Segnali e Sistemi (Schemi)

SCHEMA: GRANDEZZE SEGNALE E PROPRIETÀ

Bidonometro = 4

Settimo superiore, somma -1

CASO CONTINUO

• ENERGIA SU INTERVALLO: _Ex[t_o, t₁] = ∫_t0^t₁ |x(t)|² dt
• POTENZA SU INTERVALLO: _Px[t_o, t₁] = ¹/_{t1 - t0} ∫_t0^t₁ |x(t)|² dt
• ENERGIA X INFINITO: _{Eoo x}= ∫_-oo^+oo |x(t)|² dt
• POTENZA X INFINITO: _{P x} = lim_T->oo ¹/_2T ∫_-T^T |x(t)|² dt
• ENERGIA SU PERIODO: _ET ^x= ∫_t0^t₀+T |x(t)|² dt
• POTENZA SU X PERIODO: _PT^x = ¹/_T ∫_t0^t₀+T |x(t)|² dt
• AREA X: _Aoo^x = ∫_-oo^+oo x(t) dt
• AREA SU PERIODO: _Ax(T) = ∫_t0^t₀+T x(t) dt
• VALOR MEDIO SUL PERIODO: _Mx(T) = ¹/_T ∫_t0^t₀+T x(t) dt
• ENERGIA MUTUA: _E^xy = ∫_-oo^+oo x(t)y*(t) dt

CASO DISCRETO

• _E[n₁, n₂] = ∑_n=n1^n=n₂ |x(n)|²
• _P[n₁, n₂] = ¹/_{n2 - n1} ∑_n=n1^n₂ |x(n)|²
• _{Eoo x}= ∑_n=-oo^n=+oo |x(n)|²
• _{P x} = lim_N->oo ¹/_2N+1 ∑_n=-N^N |x(n)|²
• _EN ^x = ∑_n=N0^N₀+N-1 |x(n)|²
• _PN^x = ¹/_N ∑_n=N0^N₀+N-1 |x(n)|²
• _Aoo^x = ∑_n=-oo^+oo x(n)
• _Ax(T) = ∑_n=0^N-1 x(n)
• _Mx(T) = ¹/_N ∑_n=0^N-1 x(n)
• _E^xy = ∑_n=-oo x(n) y*(n)

PROPRIETÀ

• f _p < 0 → P_x = 0 → x(t) = 0
• f _p < 0 → P_x = 0 → x = 0
• x (t) e x(n) = 0 → _P^N _taking ^N
• A^x(T) → 0 → Derogable per signals reali a tempo discreto
• &dif;^x(t) → &dif;^x (N) > 0
• m_x(T) → M_x

Schema Trasformazioni segnali & Proprietà

• Traslazione temporale

V_T[x(t)] = x (t - T)

V_t0[x(t)] = x (t - t₀)

• Cambio di scala

S_α[x(t)] = x (αt) α ≠ 0

• Trasformazione generale

x(t)] = {x (αt + β)} (Cambio solo + Shift -)

Proprietà cambio scala

1. Grafico allargato per 0 < α < 1
2. Grafico compresso per α > 1
3. Grafico capovolto per α = -1
4. Grafico capovolto e dilatato per -1 < α < 0
5. Grafico capovolto e compresso per α < -1
6. Grafico non cambia per α = 1

SCHEMA: TIPI DI SISTEMA E PROPRIETÀ

SISTEMA STATICO

∑ [x(t)] = f(x(t))     ∑ [x(n)] = f(n, x(n))

SISTEMA CAUSALE

y(t₀) dipende solo da x(t ≤ t₀)

y(n) dipende solo da x(m) m ≤ n

SISTEMA TEMPO INVARIANTE

∑: x(t — T) ⟶ {y(t—T)}

∑: x(n — n₀) ⟶ {y(n — n₀)}

SISTEMA LINEARE

a₁x₁ + a₂x₂ 3’ sistema 3’:

∑ a₁ x₁ + ∑ a₂ x₂

∑ [ax] = a ∑ [x]

BIBO STABILI

se (∀ε) ∃Mₓ ∀t₁ = t₂ ⇒ Mᵧ

per cui Ϝ(t) ≤ Mᵧ t

se x(n) = Mₓ x ∀n ⇒ ∃Mᵧ per cui Ϝ(n) ≤ Mᵧ

∑ [a₁ x₁ + a₂ x₂] = a₁ ∑ [x₁] + a₂ ∑ [x₂]

SISTEMA LTI

Lineare e Tempo Invariante

PROPRIETÀ

Sistemi causali

∑ : sommatore {y(t) = x₀ + x(t - d)} è sommatore

Sistemi non causali

Re [x(t)] =: x(t)

y(t) = eˣ

y(t) = (c x(t) + eˣ), D ≠ 0

Sistemi convoluzionali (y = h ** x)

TEMPO CONTINUO

h(t) = 0 t ≠ 0

(si ha y(t) = K x(t))

h(s) = 0 s > x₀

si ha y(t) = ∫(—∞)⁺∞ h(s) x(t — s) ds

_ ∫(—∞)⁺∞ |h(s)| ds < ∞

TEMPO DISCRETO

h(n) = 0 ∀n ≠ 0

(si ha y(n) = h(0) δ(n))

h(L) = 0 ∀L < 0

si ha y(n) = ∑(Z=0)⁺∞ h(L) x(n — L)

_ ∑(—∞)⁺∞ |h(L)| < ∞

FOURIER TEMPO DISCRETO

X(e^jθ) = _n=0^+∞∑ x(n) e^-jθn

x(n) = ¹/_2π ∫_2π X(e^jθ)e^jθn dθ

TRASFORMATE NOTEVOLI

aⁿ 1|1(n)| |a|<1 ⟶ ¹/_1-ae^-jθ

1|n| |a|<1 ⟶ ¹/_1-z²

rect ⁽ⁿ⁾/_(2π) ⟶ sen(θ(n+¹/₂)) / sen(θ/2)

δ(n) ⟶ 1

sin Wn / πn ⟶ rect ^(θ-ω)/_(2W) + πδ(θ-θ₀-2πl)

e^jθn ⟶ _K=-∞^+∞∑ 2π δ(θ-θ₀-2πl)

cos(θ₀n) ⟶ π [δ(θ-θ₀) + δ(θ+θ₀)]

(n+1)aⁿ 1|1(n)|, |a|<1 ⟶ ¹/_(1-ae^jθ)²

(n+1)! aⁿ⁺¹ 1|1(n)|, |a|<1 ⟶ ¹/_{(1-ae^jθ)^r+1}

PROPRIETA

x(n-n₀) ⟶ e^-jθn₀ X(e^jθ)

e^jθ₀nx(n) ⟶ X(e^j(θ-θ₀))

e^θ = ¹/_2π ∫_2π X(e^jθ)dθ

h(n) * x(n) ⟶ H(e^jθ)•X(e^jθ)

x₁(n), x₂(n) ⟶ ¹/_2π ∫ x₁(e^jθ)*x₂(e^jθ)

x(-n) ⟶ X(e^-jθ)

nx(n) ⟶ j X'(e^jθ)

x(n) ⟶ X(e^-jθ)