Segnali Sistemi - formulario definitivo

FOURIER (t continuo)

Definizione: X(jω) = ∫X(t)e^-jωt dt

Trasformate notevoli:

• e^-at → 1 / (a + jω)
• e^-t → 1 / (1 + jω)
• 1 → 2πδ(ω)
• δ(t) → 1
• δ(t-3) → e^j3ω
• e → 2πδ(ω-ω₀)
• rect_{(π / T2)} → 2 sin(ωT₂) / ω
• cos(ω₀t) → π(δ(ω-ω₀) + δ(ω+ω₀))
• sin(ω₀t) → jπ(δ(ω-ω₀) - δ(ω+ω₀))
• 1_(t) → πδ(ω) + 1 / jω
• ∑A_ne^jω₀t → 2π∑A_kδ(ω-ω₀)
• sign(t) → 2 / jω
• sign(t) → j / ω
• sin(nt) / nt → rect_(ω/2π)
• sinc(t) / t → rect_(ω/2π)
• rect(t/2T₂) → 2 sin(ωT₂) / (ω)

Antitrasformazione:

X(t) = ∫X(jω)e^jωt dω

Proprietà

• Y(jω) = H(jω)X(jω) convoluzione → prodotto
• X(t_a) → 1/|a| X(j(ω/a))
• X(t₁) → X(jω₁)
• X(-t) → X(-jω)^↔
• X(t) _e^jω₀t → X(j(ω-ω₀))
• X(t₀) → e^jωt₀X(jω)
• |X(nt)|_{2 / π}∫ |X(jω)| dω di Parseval

Fourier (t continuo)

Definizione: X(jω) = ∫ X(t)e^-jωt dt

Trasformate notevoli

• e^-at → 1/(a+jω)
• e → 2πδ(ω)
• 1 → 2πδ(ω)
• δ(t) → 1
• δ(t-3) → e^j3ω
• e^-jω0t → 2πδ(ω-ω₀)
• rect(τ/t₂) → 2 sin(w_ct)/ω
• cos(ω₀t) → π[δ(ω-ω₀) + δ(ω+ω₀)]
• sin(ω₀t) → (π/j)[δ(ω-ω₀) - δ(ω+ω₀)]
• 1/(t)
• Σ A_n e^jkω₀t → 2π Σ A_n δ(ω-ω₀n)
• sign(t)
• sign(t)
• sin(nπt)/(nπ) → rect(ω/2π)
• sinc(t)
• rect(t/T₂) → 2 sin(ωT₂)/ω

Antitrasformazione

X(t) = ∫ X(jω)e^jωt dω

Proprietà

• Y(jω) = H(jω)X(jω) convoluzione → prodotto
• X(t₁) → 1/jα X(5/ω)
• X(t)_e^jΩt → X(jω+Ω)
• X(t) → X[δ(ω-ω₀)] - δ(ω-ω₀)
• X(t+ω) → e^jωt X(jω) Traslazione in Frequenza
• |X(n)| L² → (1/2π) ∫ |X(jω)|² djω Parseval

FOURIER (E discreto)

Definizione

X(e^jθ) = Σ_{n = -∞}^∞ X(n)e^-jθn

Antitrasformazione

X(n) = 1/2π ∫_-π^π X(e^jθ) e^jθn dθ

Trasformate notevoli

• aⁿ → 1 / 1 - ae^-jθ
• a^|n| → a e^-jθ / 1 - 2a cos(θ) + a²
• rect(ⁿ⁄_2N+1) → sin(θ/2 (N+1/2)) / sin(θ/2)
• δ(n) → 1
• Σ An e^jθn (\sum_{n}) → Σ An 2πδ(θ - 2π/n K) serie di Fourier

X(n-n_o) ↔ e^-jθn_o X(e^jθ) Traslazione Temporale

X(n)e^jθn_o ↔ X(e^j(θ-θ_o))

vale Teorema di convoluzione

• y = x₁ * x₂ ↔ 1/2π X₁(e^jθ) X₂(e^j(θ-σ))
• n X(n) ↔ j^d/dθ X(e^jθ)

CAMPIONAMENTO

Condizione: W_s > 2W_m

_{Frequenza di campionamento Frequenza max}

_{contenuta nel}

_segnale

X_R(t) = h_eq(t) * X_c(t) + X_p(t)

_{Filtro heq spesso è un treno di impulsi segnale campionato}

W_c = W_s / 2

_{Frequenza di Taglio}

LAPLACE

Definizione: X(s) = ∫₀^∞ x(t) e^-st dt

Se la ROC contiene l'asse immag.

_{allora Z = F}

Trasformate notevoli:

• δ(t) = 1
• u(t) = 1/s
• t = 1/s²
• e^at → 1/(s+a)
• e^-at → a/(s² - a²)
• cos(ω₀t) u(t) → s/(s² - ω₀)
• sin(ω₀t) u(t) → ω₀/(s² + ω₀)
• rect(t) → 1/s [e^-sc] c a [ ]
• t^k/n! e^-at u(t) → 1/(s+a)ⁿ⁺¹

Proprietà

• X(t-t₀) → e^-st₀ X(s)
• X(αt) → 1/|α| X(s/α)
• d/ds X(s) → ∫ t ⋅ X(t) dt
• grado num = grado den - 1
• Y(s) = (Y₀/s [ ])