Formule segnali e sistemi

Evoluzione libera e risposta impulsiva

Evoluzione libera: 39

Risposta impulsiva: 48 (in funzione di t)

Serie di Fourier

Serie di Fourier trigonometrica

Serie di Fourier trigonometrica: 13

Coefficienti serie di Fourier trigonometrica:

Serie di Fourier esponenziale

Serie di Fourier esponenziale: 13 dove f₀ = 1/T₀

Coefficienti serie di Fourier esponenziale

Trasformate di Fourier

Trasformate Fourier

• Esponenziale complesso causale
• Esponenziale complesso anti-causa
• Finestra rettangolare
• Costante
• Fasore

Evoluzione libera e risposta impulsiva

Evoluzione libera: 39

Risposta impulsiva: 48 (in funzione di t)

Serie di Fourier esponenziale

Serie di Fourier esponenziale: 13 dove f₀ = 1/T₀

Coefficienti serie di Fourier esponenziale

Segnale sinusoidale

Il calcolo della trasformata di Fourier per il segnale sinusoidale v(t) = A cos(2πf₀t + φ), t ∈ R, può essere effettuato sfruttando la formula di Eulero, la linearità dell'integrale e il risultato precedente. In tal modo si ottiene:

V(f) = [A cos(2πf₀t + φ)] = [A ^{ej(2πf₀t+φ) + e-j(2πf₀t+φ)} / ₂ ] = A/2 [e^{j(2πf₀t+φ)}] + A/2 [e^{-j(2πf₀t+φ)}] = A/2 e^jφδ(f - f₀) + A/2 e^-jφδ(f + f₀).

Traslazione nel dominio del tempo

La trasformata di Fourier di v(t - t₀), con t₀ arbitrario in R, è legata alla trasformata V(f) di v(t) dalla relazione:

v(t - t₀) ↔ e^-j2πft₀V(f).

Traslazione nel dominio delle trasformate (o proprietà di modulazione)

La formula duale della precedente è la seguente:

v(t)e^j2πf₀t ↔ V(f - f₀)v(t)cos(2πf₀t + φ) ↔ 1/2 e^jφV(f - f₀) + 1/2 e^-jφV(f + f₀).

Trasformata della serie di Fourier

V̅(f) = Σ v_k δ (f - k/T).

Equazioni alle differenze

Evoluzione libera: 197

v_k(k) = Σ Σ c_ik λ_k^k/k!