un solo condensatore campione e la regolazione di bi-

lanciamento viene finemente realizzata con l’impiego di un numero m di divisori in cascata (secondo

appunto lo schema Thompson-Varley) divisi in sole 10 parti, ed in numero pari alle decadi che si in-

tendono utilizzare. Nei dispositivi di regolazione sopra descritti per ponti a lati di rapporto induttivi

si impiegano normalmente da 5 a 9 decadi.

La frequenza di alimentazione di questi ponti é normalmente compresa tra 50 e 10000 Hertz con

tensione applicata fino a 350 Volt. La frequenza di esercizio puó essere scelta dall’operatore, tenendo

solo presente che la tensione di operazione deve essere ridotta in proporzione alla frequenza impiegata,

per mantenere invariata l’induzione nei nuclei.

4.14. PONTI A LATI DI RAPPORTO INDUTTIVI (PONTI A TRASFORMATORE) 103

Una frequenza tipica per l’impiego di questi ponti é quella di 1592 Hertz, corrispondente alla pulsazione

ω = 10000.

A questa frequenza infatti viene effettuato il confronto tra un condensatore campione e un resistore

campione di 100000 ohm nelle operazioni di trasferimento della precisione dal condensatore campione

calcolabile al resistore campione.

In questi ponti, previsti per il funzionamento in media frequenza, l’impiego di elementi schermati é di

rigore.

In figura 4.56 viene descritto un ponte a lati induttivi considerato fra i piú efficienti. Le capacitá di

schermatura sono indicate con linee a tratteggio.

n i = n i

1 1 2 2

n 2

C = C

x N n 1

tan(δ) = RωC

. Figura 4.56:

104 CAPITOLO 4. METODI DI CONFRONTO PER LA MISURA R,L,C

Parte II

Sensori e Trasduttori

105

Capitolo 5

Sensori e Trasduttori

Una delle ragioni della diffusione dell’elettronica in molti contesti è la possibilità di ricondurre molte

grandezze fisiche a grandezze elettriche, tramite sensori o trasduttori. Trasduzione : la variazione di

una grandezza fisica è tradotta in una variazione di tipo elettrico. Con riferimento alle tematiche del

corso, noi possiamo parlare di uso dell’elettronica per l’effettuazione di misure. (v.Fotocopia 9 Fig

26.3)

5.1 Sensori di temperatura a termocoppia

5.1.1 Termocoppia

Consideriamo un circuito costituito da materiali (metallici) di tipo diverso.

Figura 5.1: Circuito costituito da materiali di tipo diverso

Se la temperatura delle due giunzioni 1 e 2 è la stessa, per la seconda legge di Volta la differenza di

potenziale misurata è nulla. Se viceversa le temperature T1 e T2 differiscono, avremo una tensione

V = 0 : la catena non è isoterma. Si parla di effetto termoelettrico o effetto Seebek. La differenza

di potenziale dipende dai materiali, dalla differenza T2-T1, ma non dalla variazione di temperatura

lungo i materiali. Diversi sono i fenomeni che intervengono a determinare V : la struttura elettronica,

il livello di Fermi, variazioni dei coefficienti di diffusione, ecc... Possiamo riassumere tali fenomeni

107

108 CAPITOLO 5. SENSORI E TRASDUTTORI

nella seguente descrizione: dati due materiali A e B, alla giunzione tra essi si localizza una differenza

di potenziale legata alla temperatura:

2 3

AB

E = a T + a T + a T + . . . (termine lineare prevalente)

1 2 3

t

Es. ferro-costantana (lega Cu-Ni) : 2 −5 3

·

AB = 50.37T + 3.43T + 8.57 10 T + . . .

E t

Nel caso in cui nella catena ci siano giunzioni a temperatura diversa :

2 2

− − −

AB AB AB

E = E E = a (T T ) + a (T T ) + . . .

1 1 2 2 1 2

,T

T T T

1 2 1 2

5.1.2 5 Leggi di impiego della termocoppia

1. La differenza di potenziale dipende dalla differenza di temperatura alle giunzioni, e non dalle

temparature intermedie.

Figura 5.2: Prima legge di impiego della termocoppia

2. Se le due giunzioni ai capi del materiale C sono alla stessa temperatura, la differenza di potenziale

resta invariata (come se C non ci fosse) :

Figura 5.3: Seconda legge di impiego della termocoppia

3. Lo stesso discorso della 2) vale se C è posto dalla parte di una delle due giunzioni:

Figura 5.4: Terza legge di impiego della termocoppia

4. La somma delle differenze di potenziale delle due termocoppie distinte che operano alla stessa

temperatura è pari alla differenza di potenziale tra i materiali A e B della prima e seconda

rispettivamente (legge del materiale intermedio) :

5.1. SENSORI DI TEMPERATURA A TERMOCOPPIA 109

Figura 5.5: Quarta legge di impiego della termocoppia

5. Legge della temperatura intermedia : AB AB AB

+ E = E

E ,T ,T ,T

T T T

1 3 3 2 1 2

o AB AB AB

Se T = 0 C =⇒ E = E + E

2 T T T

,0 ,T ,0

1 1 3 3

Figura 5.6: Prima legge di impiego della termocoppia

Tipicamente si forniscono tabelle di differenze di potenziale con un riferimento di tensione a zero

gradi Celsius. La tabella di figura 26.25 (fotocopia 10) indica alcune delle più diffuse termocoppie,

le loro denominazioni standard (colonna ’Type’) ed gli intervalli di temperatura di funzionamento.

Nella figura 26.26 sono invece indicate le tensioni prodotte a diverse temperature dalle medesime

o C).

termocoppie (con riferimento ad una temperatura di 0

5.1.3 Esempio di impiego di una termocoppia

Vogliamo osservare la temperatura di un fluido in un tubo: all’interno di esso porremo una giunzione

della termocoppia; determiniamo la differenza di potenziale sfruttando la terza legge.

Figura 5.7: Esempio di impiego della termocoppia

110 CAPITOLO 5. SENSORI E TRASDUTTORI

La misura è corretta se le due giunzioni che interessano il rame sono alla stessa temperatura (ad

esempio disponendole a contatto termico). Sarà particolarmente importante il controllo termico di

T2; se non siamo in grado di assicurare un valore di T2 sufficientemente stabile, saremo costretti

ad effettuare la connessione a lunga distanza con gli stessi materiali della termocoppia (*). Non ha

importanza la temperatura lungo i fili. (la soluzione più adeguata sarebbe quella di fissare T2 al

o

riferimento della termocoppia : 0 C - acqua-ghiaccio).

AB AB AB

= E E

E ,T ,0 ,0

T T T

1 2 1 2

misurato

Ci interessa T1, quindi dobbiamo conoscere T2 : noto e costante nel tempo. Consideriamo il circuito

in figura 26.27 (fotocopia 10). ∂ = temperatura misurata

M

= temperatura di riferimento

∂ R

Il valore di temperatura di riferimento determina una tensione che si somma a quella misurata, dovuta

alla temperatura ignota. L’amplificatore ha il compito di riportare il coefficiente di temperatura della

giunzione ferro-costantana, ad un coefficiente confrontabile con quello legato al riferimento.

mV

µV − −→ −

(∂ (∂

∂ ) 10 ∂ )

51.7 M R M R

o o

C C

Nel circuito di figura 26.28 si provvede ad effettuare la compensazione mediante un sensore di tem-

peratura che genera una tensione proporzionale alla temperatura stessa. Il primo amplificatore è di

guadagno 192 ed ha il compito visto in precedenza; il secondo amplificatore ha guadagno unitario e

provvede ad isolare le tensioni misurate permettendone la lettura. All’ingresso dell’operazionale ab-

mV mV

(∂ ∂ ) e 10 (∂ ) quindi, come volevamo, una tensione proporzionale

biamo la somma di 10 M R R

o o

C C

mV

alla temperatura da misurare : 10 (∂ )

M

o C

E’ possibile uno schema differente che compensi il circuito prima di amplificare il segnale della

termocoppia : Figura 5.8:

La misura di una temperatura richiede la conoscenza di una temperatura di riferimento, altrimenti si

applica una compensazione togliendo al contributo della termocoppia quello legato alla temperatura

di riferimento.

5.2. TERMOCOPPIE-COMPLEMENTI 111

Figura 5.9:

5.2 Termocoppie-Complementi

5.2.1 Generalità.

L’effetto termoelettrico, scoperto da T.J.Seebeck nel 1821, consiste nel fatto che si collegano fra loro

due metalli diversi si stabilizza una f.e.m. a cavallo della giunzione.

Si considerino ora due metalli, che per comodità riterremo sotto forma di due fili A e B (Fig. 5.9),

e t : ne deriverà quanto segue.

saldati alle estremità C e D, rispettivamente a temperatura t

1 2

1. Se i metalli sono di natura diversa, supposte diverse le due temperature delle due giunzioni, il

circuito costituito dai due fili è sede di una f.e.m. e risultante delle f.e.m. che nascono a cavallo

delle due giunzioni. = t le due f.e.m. a cavallo fra le due giunzioni sono eguali ed

2. Se i metalli sono diversi ma t 1 2

opposte, per cui la f.e.m. e risultante è nulla.

3. Infine se i due fili sono dello stesso metallo nessuna f.e.m. nasce a cavallo delle giunzioni per cui

e t .

non si avrà nessuna f.e.m. e risultante, qualsiasi siano i valori di t

1 2

I due fili di materiale diverso costituiscono una coppia termoelettrica che si presta molto bene alla

misura di temperatura dato il legame esistente fra la e e la differenza di temperatura fra i due punti.

5.2.2 Caratteristiche di una termocoppia.

La curva caratteristica di una termocoppia è la curva che viene ricavata mantenendo una delle giunzioni

costante (ad esempio al punto del ghiaccio),portando l’altra a temperature

ad una temperatura t 0

successive t note, e misurando le f.e.m. e corrispondenti.

Il giunto della coppia posto nel ghiaccio fondente viene detto giunto caldo o di misura.

Si definisce potere termoelettrico π della coppia l’espressione

de

π = (5.1)

dt

112 CAPITOLO 5. SENSORI E TRASDUTTORI

che fornisce il valore della tangente locale alla curva caratteristica.

In generale si osserva sperimentalmente che esiste una temperatura t in corrispondenza della quale

i

si ha π = 0; per temperature maggiori di t , π diviene negativo. La t viene detta, secondo le norme

i i

del C.T.I. ,temperatura d’inversione: la coppia dovrà perciò essere impiegata per t < t . Detta t la

0

i

temperatura cui si trova il giunto di riferimento, la caratteristica della termocoppia può evidentemente

esprimersi mediante la legge generale: −

e = (t t )f (t, t ) (5.2)

0 0

dove la funzione f (t, t ) può essere anche molto complessa: molte volte, almeno nel suo tratto iniziale

0

la caratteristica può con buona approssimazione essere assunta lineare per cui l’eq. 5.2 diviene

e = π (t t ) (5.3)

0

m

dove π è il potere termoelettrico medio della coppia.

m

Per misure più precise occorrono leggi più complesse.

5.2.3 Legge delle temperature successive.

Questa legge, dovuta al Becquerel, può cosı̀ esprimersi .

quando i giunti sono posti alle temperature rispettivamente

Se una termocoppia sviluppa una f.e.m. e

1

e t , ed una f.e.m. e quando i giunti sono posti rispettivamente alle temperature t e t , essa

t 1 2 2 2 3

svilupperà una f.e.m. e = e + e qualora i giunti siano posti rispettivamente alle temperature t e t .

3 1 2 1 3

Si può perciò scrivere , t ) = e(t , t ) + e(t , t ) (5.4)

e(t 1 3 1 2 2 3

Questa legge è importante agli effetti dell’impiego della coppia perchè permette il suo uso senza disporre

di un termostato al punto del ghiaccio fondente, ponendo semplicemente il giunto di riferimento a

temperatura ambiente t nota.In tal caso, detta t la temperatura da misurare, la eq. 5.4 diviene

a ) + e(t , t) (5.5)

e(0, t) = e(0, t

a a

per cui in definitiva per ottenere la temperatura effettiva, ammessa la eq. 5.3, si deve sommare

alla indicazione fornita dalla termocoppia.

semplicemente la t a

5.2. TERMOCOPPIE-COMPLEMENTI 113

Figura 5.10:

Figura 5.11:

5.2.4 Legge dei metalli interposti.

L’inserzione nel circuito di una termocoppia di un terzo metallo non altera la f.e.m. e, a patto che le

due nuove giunzioni dovute alla presenza del terzo metallo siano alla medesima temperatura.

Nella Fig. 5.10 in a) è riportato lo schema teorico di una coppia termoelettrica, in b) l’inserzione nella

coppia di un filo di un terzo metallo lungo uno dei due fili originari, lecita, per quanto detto, se i

giunti C e D sono alla medesima temperatura. È questo il caso dell’inserzione di un galvanometro,

ovviamente necessario per poter effettuare la lettura.

Infine in c) il terzo filo è inserito fra i due fili originari in corrispondenza di un giunto; in tal caso

si può ritenere che quest’ultimo sia costituito dalle due giunzioni nelle quali è stato sdoppiato . Ciò

rende possibile tra l’altro di effettuare la saldatura con un materiale di apporto diverso dai precedenti

(stagno,ottone,ecc.), o di inserire in questo punto lo strumento di misura.

114 CAPITOLO 5. SENSORI E TRASDUTTORI

Figura 5.12:

Si abbia ora la coppia di Fig. 5.11a) nella quale, in corrispondenza del giunto a temperatura t , sono

2

stati introdotti due nuovi cavi C e D collegati tra loro, e tale nuova giunzione sia posta alla temperatura

.

t 3

Indicando con e (t , t ) la f.e.m. generata dalla coppia originaria AB e con e D(t , t ) la f.e.m.

1 2 2 3

AB C

generata dalla coppia costituita dai cavi C e D, la f.e.m. e totale presente nel circuito di Fig. 5.11a)

varrà ovviamente (t , t ) + e (t , t ) (5.6)

e = e 1 2 2 3

AB CD

Da tale formula si nota come, affinchè l’inserzione dei due metalli C e D non alteri l’indicazione della

coppia, occorre alternativamente che t sia uguale a t , oppure che i due cavi siano del medesimo

2 3

metallo.

Occorrerà perciò evitare di inserire più cavi di materiale diverso secondo tale schema se non si è sicuri

= t .

che t 2 3

Se invece l’inserzione dei due metalli C e D è fatta secondo lo schema di Fig. 5.11b), allora basta che

la temperatura dei due nuovi giunti sia la medesima, pur essendo t = t ,affinchè, per la legge prima

3 2

esposta, l’indicazione non venga alterata. È perciò possibile inserire cavi di materiale diverso secondo

= t .

tale schema anche per t 2 3

5.2. TERMOCOPPIE-COMPLEMENTI 115

5.2.5 Circuiti e metodi di misura.

La misura della f.e.m. fornita da una coppia termoelettrica viene effettuata o attraverso la misura

della corrente circolante direttamente con un galvanometro o, più generalmente, con l‘ausilio di un

circuito potenziometrico che permette misure per azzeramento (vedi metodi potenziometrici), o con

soluzioni elettroniche.

I metodi di laboratorio per l’impiego di termocoppie implicano, data la elevata precisione generalmente

richiesta, l’uso di un bagno d’acqua e ghiaccio (possibilmente in un termostato normalizzato) per

mantenere la temperatura del giunto di riferimento rigorosamente costante. Gli schemi comunemente

usati sono riportati in Fig. 5.12.

Lo schema in a) può essere adattato qualora la termocoppia non debba esere installata molto lontana

dalla strumentazione di misura e i materiali della termocoppia non siano molto costosi. In caso

contrario si ricorre allo schema in b) che del resto è il più usato, nel quale i cavi in rame (cavi di

collegamento) essendo meno costosi e appositamente costruiti allo scopo, permettono un più facile ed

economico collegamento alla strumentazione.

Per l’impiego industiale delle termocoppie il bagno di acqua e ghiaccio non viene quasi mai adottato

e si ricorre perciò agli schemi di Fig. 5.13, dove con t si indica la temperatura ambiente.

a

In ogni caso occorre effetuare la misura della temperatura a cui trovasi il giunto di riferimento che,

per la legge delle temperature successive, dovrà essere aggiunta a quella indicata dallo strumento per

ottenere la temperatura del giunto di misura.Alcuni circuiti permettono la correzione automatica della

lettura.

Se si desidera aumentare l’intensità del segnale, qualora quest’ultimo sia troppo debole, si può ricorrere

a più termocoppie disposte in serie, coi giunti di riferimento tutti alla medesima temperatura. Più rara

l’applicazione di termocoppie in parallelo per ottenere un valore medio della temperatura misurata in

vari punti.

Per ridurre ulteriormente il costo dello strumento e per poter ancora più facilmente collegare fra loro

gli elementi del circuito, si può ricorrere allo schema di Fig. 5.14 dove sono stati introdotti due cavi

(cavi di prolungamento o di compensazione) tra i fili della coppia e il giunto di riferimento.

I materiali costituenti i due cavi di compensazione vanno scelti in modo da fornire al giunto freddo

una f.e.m. di contatto molto vicina a quella che sarebbe prodotta dai fili della coppia e in modo che le

f.e.m. ai giunti 1 e 2 siano trascurabili;naturalmente occorre che le giunzioni 1 e 2 siano alla medesima

temperatura. Cosı̀ facendo l’errore viene ridotto al minimo: si ottiene per contro il vantaggio, oltre a

quello di un minor costo, di impiegare fili più adatti ad un collegamento elettrico, in quanto i cavi di

prolungamento qualora si facessero funzionare come giunto di riferimento le giunzioni 1 e 2.

Tali giunzioni si trovano però ad una temperatura che, data la vicinanza della sorgente di calore,

può subire variazioni notevoli e incontrollate per cui si preferisce in genere ricorrere allo schema della

Fig. 5.14

Nella Tabella I sono descritti alcuni tipi di termocoppia; si noti che i tipi B e G sono non lineari al

punto che il coefficiente di temperatura medio non può essere specificato.

116 CAPITOLO 5. SENSORI E TRASDUTTORI

Figura 5.13:

Figura 5.14:

5.2. TERMOCOPPIE-COMPLEMENTI 117

Figura 5.15:

Tabella I.-Esempi di termocoppie .

Type Metallo 1 Metallo 2 coeff. di Range di temperatura

temperatura medio di utilizzo

o o

T Rame Costantana 48.2 µV / C -200÷ + 400 C

o o

J Ferro Costantana 51.7 µV / C -200÷ + 700 C

o o

E Cromo Costantana 60.9 µV / C -200÷ + 1000 C

o o

K Cromo Alluminio 40.5 µV / C -200÷ + 1300 C

o o

S Platino Platino - 10% Rodio 6.4 µV / C 0÷ + 1500 C

o o

R Platino Platino - 13% Rodio 6.4 µV / C 0÷ + 1600 C

o

B Platino - 6% Rodio Platino - 30% Rodio 0÷ + 1800 C

o

G Tungsteno Tungsteno - 26% Renio 0÷ + 2800 C

o o

C Tungsteno - 5% Renio tungsteno - 26% Renio 15 µV / C 0÷ + 2800 C

Per l’interfacciamento di una termocoppia posso utilizzare un blocco isotermico con una temperatura

di riferimento θ . Per valutare la tensione termoelettrica, deve essere aggiunta una tensione corri-

R

spondente alla temperatura di riferimento θ . Questa correzione puó essere effettuata come mostrato

R

in Fig. 5.15 dopo lo stadio di amplificazione. Questo é stato ottenuto con un circuito ad amplificatori

operazionali in configurazione non invertente. Il primo amplificatore ha il compito di riportare il coef-

ficiente di temperatura della giunzione ferro-costantana, ad un coefficiente confrontabile con quello

o C.

legato al riferimento che é pari a 10 mV/ o C

10mV / = 193 (5.7)

A = o

51.7µV / C o

Nella relazione é stato inserito un coefficiente di temperatura medio di 51.7µV / C che é quello relati-

vo alla termocoppia nello schema utilizzata (ferro-costantana). Il secondo amplificatore ha guadagno

unitario e provvede ad isolare le tensioni misurate permettendone la lettura. All’ingresso dell’operazio-

o o

nale abbiamo la somma di 10mV/ C(θ θ ) e 10mV/ C(θ ) quindi, come volevamo, una tensione

M R R

o

proporzionale alla temperatura da misurare: 10mV/ C(θ ).

M

La Fig. 5.16 illustra il principio alternativo per mezzo del quale il valore relativo al punto di ghiaccio

è sommato alla f.e.m. della termocoppia prima dello stadio amplificatore.

In Fig. 5.17 è mostrato un interfacciamento tramite amplificatore integrato per termocoppie.

118 CAPITOLO 5. SENSORI E TRASDUTTORI

Figura 5.16:

Figura 5.17:

Si nota che i fili della termocoppia sono connessi direttamente al circuito integrato .

5.2.6 Serie termoelettrica.

Dalle norme del C.T.I. riportiamo la Tabella II nella quale viene fornito per ogni materiale il valore

(inteso come valore medio di quelli che si trovano nella letteratura sull’argomento) della f.e.m. che

viene generata quando il materiale in esame costituisce una coppia termoelettrica col platino e quando

o o

C (punto del ghiaccio) e l’altra a 100 C (punto dell’acqua bollente).

una giunzione è mantenuta a 0

A questa f.e.m. viene assegnato per convenzione il segno + quando è tale per cui al giunto caldo

la corrente passa dal metallo considerato al platino. Il valore della f.e.m. diviso per 100 equivale al

o

potere termoelettrico medio π fra 0 e 100 C della coppia costituita dal materiale e dal platino.

m

Una coppia costituita da due metalli generici della serie avrà una f.e.m. uguale alla differenza algebrica

fra i valori indicati per i rispettivi metalli. Ne risulta anche che uno dei due metalli è positivo rispetto

all’altro. Nell’indicare la coppia si indica di norma per primo il metallo positivo, e ciò sta a significare

che, per quanto detto prima, al giunto caldo la corrente passa dal primo metallo elencato al secondo.

I valori della f.e.m. indicati nella tabella sono però solo orientativi in quanto fortemente influenzati

dalla purezza del metallo.

Nella scelta dei metalli per le termocoppie intervengono varie considerazioni.Fra di esse citiamo: a) la

coppia deve fornire una f.e.m. sufficientemente elevata, che aumenti monotonamente con la tempera-

tura (possibilmente in modo lineare) e che rimanga costante nel tempo: b)sia ottenibile sotto forma di

5.2. TERMOCOPPIE-COMPLEMENTI 119

fili di sufficiente resistenza meccanica a costo relativamente basso: c)sia ottenibile con una sufficiente

purezza, per garantire la stabilità del materiale, sia nel tempo, sia a temperature elevate.

Speciali trattamenti termici sono previsti per rendere più stabile la coppia (ad esempio riscaldamento

al calor rosso per almeno un’ora).

5.2.7 Termocoppie di uso più frequente.

Le termocoppie più frequentemente usate nella pratica corrente sono le seguenti.

1. Coppia Fe/Costantana.-Presenta i vantaggi di un basso costo e di una notevole f.e.m. La

−250

o o

C a 500 C.

temperatura di impiego va da

o o

A 500 C incomincia l’ossidazione del ferro e a 600 C quella della costantana. con i fili di

o o

diametro superiore ai 3 mm si può rimanere a 800 C per circa 300 ore, e a 900 C per circa 120

ore. L’atmosfera ossidante o riducente ha scarsa influenza sulla precisione della misura.

Come fili di compensazione possono usarsi fili di Fe e Costantana scartati dall’impiego come

termocoppie.

2. Coppia NiCr/Ni.-Fornisce una f.e.m. inferiore a quella della coppia Fe/Costantana.La tempera-

o C e, con fili di diametro superiore ai 3 mm, anche fino a

tura di funzionamento raggiunge i 900

÷

o o

1300 C. A partire da 350 400 C occorre prevedere una opportuna protezione chimica contro

eventuali gas corrosivi.

Il ramo di Ni non è di nichel (si altererebbe ad elevata temperatura) ma di lega contenente

almeno il 94% di Ni.

Quali fili di compensazione possono impiegarsi un filo di Fe o di Cu e uno di Costantana.

3. Coppia Cu/Costantana.-Presenta proprietà e caratteristiche di impiego simili a quella di Fe/Costantana.

Come cavi di prolungamento è generale l’impiego di fili di Cu e Costantana scartati dall’impiego

come termocoppie.

4. Coppia NiCr/Costantana.-Fra le coppie di uso corrente sono quelle che forniscono la f.e.m. più

elevata.Il costo e le temperature di funzionamento sono intermedie fra le coppie Fe/Costantana

e NiCr/Ni.

5. Coppia Chromel/Alumel.-La lega Chromel è costituita da Ni(89%),Cr(9.8%),Fe(1%),Mn(0.2%),

mentre la lega Alumel è composta da Ni(94%),Al(2%),Si(1%),Fe(0.5%),Mn(2.5%).Il comporta-

mento è molto simile a quello delle coppie NiCr/Ni ma sono di maggior costo: in compenso

presentano una maggior costanza, linearità e danno misure di maggior precisione. Si possono

o C con maggior tranquillita. Come fili di prolungamento vengono impiegati

raggiungere i 1300

cavi di Cu e Costantana.

6. Coppia PtRh/Pt.-Questa coppia risulta di notevole costo e fornisce una f.e.m. non molto elevata;

in compenso presenta una notevole stabilità e sicurezza di impiego e permette misure fino anche

o

a 1600 C. Deve essere protetta accuratamente da possibili agenti chimici (gas e vapori).

Tabella II.-Serie termoeletrrica.

120 CAPITOLO 5. SENSORI E TRASDUTTORI

Materiale f.e.m.[mV]

÷

Bismuto parallelo all’asse -7.7 -7.2

Bismuto perpendicolare all’asse -5.2

÷

Costantana (55Cobalto -1.99 -1.52

÷

Nichel -1.94 -1.20

Palladio -0.28

Platino 0

÷

Mercurio -0.07 +0.04

Grafite +0.22

÷

Tantalio +0.34 +0.51

÷

Stagno +0.40 +0.44

÷

Piombo +0.41 +0.46

÷

Magnesio +0.40 +0.43

÷

Alluminio +0.37 +0.41

÷

Tungsteno +0.65 +0.90

÷

Platinorodio (da 10Argento +0.67 +0.79

÷

Rame +0.72 +0.77

÷

Zinco +0.60 +0.76

÷

Manganina (Cu, Mn, e Ni) +0.57 +0.82

÷

Iridio +0.65 +0.68

÷

Oro +0.50 +0.80

÷

Cadmio +0.85 +0.92

÷

Molibdeno +1.16 +1.31

÷

Ferro +1.87 +1.89

÷

Nichelcromo (90Antimonio +4.70 +4.86

Germanio +33.9

Silicio +44.8

Tellurio +50

Per temperature molto elevate possono essere impiegate termocoppie speciali quali: iridio-rodio/iridio(fino

o o o

a 2000 C), tungsteno/molibdeno(fino a 2000 C), tungsteno/iridio(fino a 2100 C), tungsteno/grafite(fino

o o

a 1650 C), grafite/carburo di boro(fino a 2500 C).

Le saldature tra i fili al giunto di misura vengono in genere effettuate in uno dei modi esposti in

Fig. 5.18.

5.2.8 Protezione delle termocoppie.

Le protezioni che possono rendersi necessarie per una termocoppia sono essenzialmente tre: elettrica,

chimica, meccanica.

La protezione elettrica è necessaria quando è possibile che i fili della termocoppia vengano a contatto

fra di loro: in tal caso si ricorre ad uno dei sistemi riprodotti in Fig. 5.19.

In a) si impiegano anellini di materiale isolante infilati su fili; in b) gli anelli sono singoli con due fori

nei quali passano i fili della coppia; in c) infine l’isolamento è continuo, eventualmente realizzato in

5.2. TERMOCOPPIE-COMPLEMENTI 121

Figura 5.18:

Figura 5.19:

122 CAPITOLO 5. SENSORI E TRASDUTTORI

materiale flessibile.

Il materiale isolante varia a seconda della temperatura e può andare dalla seta all’amianto.

La protezione chimica va impiegata ogni qualvolta vi è pericolo che i fili della coppia siano intaccati

da agenti chimici presenti nell’ambiente, o anche quando i vapori che vengono emanati da uno dei

fili possono essere assorbiti dall’altro; è quest’ultimo il caso caratteristico della coppia PtRh/Pt nella

o

quale, a temperatura elevata (sopra i 1000 C), il Rh sublima e può inquinare il filo di platino.

Per questo tipo di protezione vengono usati tubi di quarzo, porcellana, magnesio, carborundum, grafite,

ecc. a seconda della temperatura e degli agenti chimici.

La protezione meccanica è costituita da tubi di metalli vari (ferro, acciaio, alluminio, ecc.) nei quali

viene alloggiata la termocoppia.

5.3 Sensori di temperatura a resistenza elettrica

5.3.1 Generalità.

Nei termometri a resistenza si sfrutta il fenomeno della variazione della resistenza elettrica in funzione

della temperatura in alcuni materiali: questi ultimi possono suddividersi, da questo punto di vista,

in due gruppi di caratteristiche e proprietà completamente differenti, e precisamente i metalli e i

semiconduttori,questi ultimi cosı̀ chiamati perchè hanno resistenza elettrica intermedia fra quella dei

materiali conduttori e quella dei materiali isolanti.

I termometri a resistenza elettrica metallici sono normalmente indicati come termometri a resisten-

za,mentre quelli a semiconduttori assumono il nome di termistori.

5.3.2 Materiali e caratteristiche dei termometri a resistenza.

I metalli impiegati nella costruzione dei termometri a resistenza devono rispondere ad alcuni re-

quisiti quali : coefficiente di temperatura elevato,stabilità nel tempo,resistenza elettrica complessiva

abbastanza elevata,caratteristica resistenza-temperatura il più possibile vicina alla linearità.

In pratica,tenuto conto di queste esigenze,i metalli che vengono impiegati sono quasi esclusivamente

il platino,il nichel,il rame. o

Le caratteristiche R/R (dove R è la resistenza alla temperatura t e R quella a 0 C) in funzione

0 0

della temperatura per tali metalli sono riportate in Fig. 5.20.

o o o

la resistenza a 100 C,si definisce coefficiente medio di temperatura fra 0 C e 100 C il

Detta R 100

valore

5.3. SENSORI DI TEMPERATURA A RESISTENZA ELETTRICA 123

R R

100 0

α = (5.8)

100R

0

Esso vale: −3 o

per il platino α = 3.8510 Ω/Ω C

m −3 o

= 6.1810 Ω/Ω C

per il nichel α

m −3 o

per il rame α = 4.2110 Ω/Ω C

m e t: si può scrivere

Per misure di tipo industriale si può ritenere lineare la relazione fra R/R

0

(1 + α t) (5.9)

R = R

0 m

Per misure di maggiore precisione occorre assumere leggi più complesse, come avviene per il termo-

metro a resistenza destinato a realizzare la scala internazionale delle temperature.

Le temperature di normale impiego sono le seguenti: o C

platino.............da -200 a 600

o

nichel..............da -100 a 200 C

o C

rame................da -100 a 150

Il platino,malgrado il coefficiente di temperatura inferiore a quello del nichel e del rame,e malgrado il

suo prezzo elevato, è il metallo più impiegato per i notevoli vantaggi che esso presenta: è inattaccabile

dagli Figura 5.20:

agenti chimici,ha un punto di fusione molto elevato per cui può in casi eccezionali essere impiegato

o

fino a 1000 C,ha una caratteristica abbastanza lineare,può essere ottenuto con un grado di purezza

molto elevato e risulta molto stabile nel tempo. Ricordiamo che appunto in platino è il termometro

primario richiesto dalla scala internazionale.

124 CAPITOLO 5. SENSORI E TRASDUTTORI

5.3.3 Conformazione dei termometri a resistenza.

Il metallo viene generalmente impiegato sotto forma di filo. Questo viene avvolto su un supporto

di materiale elettricamente isolante (in genere ceramico) che può essere cilindrico, a sezione circolare

o a croce, o piatto, oppure può essere montato su un supporto simile a quello degli estensimetri a

resistenza elettrica.

È in genere necessaria anche una protezione esterna, pure isolante.

Si hanno anche termometri costituiti da lamine sottili rettangolari in platino, destinati a misure di

temperature di superfici.

Le dimensioni di ingombro di questi termometri possono variare notevolmente potendo essere realizzati

i più piccoli sotto forma di cilindretti del diametro di 3 mm e della lunghezza di 30 mm,i più grandi

sottoforma di grosse sonde pirometriche per forni (Fig. 5.21):in quest’ultimo caso è però da notare

che l’elemento sensibile vero e proprio è di dimensioni molto minori occupando solo la parte terminale

della sonda. Figura 5.21:

5.3.4 Termistori.

I termistori sono costituiti da materiali semiconduttori (quali il germanio, il silicio, ecc. in presenza

di piccole quantità di impurita) la cui resistenza varia con la temperatura coc una legge che può, con

buona approssimazione, assumersi esponenziale del tipo

b

= ae (5.10)

R T

T

è la resistenza alla temperatura assoluta T,a un coefficiente dipendente dalla forma e dalle

dove R T

dimensioni del termistore,b un coefficiente dipendente dal materiale. La resistenza, al contrario dei

metalli, diminuisce perciò con l’aumentare della temperatura.

5.3. SENSORI DI TEMPERATURA A RESISTENZA ELETTRICA 125

La costante a presente nella eq. 5.10 può essere eliminata introducendo il valore della resistenza R a

0

una temperatura T di riferimento, per cui si hà

0 1 1

= R e (5.11)

R T T 0

0

T

La costante di temperatura α del semiconduttore vale

dR b

1 −

= (5.12)

α(T ) = 2

R dT T

o anche 2

T 0

) (5.13)

α(T ) = α(T

0 2

T

Un termistore può perciò venir definito mediante il valore della resistenza e della costante α ad un

o C).

data temperatura (in genere 25 o C e diminuisce con la temperatura,

La costante α varia a seconda del materiale fra 0,05 e 0,012 Ω/Ω

per cui i termistori risultano più sensibili alle basse temperature che non alle alte, come del resto è

ovvio data la struttura della eq. 5.13; inoltre essi risultano più sensibili dei termometri a resistenza

metallica. o o

I termistori di tipo classico possono essere impiegati fra -100 C e +400 C; alcuni tipi speciali possono

o

però arrivare anche fino a 1200 C.

5.3.5 Protezione dei termometri a resistenza.

I termometri a resistenza devono essere adeguatamente protetti, specie alle alte temperature, dagli

agenti chimici che possono danneggiarli e alterarne le caratteristiche. A tale scopo si impiegano guaine

di vetro, di ceramica o anche metalliche, a patto che il metallo non venga a contatto col filo. Meglio

ancora, per le sonde pirometriche la doppia protezione vetro, o ceramica, e guaina metallica.

5.3.6 Circuiti di misura e precisioni raggiungibili.

Le variazioni di resistenza del termometro vengono misurate con un circuito potenziometrico o a ponte.

Notiamo solo che per misure di grande precisione si rende necessario tener conto del riscaldamento

per effetto Joule prodotto dalla corrente che passa nella resistenza. Nel caso di misure effettuate con

±0, o o

strumenti di tipo industriale si hanno precisioni dell’ordine : per il platino di 5 C a 100 C,

±3 ±1 ±1,

o o o o o o o o

C a 150 C, e di C a 500 C; per il nichel di C a 100 C, e di 4 C a 150 C. Per

di±0, 8

misure di tipo industriale può impiegarsi anche un ohmetro a bobine incrociate.

126 CAPITOLO 5. SENSORI E TRASDUTTORI

5.3.7 Schema di utilizzo di un sensore resistivo

Figura 5.22: Schema di utilizzo di un sensore resistivo

Eventuali resistenze nel circuito di misura della corrente non hanno effetto, cosı̀ come la resistenza

nel circuito di lettura della tensione, poichè tale lettura è fatta a circuito aperto. Si introduce una

resistenza di linearizzazione :

Figura 5.23: Introduzione della resistenza di linearizzazione

R R

u = I

rif lin θ

Figura 5.24: Grafico

= ∆R

Imponiamo ∆R

1 2

R = R(θ = θ ), R = R(θ = θ ), R = R(θ = θ )

1 1 2 2 M M

R R R R

R R R R

1 2

M M

lin lin lin lin

− −

∆R = = ∆R =

1 2

R + R R + R R + R R + R

1 2

M M

lin lin lin lin

5.4. CIRCUITI DI COMPENSAZIONE E MISURA PER SENSORI A TERMISTOREI * 127

Avrò una relazione di secondo grado (ma una soluzione è R = 0)

lin

R (R + R ) 2R R

1 2 1 2

M

r = =⇒ stabilisco il valore della resistenza di compensazione

lin −

R + R 2R

1 2 M

La variazione di resistenza sarà dunque distribuita linearmente.R (θ ) sarà valor medio di R e

1

M

R . (v.fotocopia 11; 26.4,6,7)

2

In figura 26.5a,b sono indicati due possibili schemi di linearizzazione. Inseriremo nel circuito un

amplificatore per non caricare la tensione ai capi della resistenza e per riportare la scala dell’uscita tra

0 e 2 volt : usiamo lo schema in figura 26.8. Vogliamo determinare le resistenza R1,R2,R3 in modo

tale che la tensione di misura sia 0V a 0C e 2V a 100C.

= i + i

i

1 2 3 − −

V U

U U U

mis

ref θ

θ θ

i = = +

1 R R R

1 2 3

1 1

1 R

3

U = U R + + V

3

mis θ ref

R R R R

1 2 3 2

(Le tensioni alle quali ci riferiamo sono opposte a quelle indicate in fotocopia)

R R

3 3

= U 1+ V

U mis theta ref

R R R

1 2 2

Guadagno relativo a U

θ −

U 2V

U

mis−alto mis−basso (fig. 26.9) = 5.26 (∗)

A = =

− −

U U 0.935 0.555

θ−alto θ−basso o

= 0 per T = 0 C; quindi :

L’altra condizione da imporre è U

mis

R R

3 3

1+ U V = 0 (∗∗)

θ−basso ref

R R R

1 2 2

, R , R : scegliamo R = R .

(*) e (**) sono due vincoli per le tre resistenze R

1 2 3 2 lin

5.4 Circuiti di compensazione e misura per sensori a termistorei *

Dalla fig.26.12(fotoc.11) notiamo come la variazione della resistenza sia esponenziale, con buona

approssimazione (dunque lineare nella scala semilogaritmica):

Figura 5.25: Grafico della variazione della resistenza

128 CAPITOLO 5. SENSORI E TRASDUTTORI

1 1

B T T 0

R(θ) = R(T )e

0

Il valore della resistenza lineare è qui positivo. Ricorriamo allo schema circuitale (f.11, 26.13), dove si

è provveduto ad invertire la posizione della R in con R cosicchè la funzione di uscita risulti crescente

l

con la temperatura. (diminuisce R , quindi aumenta la caduta di tensione su R in,..... - situazione

l

opposta a prima) fig.26.8 : PTC —- 26.13 : NTC.

5.5 Circuiti di compensazione e misura per sensori resistivi al pla-

tino *

Consideriamo inizialmente la variazione di resistenza del rame e del platino, il primo mostra una

concavità verso l’alto, il secondo verso il basso =⇒ la resistenza di linearizzazione del platino dovrebbe

essere minore di zero: Figura 5.26:

Tutto ciò serve per realizzare la resistenza lineare negativa : a questo schema seguirà quello di misura

visto in precedenza. Al nodo 1 abbiamo che : − V

V

V 0 =

R R

2 3

Al nodo 2 : − −

V V V U

ref θ

=

R + R R

1 2 3

5.6. TRANSISTORI COME SENSORI DI TEMPERATURA * 129

Al nodo 3 : −

− V U

U

V 0 θ θ

+ = I

lin

R R

1 3

Abbiamo poi che 2 2

V R R

2 3

ref U

= +

I

lin θ

R R R (R + R )

1 1 3 2 3

se R = R l’impedenza è nulla (rispetto a U ), mentre per R > R abbiamo la resistenza negativa.

2 3 2 3

θ

∆U R R (R + R )

1 3 2 3

θ

− − ←

= = = +R determinata secondo il criterio di compensazione

r dif f lin

2 2

∆I R R

2 3

lin

∆U

θ

− − −

V R I = U ; ∆V R ∆I = ∆U ; R =

ref lin lin θ ref lin lin θ lin ∆I

lin

Realizziamo la sorgente di tensione compensata:

5.6 Transistori come sensori di temperatura *

(f. 11,26.14) 2mV

La variazione di U (opposta a quella in figura) con la temperatura è di . Questa relazione

BE o K

è molto variabile da un transistore all’altro, quindi si renderà necessario uno schema più elaborato:

=(area emettitore)(corrente

f.11,26.16 (consideriamo tensioni opposte a quelle indicate nel grafico). I

c

di saturazione)exp(U /V ).

t

be UBE kT

= AJ e V =

I VT

c cs T q

I

c2

− −

= U U = V ln V ln (I J A )

∆U 1

c1 cs

BE BE2 BE1 T T

J A

2

cs

I A A

1 1

c2

∆U = V ln = V ln

BE T T

I A A

2 2

c1

o T

kT k300

A A A

1 1 1

ln

∆U = V ln = = ln

BE T o

A q A q 300 A

2 2 2

A

1

A = 10 A =⇒ ln = 2.3

1 2 A

2

µV

= 200

∆U

BE o K

Ai capi di R ho una caduta 2R I = 10I R = 10∆U

2 2 1

c c BE

mV

U =2 T

temp o K

o o

Quando T = 273 K = 0 C =⇒ U = 546mV

temp

130 CAPITOLO 5. SENSORI E TRASDUTTORI

Questo circuito può essere utilizzato per la misura di temperatura, in particolare come sorgente di una

o

tensione proporzionale alla temperatura. Vorremmo in particolare che U sia nulla a zero C.

temp

U U

dU BE BE BG

=

dT T T

(U = U Band Gap - banda proibita)

BG

mV

= U 2 T

U BE BG o K

mV

= U + U = U + U 2 T

U temp temp

BE BG

ref o K

2mV

(dimensionamenti tali che U = )

temp o K = U

=⇒ U BG

ref

Abbiamo a disposizione sul circuito un valore della tensione pari ad U , questo ci da una tensione

BG

di riferimento : possiamo usare la sorgente costante U e la tensione variabile U per ottenere il

temp

BG

circuito che realizza una proporzionalità con i gradi centigradi :

Figura 5.27: Circuito che realizza una proporzionalità con i gradi centigradi

− −

U U

U U

U temp temp temp mis

BG = +

R R R

1 2 3

1 1 R

1 3

U = R + + U U

3

mis temp BG

R R R R

1 2 3 1

∝ mV o

Voglio U 10 T e U = 0 per T = 273 K.

mis mis

o C

1 1

1

R + + =5

3 R R R

1 2 3

U = 5U 2.22U

mis temp BG

5.7. SENSORI DI PRESSIONE 131

5.7 Sensori di pressione

1 5

N ewton N 10

1 Pascal=[Pa]= = , Bar Pa

=

2 2

1 metro m

Tipicamente nei sensori di pressione si impiegano tre passaggi di grandezza fisica :

Pressione→Deformazione→Variazione di Resistenza→Variazione di tensione

(nella fotocopia 12, fig. 26.34 a e b si notano rispettivamente un sensore di pressione differenziale

e uno di pressione assoluta; in fig. 26.35 a e b è indicato un tipo di sensore composto da un filo a

serpentina saldato ad un substrato ed integrato sulla superficie di un diaframma il quale è in grado

di deformarsi, e di trasmettere al filo un effetto di allungamento o accorciamento che ne varia la

resistenza; in fig. 26.36 è mostrato un circuito a ponte per la misura della pressione con il dispositivo

di fig.26.35).

5.8 Misure di deformazione

5.8.1 Generalitá.

In questo capitolo vengono raggruppati e descritti gli strumenti impiegati per la misura delle defor-

mazioni di elementi costruttivi sottoposti a carichi sia statici sia dinamici. In pratica, come vedremo,

∆l

la misura che si effettua é quella della dilatazione e = : ad ogni modo con dispositivi appositi puó

L l

ricavarsi lo stato completo di deformazione o almeno il suo valore medio in una zona limitata della

superficie del pezzo. Gli strumenti che misurano la dilatazione vengono detti estensimetri: essi sono

sensibili, in genere, agli spostamenti relativi fra due punti della superficie lungo la direzione della loro

congiungente. La distanza fra i due punti é fissata dall’estensimetro stesso, del quale é una carat-

teristica costruttiva, e viene detta base delĺ estensimetro: dalla misura dello spostamento fra i punti

delimitanti la base, si risale facilmente alla dilatazione media esistente nel tratto limitato dalla base

stessa, e questo viene fatto tarando direttamente lo strumento. Ne deriva che é opportuno, qualora

si abbiano a temere concentrazioni di sforzi in determinate zone, impiegare estensimetri con una base

piccola, in modo da avvicinarsi il piú possibile al valore locale reale della deformazione; per contro,

minore é la base, maggiore é ovviamente l’amplificazione necessaria per ottenere la medesima sensibi-

litá dello strumento, col rischio di aumentare eccessivamente gli errori, per cui in definitiva occorrerá

di volta in volta scegliere il valore della base in modo da ottenere un compromesso accettabile fra le

due esigenze. Gli estensimetri possono classificarsi, secondo il loro principio di funzionamento, come

segue:

1. estensimetri a resistenza elettrica

2. altri estensimetri

• estensimetri meccanici

• estensimetri acustici

• estensimetri pneumatici

• estensimetri ottici

132 CAPITOLO 5. SENSORI E TRASDUTTORI

Gli estensimetri vanno mantenuti a contatto con la superficie dell’elemento, del quale si vogliono mi-

surare le deformazioni, mediante viti, nastri o molle (ad eccezione di quelli a variazione di resistenza

elettrica che vanno incollati con speciali collanti). Una buona precisione nella misura é quindi condi-

zionata dal fatto che l’estensimetro segua fedelmente le deformazioni della superficie. Ove si possano

escludere fenomeni che facciano temere concentrazioni locali di sollecitazioni (ad esempio di fatica),

si puó aiutare l’aderenza fra estensimetro e superficie, prevedendo delle piccole nicchie in corrispon-

denza dei coltelli (quando vi sono) coi quali l’estensimetro tocca il pezzo. Da tener presente che, con

l’avvento degli estensimetri elettrici, gli altri tipi di estensimetri hanno perso molto della loro utilitá:

molti di essi sono caduti completamente in disuso, mentre altri, pur essendo meno usati, mantengono

ancora una certa importanza per alcune peculiari proprietá. Un estensimetro di questo tipo é quello

di figura 5.28 , il cui funzionamento é ovvio. Con i dati in figura l’amplificazione dello strumento, per

∆L a

allungamenti limitati, vale (detta ∆L la lettura corrispondente allo spostamento ∆l) = .

∆l b

Figura 5.28:

5.8.2 Estensimetri a resistenza elettrica.

Gli estensimetri elettrici a resistenza consistono in un filo (figura 5.29 e figura 5.30) di lega speciale,

di resistenza elettrica nota e di diametro molto piccolo (da 0.01 a 0.03mm), disposto a serpentina su

un supporto di carta o resina sintetica al quale aderisce. Il supporto viene a sua volta incollato al

pezzo nella zona nella quale si desidera conoscere la deformazione.

Figura 5.29:

Se, una volta incollato l’estensimetro, si mette il pezzo sotto carico, l’estensimetro seguirá le de-

formazioni del pezzo presentando le medesime dilatazioni di questo. Il filo viene perció allungato o

accorciato, e a seguito di ció varia la sua resistenza elettrica a causa di due fenomeni: l’allungamento (o

accorciamento) accompagnati da una diminuzione (o aumento) di sezione, e la variazione di resistivitá

che si ha in un materiale al variare della sollecitazione. Per molti tipi di estensimetri a costante elevata

5.8. MISURE DI DEFORMAZIONE 133

Figura 5.30: STRAIN GAUGE

tale fenomeno é preponderante. Data la conformazione dell’estensimetro, esso é molto sensibile alle

dilatazioni lungo la direzione x, e poco alle dilatazioni in direzione y perpendicolare a questa. Perció

esso andrá evidentemente montato in modo che la direzione privilegiata di sensibilitá coincida con

quella della dilatazione da misurare. Inoltre, poiché il fatto che l’estensimetro sia sensibile anche alla

dilatazione in direzione y a causa delle anse presenti nella serpentina é evidentemente di disturbo nella

misura (perché diminuisce in definitiva la sensibilitá nella direzione x), si preferisce in genere costruire

l’estensimetro secondo lo schema di figura 5.29c e d: nel caso d, la resistenza non é piú costituita

da un filo continuo, ma da piú fili paralleli collegati in serie con altri piccoli tratti di filo di sezione

maggiore e di materiale di elevata conduttivitá elettrica (cioé di resistenza molto bassa) in modo che le

variazioni di resistenza (anche percentuali) di questi tratti risultino trascurabili. La lunghezza l (figura

5.29) é la base dell’estensimetro: essa non va confusa con l’ingombro longitudinale dell’estensimetro,

che é sempre maggiore della base a causa delle maggiori dimensioni del supporto e dell’esistenza dei

terminali della resistenza. Le lunghezze piú comuni della base sono 5 mm, 10 mm, 20 mm: esistono

peró estensimetri con base anche maggiore o minore.

I valori piú comuni della resistenza vanno da 120Ω a 1000Ω: essi sono forniti dal costruttore con una

±

certa tolleranza (ad es. resistenza 350 3 Ω). Il valore della resistenza é riportato sulle bustine che

contengono ognuna un certo numero di estensimetri (5 o 10): la tolleranza sul valore della resistenza

significa che tutti gli estensimetri contenuti nella busta hanno un valore della resistenza contenuto

entro i limiti da essa stabiliti.

Variazioni di resistenza indotte da deformazione.

Esponiamo alcuni richiami di teoria dell’elasticità :

Nel regime elastico l’allungamento è proporzionale alla forza per unità di superficie ed alla lunghezza.

F

1 l

∆l = E S

1 =coefficiente di allungamento, E=modulo di Young (di allungamento).

E Forza N

[E] = = 2

Superficie m

F

(per = E, in regime elastico, ∆l = l =⇒ raddoppio l)

S

134 CAPITOLO 5. SENSORI E TRASDUTTORI

Figura 5.31: Il filo cambia dimensione longitudinale e trasversale in seguito all’applicazione di forze.

Per ogni dimensione lineare trasversale vale :

F

1

− w

∆w = B S

1 =coefficiente di contrazione, B=modulo di contrazione trasversale.

B

Si definisce un rapporto tra la variazione trasversale e longitudinale :

∆w

− 1 E

w B = fattore - modulo di Poisson

= =

v = 1

∆l B

E

l

Nota

Consideriamo il volume del filo (ad esempio a sezione circolare - w=diametro). Il volume è uguale a

2

w ) . Consideriamo le variazioni di volume conseguenti alla deformazione:

lπ( 2 2 w

w ∆w

+ lπ

∆V = ∆lπ 2 2

∆l ∆w ∆l

∆V −

= +2 = (1 2v)

V l w l

12 allora ∆V = 0. E’, questa, un’indicazione sul significato del fattore di Poisson. Se

Se v è pari ad

v < 0.5 il volume del filo teso è aumentato rispetto a quello iniziale.

• Acciaio : v=0.3

• Gomma : v =0.48-0.50

.

5.8. MISURE DI DEFORMAZIONE 135

Costante dell’estensimetro.

Si definisce costante dell’estensimetro a resistenza elettrica il rapporto

∆R/R

∆R/R =

K = ∆l/l e

L

dove e deformazione longitudinale; fornisce il rapporto tra la variazione relativa di resistenza e la

L

deformazione longitudinale (variazione relativa di lunghezza). La resistenza elettrica dell’estensimetro

vale l

= ρ

R

f ilo A

dove l é la lunghezza attiva del filo, A la sezione, ρ la resistivitá elettrica. Differenziando si ha

ρl

ρ l

∂R ∂R ∂R −

∆R = ∆l ∆ρ

∆l + ∆A + ∆ρ = ∆A +

2

∂l ∂A ∂ρ A A A

∆R ∆l ∆A ∆ρ

= +

R l A ρ

Ponendo A = wt = larghezza·spessore, si ha ∆w ∆t ∆l

∆A − −2v

= =

A w t l

ovvero ∆l ∆ρ

∆R = (1 + 2v) +

R l ρ

 

osservando che  

 

∆ρ/ρ

∆R  

= (1 + 2v) + e

L

 

R e

L

K

Si potrá quindi scrivere  

 

 

 

∆ρ/ρ

 

 

1 + 2 v + 2

K =

 

e

L

0.3 0.4

∆ρ/ρ , che é la variazione di resistività in funzione della deformazione, quantifica la pie-

Il termine e

L

zoresistività del materiale: piccola nei metalli ( 0) e prevalente nei semiconduttori (±100, vedi

pagine seguenti). Come si vede, se fosse presente solo il fenomeno di variazione di resistenza a causa

della variazione di forma, la costante dell’estensimetro si aggirerebbe attorno a 1.50÷1.70. Invece la

costante K é diversa da tale valore: in genere é superiore, se vi é un effetto, che puó essere anche

notevole, di variazione di resistivitá in funzione della sollecitazione. La costante K viene determinata

mediante taratura ed il suo valore é fornito dal costruttore con una tolleranza che normalmente é del

±1%.

136 CAPITOLO 5. SENSORI E TRASDUTTORI

Influenza della temperatura.

La temperatura influenza il funzionamento dell’estensimetro sotto piú aspetti, e principalmente:

• Vi é un limite di temperatura che non puó essere sorpassato, pena il danneggiamento dell’esten-

simetro.

• La resistenza del filo varia al variare della temperatura.

• L’estensimetro, sottoposto ad una variazione di temperatura, si dilata: se queste dilatazioni sono

impedite, del tutto o in parte, nasce nell’estensimetro uno stato di sollecitazione che si aggiunge

a quello dovuto ai carichi.

• La costante dell’estensimetro varia con la temperatura: ció é spiegabile con il fatto che il modo

di variare della resistivitá, al variare della deformazione, dipende dal valore della temperatura.

Per quanto riguarda la temperatura limite, é da osservare che essa dipende non solo dalla lega con

la quale é costituito il filo, ma anche dalla natura del supporto e dall’adesivo impiegato. Si é visto

che il supporto puó essere in carta, e in tal caso la temperatura limite non puó essere molto elevata

o C), o in bachelite o altre resine, e in tal caso, con collanti appropriati, ad esempio a base

(50÷60

di resine polimerizzanti con additivi o a caldo (resine termoindurenti), si raggiungono temperature

o C e anche piú). Inoltre il limite di temperatura puó essere piú elevato nel

limiti piú elevate (150

caso di misure dinamiche che nel caso di misure statiche, poiché sotto sollecitazioni costanti sono

piú facilmente presenti fenomeni di scorrimento fra filo, supporto e adesivo, e, se la temperatura é

abbastanza elevata, anche fenomeni di rilassamento delle sollecitazioni nel filo: vi é quindi da temere

una riduzione della sollecitazione del filo stesso, con conseguenti errori nella misura. Si noti infine che

il riscaldamento puó essere prodotto sia dalla temperatura elevata del pezzo, sia dalla corrente che

passa nell’estensimetro. Per quanto riguarda il variare della resistenza al variare della temperatura,

si definisce COEFFICIENTE DI TEMPERATURA dell’estensimetro il rapporto fra la variazione

o C. Se si hanno a

di resistenza, riferita alla unitá di resistenza, e la variazione di temperatura di 1

temere variazioni di temperatura, occorre quindi che tale coefficiente risulti il piú possibile basso. Per

quanto riguarda le eventuali dilatazioni impedite, vi é da tener presente che tali impedimenti possono

sorgere sia perché solo l’estensimetro subisce la differenza di temperatura (perché in esso vengono

fatte passare correnti elettriche eccessive), sia perché il pezzo in esame non puó dilatarsi, sia infine

perché tanto il pezzo quanto l’estensimetro sono sottoposti alla variazione di temperatura, ma i loro

coefficienti di dilatazione sono diversi. In tal caso l’estensimetro sará sottoposto ad una sollecitazione di

compressione o di trazione a seconda che il suo coefficiente di dilatazione sia rispettivamente maggiore

o minore di quello del pezzo. Infine per quanto riguarda la variazione della costante dell’estensimetro

o

con la temperatura, essa in genere si mantiene praticamente costante fino a 60÷70 C per poi calare

bruscamente per valori superiori della temperatura. I mezzi per ovviare a questi inconvenienti prodotti

dalla temperatura sono sostanzialmente i seguenti:

1. Impiegare nel circuito a ponte di misura un secondo estensimetro (estensimetro compensatore)

montato su un pezzo non sollecitato, dello stesso materiale del pezzo in esame, e inserito nel

ponte in modo che un vertice del ponte stesso sia comune ai due estensimetri: in tal caso se

l’estensimetro ha lo stesso coefficiente di temperatura, ed é portato alla stessa temperatura di

quello di misura, il ponte non risente delle variazioni di resistenza dovuta alla variazione di

temperatura, come pure delle dilatazioni impedite.

5.8. MISURE DI DEFORMAZIONE 137

2. Impiegare estensimetri autocompensati. Essi possono essere costituiti con materiale che presenta

un coefficiente di temperatura e un coefficiente di dilatazione (in rapporto con quello del pezzo

in esame) tali che non si risenta praticamente delle variazioni di temperatura, almeno nel campo

di temperatura di utilizzo. Altri tipi di estensimetri autocompensati hanno invece un tratto

di filo di materiale apposito in serie col filo principale (figura 5.32a), avente un coefficiente di

temperatura diverso da quello del filo principale.

3. Impiegare estensimetri autocompensati universali, corrispondenti allo schema di figura 5.32b. Il

filo posto in serie a quello dell’estensimetro vero e proprio ha, anche in questo caso, un andamento

del coefficiente di dilatazione in funzione della temperatura diverso da quello dell’estensimetro.

Tale filo viene messo in parallelo ad una resistenza, eventualmente regolabile, in modo che il

comportamento globale dell’estensimetro al variare della temperatura possa adattarsi a quel-

lo del materiale sul quale é destinato a lavorare. Poiché tale regolazione é fatta in funzione

della temperatura, in alcuni casi é incorporata nell’estensimetro una coppia termoelettrica che

permette appunto il rilievo diretto della temperatura alla quale si trova l’ estensimetro.

Figura 5.32:

Nella tabella I sono riportate le caratteristiche di alcuni materiali impiegati nella costruzione degli

estensimetri a resistenza elettrica. I dati riportati in tabella sono solo indicativi in quanto influenzati

da vari fattori (ad esempio il procedimento di fabbricazione).

138 CAPITOLO 5. SENSORI E TRASDUTTORI

Figura 5.33:

Tabella I.-Caratteristiche di alcuni materiali per estensimetri

Lega Composizione Coeff. di Resistivitá

o in Costante temperatura 2

mm

mΩ

metallo % Ω

Nicromo Ni 80,Cr 20 +2 +0,3 390

Manganina Ni 4,Mn 12,Cu 84 +0,5 +0,01 160

±0,002

Advance Ni 45,Cu 55 +2,1 195

±0,002

Copel Ni 45,Cu 55 +2,4 195

±0,02

Costantana Ni 60,Cu 40 +2,1 195

±0,470

Isoelastic Ni 36,Cr 8,Fe 52,Mo 0,5 +3,5 415

Karma Ni 73,Cr 20,Al,Fe,ed altri +2,4 +0,020 6200

Nichel -12 +6,000 44

Nella tabella II sono riportati alcuni esempi di estensimetri e loro caratteristiche principali. Infine da

notare che, per quanto detto nei paragrafi precedenti, é opportuno conoscere il valore della corrente

massima sopportabile dall’estensimetro, normalmente di qualche decina di mA: tale dato é fornito dal

costruttore e dipende evidentemente dalla temperatura d’impiego.

Estensimetri stampati.

Una particolare tecnica di realizzazione di estensimetri a resistenza elettrica consiste nello stampare,

con procedimento di fotoincisione, un foglio sottile di metallo su un supporto di carta o di bachelite,

dandogli la forma desiderata(figura 5.33). In alcuni casi il supporto é solo provvisorio e viene tolto

al momento dell’applicazione dell’estensimetro: si ottiene con ció fra l’altro la possibilitá di impie-

o

go dell’estensimetro a temperatura molto elevata (anche fino a 1100 C). Gli estensimetri stampati

presentano i seguenti vantaggi, in confronto a quelli a filo:

1. A causa della superficie maggiore, a paritá di sezione, dissipano meglio il calore e sopportano

perció correnti piú elevate.

2. Il supporto puó essere molto piú sottile e quindi l’estensimetro risulta piú flessibile in modo che

la sua applicazione su superfici curve viene facilitata.

5.8. MISURE DI DEFORMAZIONE 139

3. I raccordi trasversali possono essere fatti senza difficoltá a sezione elevata.

4. I terminali sono costituiti da una espansione della parte sensibile e presentano perció una

maggiore resistenza meccanica.

5. É facile ottenere estensimetri di forma qualsiasi e dimensioni anche molto piccole (lunghezza

della base 1mm).

6. Per la possibilitá di essere incollati al pezzo senza supporto, si possono raggiungere temperature

molto elevate. Tabella II.-Esempi di estensimetri a resistenza elettrica.

140 CAPITOLO 5. SENSORI E TRASDUTTORI

Ditta Tipo Supporto Base Resistenza Costante

costruttrice mm Ω K

Baldwin A-1 carta 20.638 120±0.2 2

(U.S.A.) A-5 carta 12.700 120±0.2 2

A-7 carta 6.350 120±0.3 2

A-19 carta 1.588 60±0.5 1.7

C-10 carta 7.938 1000±5 3.2

C-14 carta 1.588 2000±0.5 2.7

AB-1 bachelite 22.225 350±3 2

AB-5 bachelite 12.700 75±0.3 -

AB-11 bachelite 3.175 120±0.5 1.9

CB-1 bachelite 25.400 1000±5 3.5

Philips PR-9210 carta 25 600±0.5% 2÷2.11

(Olanda) PR-9211 carta 12 120±0.5% 2÷2.11

PR-9212B bachelite 8 600±0.5% 2÷2.11

PR-9214B bachelite 4 120±0.5% 2÷2.11

Tepic, PB1-120 carta 10 120 2.35÷2.55

Huggenbergen PB2-120 carta 20 120 2.35÷2.55

(Svizzera) BL1-120 resina trasp. 10 120 2.35÷2.55

BL2-500 resina trasp. 20 500 2.35÷2.55

BL6-350 resina trasp. 60 350 2.35÷2.55

Tinsley 6C carta 17 200 2.25

(Gran Bretagna) 6H carta 8 50 2

8A carta 46 2000 2.35

16 C carta 24 1500 2.10

2C bachelite 17 250 1.95÷2.1

1A araldite 6.35 110 2.2÷2.3

A.O.I.P. 12 B 5 carta 5 120 2

(Francia) 8 B 11 carta 11 120 2.05

18 B 25 carta 25 600 2.1

12 B 5P resina 5 120 2

Boano ZF1 carta 21 120±0.2 2

(Italia) SF1 bachelite 8 120±0.2 1.9

SC6 bachelite 20 600±0.1 2

Alcune considerazioni nell’impiego degli estensimetri.

L’estensimetro a resistenza elettrica, al momento della misura, fa parte di un circuito elettrico ali-

mentato con corrente continua o oscillante (1000÷10000 Hz). Ció premesso, e tenuto presente quanto

giá detto nei paragrafi precedenti, riportiamo qui le principali precauzioni che vanno prese nell’uso di

questi estensimetri.

1. L’incollaggio dell’estensimetro sulla superficie del pezzo deve essere perfetto e non lasciare

possibilitá di scorrimenti relativi.

2. Le saldature dei terminali dell’estensimetro devono essere condotte con somma cura, in modo

da ridurre al minimo la resistenza parassita.

5.8. MISURE DI DEFORMAZIONE 141

3. L’estensimetro incollato deve presentare verso il pezzo (in genere a massa) una resistenza elevata

(di qualche decina di MΩ) per assicurare l’isolamento elettrico ed evitare dispersioni di corrente

che altererebbero la misura.

4. Grande cura deve essere posta nel riparo l’estensimetro, specie quelli con supporto di carta,

dall’umiditá, che lo danneggerebbe e ne diminuirebbe l’isolamento.

5. I cavi di collegamento devono essere di sezione non troppo piccola e di lunghezza la minima

possibile, per ridurre le resistenze e le capacitá parassite.

Le rosette di estensimetri. *

Le rosette sono insiemi di piú estensimetri a resistenza elettrica montati sul medesimo supporto, e

servono alla determinazione dello stato di deformazione e di sollecitazione in un punto della superficie

di un elemento costruttivo. Esse possono essere di vario tipo; con riferimento alla figura 5.34, si

o

hanno in a) e b) rosette composte di tre estensimetri a 45 fra di loro (rosette rettangolari); in c) una

o o

(rosetta a delta); in d) tre estensimetri a 120 piú uno a

rosetta composta di tre estensimetri a 120

o

90 rispetto a uno dei precedenti (rosetta a delta T); in e) e f) rosette composte da due estensimetri a

o

90 fra loro (rosette rettangolari a due estensimetri).

Figura 5.34:

Estensimetri a resistenza di semiconduttori.

Gli estensimetri a resistenza elettrica vengono realizzati anche con materiali semiconduttori (silicio,

germanio, ecc.). Essi presentano il vantaggio di avere delle costanti K di valore molto elevato.

142 CAPITOLO 5. SENSORI E TRASDUTTORI

Tabella III.-Esempi di estensimetri in materiale semiconduttore.

Ditta Tipo Base Resistenza Costante Coeff. di Variazione

costruttrice mm Ω K temper. di K con temp.

o o

Ω/Ω C %/100 C

Budd(U.S.A.) DB-102 6.4 120 +105 - -21

DB-106 6.4 5000 +115 - -55

DB-107 2.5 250 +140 - -34

DB-108 6.4 10000 +195 - -41

DB-111 6.4 60 + 45 - 0

DBN-102 6.4 120 -100 - -60

DBN-104 6.4 500 -130 - -50

DBN-105 6.4 1000 -140 - -65

MP-103-4 6.4 350 +230 - -39

MP-102-6 6.4 120 +220 - -41

Kyowa KS-1 7 120 -110 3.5 48

(Giappone) KS-2 7 120 - 80 3.5 45

KS-3 7 120 +130 2.0 33

KS-6 3.5 120 -120 3.5 48

KS-9 7 120 +200 0.2 40

Tali estensimetri sono costituiti da un filamento molto sottile, ottenuto tagliando un monocristallo di

materiale semiconduttore: il diametro del filamento é dell’ordine di 0,02-0,1mm. Alle due estremitá

sono saldati due fili di nichel che servono da terminali. L’insieme é incorporato in un sottile foglio di

plastica che serve da supporto: l’incollaggio e i collegamenti elettrici sono effettuati come nel caso degli

estensimetri a resistenza di conduttori metallici. Il maggiore valore del diametro e la maggiore rigidezza

del materiale rendono tali estensimetri meno adatti al loro impiego su superfici a forte curvatura. La

o C a seconda dei tipi. Nella Tabella III

temperatura massima raggiungibile é dell’ordine di 100-170

sono riportati alcuni esempi di tali estensimetri.

La costante dell’estensimetro é:  

 

 

 

 ∆ρ/ρ

 

 

= 1 + 2 v +

K

semiconduttori  

e

L

come nei metalli

±100−200,+tipop,−tipon

∆ρ

La nei semiconduttori dipende dalla struttura a bande, legata a sua volta alle dimensioni del reticolo

ρ

cristallino. Si modifica la mobilità ed il numero di portatori, deformando il cristallo. Questi effetti

vengono utilizzati su fili sottili lunghi, disposti a serpentina su un supporto legato ad un materiale

campione sotto sforzo.

5.8. MISURE DI DEFORMAZIONE 143

5.8.3 Altri tipi di estensimetri. *

Estensimetri ottici.

Gli estensimetri di questa categoria possono suddividersi in estensimetri basati sul principio della leva

ottica, ed estensimetri a confronto indiretto per via ottica.

Estensimetri a leva ottica. In figura 5.35 é riportato lo schema dell’estensimetro tipo Martens; esso é

costituito da uno specchietto A solidale col coltello mobile B, in modo che, ruotando quest’ultimo, ruota

anche lo specchietto. Mediante il cannocchiale C si legge, con l’aiuto di un vetrino a reticolo, la scala

b :si hanno normalmente

D riflessa dallo specchietto. Il rapporto di amplificazione risulta eguale a 2 a

amplificazioni dell’ordine di 500. La lunghezza della base é variabile da pochi centimetri a qualche

decina di cm. L’impiego di tale strumento risulta piuttosto delicato in quanto sono presenti varie

cause possibili di errore. Figura 5.35:

Poiché l’estensimetro é fissato sul pezzo (ad esempio un provino posto sulla macchina a trazione)

mentre la scala e il cannocchiale sono montati su un supporto separato, occorre che non si verifichino

spostamenti relativi fra provino e gruppo scala-cannocchiale. Inoltre la scala deve essere messa in un

piano parallelo a quello dello specchio, a provino scarico.

Estensimetri ottici a confronto diretto. Sono strumenti meccanici, in genere basati sul principio del-

l’amplificazione a leva, nei quali lo spostamento dell’estremo della leva viene letto per via ottica

(ottenendo cosı́ un’ulteriore amplificazione). Altri sistemi misurano, con una cellula fotoelettrica, l’e-

nergia luminosa che passa in una fessura che si allarga all’aumentare dello spostamento del coltello

mobile. Da ultimo ricordiamo anche gli estensimetri nei quali si misura l’inclinazione della leva con

metodo interferometrico utilizzando un vetro ottico a facce piane posto sopra l’estremo della leva stessa

e rilevando la distanza fra le frange di interferenza: l’inclinazione della leva vale, detta λ la lunghezza

d’onda scelta e d la distanza misurata λ

i = tgα = 4d

144 CAPITOLO 5. SENSORI E TRASDUTTORI

Estensimetri a variazione di induttanza.

Il piú semplice estensimetro di questo tipo é costituito da una bobina il cui nucleo magnetico (cilindrico

o conico) puó muoversi lungo l’asse della bobina stessa: l’avvolgimento é solidale con un coltello, mentre

il nucleo é solidale con l’altro(figura 5.36a). La presenza di una dilatazione provoca un moto relativo

fra avvolgimento e nucleo, e conseguentemente quest’ultimo penetrerá piú o meno nella bobina, in

modo da variarne l’induttanza. L’avvolgimento della bobina costituisce un lato di un circuito a ponte

alimentato in corrente oscillante. Figura 5.36:

Dispositivi piú complessi sono costititi da avvolgimenti posti sullo stesso asse in modo che l’unico

nucleo magnetico, uscendo da uno di essi ed entrando nell’altro, provochi una variazione eguale e di

segno opposto nell’induttanza dei due avvolgimenti che costituiscono in tal caso due lati contigui del

ponte. Infine da ricordare l’estensimetro di figura 5.36b.

Esso é costituito da un avvolgimento primario A alimentato a corrente oscillante (4000÷10000Hz), e da

due avvolgimenti secondari B , B coassiali col primario, e ad esso accoppiati con un nucleo magnetico

1 2

C costituito da un cilindretto di lunghezza opportuna e mobile lungo il proprio asse. Spostando il

cilindretto variano le mutue induttanze fra il primario e i due secondari, nel senso che una aumenta

mentre l’altra diminuisce. I due avvolgimenti secondari costituiscono i due lati contigui di un circuito

a ponte, e sono collegati in modo che le f.e.m. in essi generate abbiano segno opposto; queste f.e.m.,

e quindi la tensione ai capi delle diagonali di misura, dipendono perció dalla posizione del nucleo

magnetico. Il cilindretto che costituisce tale nucleo, é reso solidale con uno dei coltelli, mentre gli

avvolgimenti sono solidali con l’altro coltello; in tal modo, una volta montato l’estensimetro sul pezzo,

la posizione del nucleo dipenderá dall’allungamento del pezzo, e ai vertici di misura comparirá un

segnale proporzionale alla dilatazione del pezzo stesso.

5.8.4 Taratura degli estensimetri.

Gli estensimetri meccanici, ottici, acustici, e a variazione di induttanza, vengono tarati misurando

la lunghezza della base con uno strumento di misura di sensibilitá appropriata a tale lunghezza (cioé

tanto maggiore quanto minore é la base), e provocando una variazione nota di tale lunghezza, misurata

con apparecchi micrometrici o a controllo ottico, che possono assicurare una precisione di misura di

5.9. PIEZOELETTRICITÀ 145

±0.2µm. Per gli estensimetri a variazione di resistenza elettrica la taratura consiste nel ricavare

statisticamente la costante di una data serie o partita di estensimetri di resistenza nota: ció avviene

incollando uno o piú estensimetri della serie su un provino e provocando su questo una dilatazione

e nota. La dilatazione puó essere data ad esempio mediante un dispositivo nel quale il provino

L

é una barra a sezione rettangolare di acciaio appoggiata su due coltelli: alle estremitá della barra,

poste ad eguale distanza dai coltelli, vengono applicati due pesi eguali, in modo che nel campo fra

i coltelli il momento flettente della barra sia costante. Uno dei coltelli é montato su un supporto

incernierato per rendere isostatica la trave. Gli estensimetri vengono applicati dal lato teso della

.

barra, in corrispondenza del quale puó facilmente calcolarsi per via indiretta la dilatazione e

L

5.8.5 Osservazioni.

Nei paragrafi precedenti sono stati descritti i principali tipi di estensimetri. É utile ricordare che

esistono altri metodi per valutare le deformazioni e le sollecitazioni. Ad esempio puó essere il metodo

della fotoelasticitá, mediante prove effettuate su modelli in resine sintetiche o mediante uno strato di

resine di tale tipo che diventano birifrangenti quando vengono sollecitate, applicato direttamente alla

superficie del pezzo: come pure osservazioni estensimetriche possono essere condotte anche mediante

reticoli riportati sulla superficie del pezzo, osservandone la deformazione una volta applicato il carico,

o mediante l’impiego di vernici criccanti. Per tutti questi metodi rimandiamo a testi specializzati.

5.9 Piezoelettricità ·

e =(coefficiente di allungamento)·(sforzo)= s z. Polarizzazione elettrica :

L E (χ suscettività dielettrica, E campo elettrico)

P = χε

0

Induzione elettrica : ε E (ε costante dielettrica relativa)

D = ε 0

r r E

D = P + ε 0

=deformazione del reticolo cristallino.

e

L

P=polarizzazione delle cariche positive-negative nel reticolo cristallino.

Quando un corpo viene deformato si spostano gli atomi, quando viene polarizzato, le cariche. Sono

vere le seguenti relazioni : E + dz effetto piezoelettrico DIRETTO

P = χε

0

dz=eventuale contributo a P per deformazione del reticolo cristallino sotto l’azione dello sforzo z.

Se questo contributo è presente, il campo elettrico che sposta le cariche può corrispondentemente

indurre uno spostamento. e = sz + dE effetto piezoelettrico INVERSO

de=eventuale contributo alla deformazione del reticolo cristallino per l’azione del campo E; d è lo

stesso di prima : se c’è il contributo prima menzionato allora c’è anche questo e viceversa.

146 CAPITOLO 5. SENSORI E TRASDUTTORI

L’effetto piezoelettrico è presente soltanto nei materiali cristallini con basso grado di simmetria ; ovvero

se il reticolo presenta una disposizione simmetrica delle cariche , la deformazione non induce alcun

effetto : Figura 5.37:

Qualora la situazione non sia simmetrica (o sia a basso grado di simmetria), con caratteristiche di tipo

ionico, la struttura deformata non è più bilanciata elettricamente.

Figura 5.38:

Il silicio non è piezoelettrico, lo sono il quarzo, la tormalina, il sale di Rochelle,...

N

[Z] = 2

m

Coulomb

[P ] = 2

m Coulomb V olt J m

Coulomb = = =

[d] = ·

N ewton N ewton V olt N V V

[e] = adimensionale

V

[E] = m

m

[d] = V

5.10 Dispositivi piezoelettrici

Ricaviamo il circuito equivalente di un dispositivo piezoelettrico.

La carica superficiale che si localizza sulla superficie del cristallo è di valore uguale alla componente

5.10. DISPOSITIVI PIEZOELETTRICI 147

Figura 5.39: Materiali piezoelettrici

Figura 5.40: Dispositivo piezoelettrico

normale del vettore D. D = densità di carica superficiale. Nel nostro caso D = D.

s s

A = A(ε ε R + dz) = εEA + dzA

Q = (densità di carica)(area) = D 0

s r

Assumo che il campo elettrico sia uniforme : A

A + dzA = ε v + dzA

Q = εEl l l

Al è una capacità =⇒ Q = CV + dzA.

ε

zA =forza totale applicata al dispositivo = F.

Q = CV + dF

Questa relazione vale ancora se le grandezze sono variabili nel tempo.

Q(t) = Cv(t) + df (t)

df (t)

dv(t) + d

i(t) = C dt dt

Interpretiamo circuitalmente questa relazione :

Se non è applicata forza i (t) = 0.

N df (t)

(t) = d

i

N dt

Aspetti dinamici dell’effetto piezoelettrico : l’effetto piezoelettrico è associato a moti del cristallo , a

vibrazioni del reticolo cristallino , quindi abbiamo fenomeni di inerzia e di attrito viscoso.

F (esterne,elastiche,attrito) = ma

148 CAPITOLO 5. SENSORI E TRASDUTTORI

Figura 5.41: Schema elettrico

2 x dx

d + λ + kx = F

m esterna

2

dt dt

elastica

inerzia attrito viscoso

(z è lo scostamento dalla posizione di equilibrio)

2 F

λ

d x dx

m est

+ x =

+

2

k dt k dt k

1 2ξ

2 ωn

ω

n

ω = pulsazione caratteristica, ξ =coefficiente di smorzamento. Applicando la trasformata di Laplace

n

: 1 1

k F

F (s) = G(s) (s)

x(s) = est est

2ξ 2

s k

1 + s + 2

ω ω

n n

La deformazione del cristallo segue dunque le leggi di oscillazione meccanica con smorzamento. Valori

= 2f n , f = 27kHz , ξ = 0.01.

tipici del materiale piezoelettrico sono : ω

n n

Questo porta ad avere una risposta oscillatoria stabilizzata :

5.10. DISPOSITIVI PIEZOELETTRICI 149

Figura 5.42: Risposta oscillatoria stabilizzata

Tenendo conto della presenza della capacità nel nostro circuito, determiniamo il valore di i e Q.

Figura 5.43:

Valori tipici : C = 1600pF, C = 600pF, R = 1M Ω.

c

N L

1 R L

−I − I

V (s) = (s) = (s)

L N N

1 1 + sR (C + C )

+ s(C + C ) c

L N

c

N

R L −1

Con i valori dati : 2πR (C + C ) = (72Hz) =⇒ abbiamo un limite in frequenza.

c

L N

Relazione corrente-forza :

1 dx

− )

(s) = K sG(s)F (s) = dsG(s)F (s) (I = K

I

N N

k dt

d

sR d sτ

L

(s) = d (s) =

G(s)F (s) =⇒ V G(s)F (s)

V L L

1 + sR (C + C ) (C + C ) 1 + sτ

c c

L N N

Possiamo estendere il funzionamento alle basse frequenze con il seguente schema:

Figura 5.44:

150 CAPITOLO 5. SENSORI E TRASDUTTORI

Figura 5.45:

sC = i = i = dsF (s)

V L F F N

d

= F (s) = sQ proporzionale alla forza, ovvero alla carica localizzata

=⇒ V L C

F (es 100M) per avere un percorso verso massa, introduciamo

Se poniamo una resistenza in parallelo a C

f

una costante di tempo di qualche secondo estendiamo alle basse frequenze l’impiego del trasduttore.

. Il campo

Complessivamente il trasduttore piezoelettrico correla la forza applicata F alla tensione V

L

1 , τ f = R C ) ad alcuni kHz (ωn).

di frequenze si estende da alcuni Hz ( f f

τ f

Fotocopia 13 : fig.8.12 a)..d) sistemi di misura di accelerazione lineare , pressione, accelerazione

angolare, torsione, con le relative funzioni di trasferimento nel dominio di Laplace. fig.8.13 a)...d)

Esempi di applicazione degli strain gauges per la misura di deformazione di una mensola (cantilever),

la deformazione longitudinale e trasversale di un pilastro, per la misura di coppia e di accelerazione.

5.11 Accelerometri

Facciamo riferimento alla fig.8.12 a) ; osserviamo il moto relativo di una massa connessa elasticamente

ad un contenitore: sono rappresentate simbolicamente le forze che si scambiano tra la massa m ed il

contenitore stesso. Consideriamo il moto rispetto ad un osservatore inerziale esterno :

Figura 5.46:

(t) = x(t) + D(t)

Xx

5.12. ELEMENTI CAPACITIVI SENSIBILI ALLO SPOSTAMENTO 151

2 2 2

d d

x (t) x(t) D(t)

d = +

2 2 2

dt dt dt

a(t)

Equazione del moto della massa m nel riferimento inerziale :

2

d x (t)

m = F

2

dt

2

d x (t) −

m = F ma

2

dt

2

d x (t)

m = F + F (∗)

pseudo

2

dt −ma

=

(*) equazione del moto nel sistema non inerziale dove compare la pseudo forza F

pseudo

Il moto della massa relativo al contenitore è descritto da : dx

− −

F=forza elastica+forza d’attrito= kx λ dt

2 dx

x (t)

d −ma(t)

+ kx = F

+ λ =

m pseudo

2

dt dt

Il moto relativo massa-contenitore è un moto inerziale smorzato elastico sotto una forza proporzionale

all’accelerazione. a(t) = 0 =⇒ x = cost 1

1 2ξ

λ x(s)

m 2

ω

n

= = =

, =⇒ 2ξ

2 1 2

k ω k ω a(s) 1 + s + s

n

n 2

ω ω

n n

Aumentando la massa aumenta la sensibilità ma diminuisce la frequenza di funzionamento. fot.14

fig.3.17 Mensola utilizzabile all’interno di uno strumento di misura di deformazione o di un accele-

rometro; fig.3.25 Accelerometro di tipo integrato : la massa di silicio (grigia) si deflette e varia la

propria resistività.

5.12 Elementi capacitivi sensibili allo spostamento

(fot.15 fig.8.5) A

C = ε d

Possiamo agire su A,d,ε per variare la capacità, ottenendo :

• agendo su A −

A xw

C = ε (x=spostamento, w=spessore)

d

• agendo su d A

C = ε d + x

152 CAPITOLO 5. SENSORI E TRASDUTTORI

• agendo su ε w

A A

1 2 − − −

wx + ε w(l x) = ε

ε ε [ε l (ε ε )x]

C = ε 0 1 0 2 0 2 2 1

d d d

Uno schema interessante è quello relativo alla variazione di d (f.15 fig.8.5) :

Figura 5.47: Schema relativo alla variazione di d

εA εA

C , C

= =

1 2

d x d + x

Se la misura di capacità è effettuata impiegando un ponte di Wheatstone...

Figura 5.48: Misura della capacità usando un ponte di Wheastone

... la tensione sullo strumento indicatore è

R

C

2 3

V = V

i s C + C R + R

1 2 3 4

Se R = R e C , C sono quelle date :

1 2 1 2

1 V

1 x

d−x − =⇒ relazione lineare

= V = V

V i s s

1 1 2 2d x

+

d+x d−x

Sensibilità : ∆x ∆V

∆V i i

=⇒ ∆x = 2d

=

V 2d V

s s

Misurando direttamente la capacità, la sensibilità è

εA ∆x ∆C ∆x

εA ∆C

− −d −

∆C = =⇒ ∆x = =

∆x =

2

(d + x) d d C C d

5.13. DISPOSITIVI DI TIPO INDUTTIVO PER LA MISURA DELLO SPOSTAMENTO 153

f.15 fig.8.5(**) Strumento per la conversione : Pressione→Deformazione→Variazione di capacità

fig.8.5(***) Misura del livello di liquido (non conduttore, con costante dielettrica ε):

2πε 2πε 2πε

εh (l h)

0 0 0 −

! ! !

C = + + [l + (ε 1)h]

a a ab

ln ln ln

b b

Si può usare uno schema a ponte per tramutare in tensione la misura di capacità:

Figura 5.49: Schema a ponte per tramutare in tensione la misura di capacità

R

C 3

h −

= V

V i s C + C R + R

1 3 4

h

Si sceglie che nella condizione di livello minimo : C =⇒ V = 0 (ponte in equilibrio)

i

h−min

=⇒ C R = C R Z R = Z R

1 3 4 1 4 3

h−min h

1

1 −

=⇒ V = V

i s C R

R 4

4 1+

1+ min R

C R 3

3

h

R 4

Se inoltre poniamo 1 possiamo scrivere la relazione come :

R 3

R C

3 h −

= V 1

V i s R C

4 h−min

Che dipende linearmente da h e da una relazione V -h lineare. Tutto ciò avviene a discapito della

i

R 3 1.

sensibilità poichè R 4

f.15 8.5(#) Condensatore per la misura di umidità.

5.13 Dispositivi di tipo induttivo per la misura dello spostamento

Facciamo riferimento al concetto di circuito magnetico. Pensiamo ad un anello di materiale

magnetico, sul quale è avvolta una spira percorsa da corrente :

154 CAPITOLO 5. SENSORI E TRASDUTTORI

Figura 5.50: Anello di materiale magnetico avvolto da una spira percorsa da corrente

Se la permettività magnetica dell’anello è molto maggiore di quella dell’aria, il flusso disperso è circa

nullo : le linee di flusso sono concentrate all’interno.

Flusso di induzione magnetica Φ = SB = (B S) = SµH (µ=permeabilità magnetica).

Non abbiamo messo coordinate spaziali perchè il campo è uniforme lungo tutto l’anello. La circuita-

zione di H (prodotto H - spostamento) all’interno dell’anello è pari al numero di spire (n) concatenate

per la corrente :

" H ds = ni =⇒ lH = ni l=lunghezza del percorso di integrazione

1

Dµ ni = ni

Φ= 1

l Sµ

1

dove R = =RILUTTANZA del circuito magnetico. ni = forza magneto motrice.

Sµ Circuito magnetico Circuito elettrico

Φ corrente

R resistenza

ni tensione

Dato un sistema magnetico - anche disomogeneo - individuato il flusso Φ si può scrivere una relazione

nella forma : # · = Φ(R

n i + R + . . .)

1 2

forze magneto motrici

Esempio (f.15 8-6 b)

Abbiamo tre regioni : nucleo (core) traferro(air gap) armatura (armature)

Permeabilità µc µo µa

Riluttanza R R R

c o a

Forza magneto-motrice ni 0 0

Flusso Φ Φ Φ

Lungh./Sez. l , S l , S l , S

c c o o a a


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flaviael

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria informatica
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher flaviael di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Tecnologie Sistemi Automazione e Controllo e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Napoli Federico II - Unina o del prof Pironti Alfredo.

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