Segnali Sistemi - formulario definitivo

Fourier (t continuo)

Definizione

X(jω) = ∫ X(t)e^-jωt dt

Trasformate notevoli

• e^σt → 1/(σ + jω)
• 1 → 2πδ(ω)
• δ(t) → 1
• δ(t - 3) → e^-j3ω
• e^jω₀t → 2πδ(ω - ω₀)
• rect (t/T₂) → T₂ sinc(ωT₂)
• cos (ω₀t) → π [δ(ω - ω₀) + δ(ω + ω₀)]
• sin (ω₀t) → jπ [δ(ω - ω₀) - δ(ω + ω₀)]
• ∧ (t) → sinc (ω/2)
• Σ a_k e^jω₀kt → 2π Σ a_k δ(ω - kω₀)
• sign(t) → (2/jω)
• sign(t) → (2/jω)
• sin(nt) / nt → rect (ω / 2π)
• sinc (t) → rect (ω/2π)
• rect (ω/2π) → sinc (t)

Antitrasformazione

X(t) = 1/(2π) ∫ X(jω)e^jωt dω

Proprietà

• Y(jω) = H(jω)X(jω) (convoluzione → prodotto)
• X(αt) → 1/|α| X (jω/α)
• X(t) |^τ₁τ₂ → (1/2π) { ∫ X(jω)e^jωt }^τ₁τ₂
• X(t) → X(j(ω - ω₀)) (Traslazione in Frequenza)
• X(t + t₀) → e^jωt₀ X(jω)
• ∫ |X(nω)|² dt = ∫ |X(jω)|² df