Formulario Segnali e sistemi

FORMULARIO

SEGNALI CONTINUI :

• A(s) = _T→∞lim (1/T) ∫_-T^T s(t) dt
• m_s = _T→∞lim A(s)/T
• E_s = _T→∞lim ∫_-T^T [s(t)]² dt
• P_s = _T→∞lim E_s/2T

SEGNALI PERIODICI :

• A = (1/T_p) ∫_to^t_o+T_p s(t) dt
• m_s = A_s/T_p
• E_s = ∫_to^t_o+T_p [s(t)]² dt = A²T_p
• P_s = E_s/T_p = A²
• N.B.: |s(t)|² = A²

Sia w_o = 2πf_o ; T_p = 1/f_o, posso scrivere Ae^jw_ot = A_cos(w_ot) + jA_sin(w_ot)

Area e valor medio saranno NULLI.

TRASFORMAZIONI

1. ROTATONE: y(t) = s(-t)
2. SCALA: y(t) = s(t/a) ->
   • a > 1 lunghezza segnale aumenta
   • a < 1 lunghezza segnale diminuisce
3. Traslazione: y(t) = x(t-t_o)

SEGNALI NOTEVOLI

• sinc(x) = sin(πx)/πx
• sgn(x)

SIMMETRIE

• Segnali PARI : s(t) = s(-t) : simm. Assiale
• Segnali DISPARI : s(-t) = -s(t) : simm. centrale

PARTE PARI/DISPARI:

ogni segnale può essere espresso come somma di parte pari e parte dispari

s(t) = se(t) + so(t)

1. se(t) = ¹/₂ [s(t) + s(-t)] = cos(2πf_ot)
2. so(t) = ¹/₂ [s(t) - s(-t)] = jsin(2πf_ot)

Inoltre s(t) = cos(2πf_ot + φ_o) = cos(2πf_ot)cos(φ_o) - sin(2πf_ot)sin(φ_o)

PARTE REALE/IMMAGINARIA:

segnali reali/imm:

• s(t) = s*(-t)
• s(t) = -s*(-t)

⟶

• S_re(t) = ¹/₂ [s(t) + s*(-t)]
• S_im(t) = ¹/₂ [s(t) - s*(-t)]

Simmetria Hermitiana

segnali hermit/antiherm:

• s(t) = s*(-t)
• s(t) = -s*(-t)

⟶

• S_h(t) = ¹/₂ [s(t) + s*(-t)]
• S_a(t) = ¹/₂ [s(t) - s*(-t)]

PSEUDOPERIODICA

s(t) = Σ_h=-∞^∞ u(t-nT_p), un segnale è periodico se s(t+T_p) = s(t)

SEGNALI A TEMPO DISCRETO

A_s = Σ_h=-∞^∞ s(n)

m_s = lim_N->∞ ¹/_1+2N Σ_n=-N^N s(n)

E_s = Σ_h=-∞^∞ |s(n)|

P_s = lim_N->∞ ¹/_1+2N Σ_n=-N^N |s(n)|²

SEGNALI A TEMPO DISCRETO E PERIODICI

A_s(N) = Σ_n=0^N+1 s(n)

m_s = ^A_s(N)/_N

E_s(N) = Σ_n=0^N+1 |s(n)|²

P_s = ^E_s(N)/_N

TRASFORMAZIONI SEGNALI DISCRETI:

come gli altri, con 'n' al posto di 't'.

Non c'è la trasformazione scalare.

- Ripetizione periodica...

• s_c(n) = v_cp (u(n)) = u(n-kK)
• Σ_k=-∞ u(n-nK)

SERIE GEOMETRICA

Σ_k=0 ^ak/_a-k NON PERIODICI

Σ_h=0 ^{an+1 - an+1}/_a-a PERIODICI

Elemento neutro convoluzione continua:

x ∗ δ(t) = x(t)

x ∗ δ(t_o) = x(t−t_o)

(prop. rivelatrice del δ)

discreta: x ∗ δ(n) = ∑_k=−∞^∞ x(k)δ(l−n) = x(n)

Regola dell'Area: A_x ∗ y = A_xA_y

Convoluzione con segnali periodici:

x ∗ y(t) = ∫_to^t₀+T_p x(u)y(t−u) du

Elemento neutro convoluzione periodica:

x ∗ comb(t) = x(t)

Convoluzione discreta periodica:

x ∗ y(n) = ∑_k=0^N−1 x(k)y(n−k)

Proprietà dei filtri:

• Linearità
• Tempo invarianza
• Realtà → Reale se la risposta impulsiva h(t) è REALE
• causalità → causale se risp. impulsiva è causale
• BIBO Stabilità se la risposta impulsiva h(t) è assolutamente integrabile (nel continuo)
• BIBO Stabilità se la risposta impulsiva h(n) è assolutamente sommabile (nel discreto)

Serie FILTRI: h(t) = h₁ ∗ h₂(t)

Parallelo +: h(t) = h₂(t) + h₂(t)

Autofunzione dei filtri (continuo):

x(t) = e^jωt

x(t) → [h(t)] → y(t) = λx(t)

Allora:

y(t) = e^jωt ∫_−∞^+∞ h(u)e^−jωu du