Segnali e Sistemi (Schemi)

Schema: Grandezze Segnali e Proprietà

Caso Continuo Caso Discreto

Energia su Intervallo

Potenza su Intervallo

Energia Infinito

Potenza Infinito

Energia sul Periodo

Potenza Sul Periodo

Area

Area Sul Periodo

Valor Medio Sul Periodo

Energia Mutua

Proprietà

• per periodic non identicamente nullo
• per segnali real a tempo discreto

Schema: Grandezze Segnale e Proprietà

Denominatore: +4Sottrarre superiore e somma: -1

Caso Continuo

• Energia su intervallo: \( E_{[t_2-t_1]} = \int_{t_1}^{t_2} |x(t)|^2 dt \)
• Potenza su intervallo: \( P_{[t_2-t_1]} = \frac{1}{\text{lunghezza intervallo}} \int_{t_1}^{t_2} |x(t)|^2 dt \)
• Energia infinito: \( E_x = \int_{-\infty}^{+\infty} |x(t)|^2 dt \)
• Potenza infinito: \( P_x = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{+T} |x(t)|^2 dt \)
• Energia su periodo: \( E_{[T]} = \int_{s}^{s+T} |x(t)|^2 dt \)
• Potenza sul periodo: \( P_{[T]} = \frac{1}{T} \int_{s}^{s+T} |x(t)|^2 dt \)
• Area: \( A_x = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) dt \)
• Area sul periodo: \( A_x(T) = \int_{0}^{T} x(t) dt \)
• Valor medio: \( m_x = \lim_{t \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{+T} x(t) dt \)
• Valor medio sul periodo: \( m_x(T) = \frac{1}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} x(t) dt \)
• Energia mutua: \( E_{x,y} = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)y^*(t) dt \)

Caso Discreto

• Energia su intervallo: \( E_{[n2-n1]} = \sum_{n=n1}^{n2} |x(n)|^2 \)
• Potenza su intervallo: \( P_{[n2-n1]} = \frac{1}{\text{lunghezza}} \sum_{n=n1}^{n2} |x(n)|^2 \)
• Energia infinito: \( E_x = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} |x(n)|^2 \)
• Potenza infinito: \( P_x = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{2N+1} \sum_{n=-N}^{N} |x(n)|^2 \)
• Energia sul periodo: \( E_{[T]} = \sum_{n=s}^{s+T-1} |x(n)|^2 \)
• Potenza sul periodo: \( P_{[T]} = \frac{1}{T} \sum_{n=s}^{s+T-1} |x(n)|^2 \)
• Area: \( A_x = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) \)
• Area sul periodo: \( A_x(T) = \sum_{n=0}^{T-1} x(n) \)
• Valor medio: \( m_x = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{2N+1} \sum_{n=-N}^{N} x(n) \)
• Valor medio sul periodo: \( m_x(T) = \frac{1}{T} \sum_{n=t0}^{t0+T-1} x(n) \)
• Energia mutua: \( E_{x,y} = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n)y^*(n) \)

Proprietà

• - \(E_x \ge 0\), \(P_x \ge 0\)
• - \(E_x = 0 \iff x = 0 \Rightarrow P_x = 0\)
• - \(E_{xy} = E_{yx}^*\) \(\Rightarrow E_{xx} = E_x\)
• - \(2|E_{xy}|^2 \le E_x E_y\) \(\Rightarrow |E_{xy}| \le \sqrt{E_x E_y}\)
• - \(x\) periodico non identicamente nullo \(\Rightarrow E_x = \infty\) e \(P_x = P_{x[T]}\)
• - \(\varepsilon_x^2 \ge 0\) per segnali reali a tempo discreto
• - \(A_x(T) \to A_x \) quando \( T \to \infty\)
• - \(m_x(T) \to m_x\)

Schema Trasformazioni Segnale & Proprietà

• Traslazione Temporale

V_τ{x(t)} = x(t-T) [T nuovo 0]

• Cambio di Scala

S_α{x(t)} = x(αt) α ≠ 0

• Trasformazione Generale

x(t) → x(αt + β) (cambio solo + shift)

Proprietà Cambio Scala

• Grafico di base per 0 < α < 1
• Grafico compresso per α > 1
• Grafico capovolto per α < 0
• Grafico capovolto e dilatato per -1 < α < 0
• Grafico capovolto e compresso per α < -1
• Grafico non cambia per α = 1

SCHEMA SIMMETRIE

• SIMMETRIA REALE

x^*(t) = x(-t)

• SIMMETRIA IMMAGINARIO PURO

x^*(t) = -x(-t)

• SEGNALE PARI

x(-t) = x(t)

• SEGNALE DISPARI

x(-t) = -x(t)

• SIMMETRIA HERMITIANA

x(t) = x^*(-t)

• SIMMETRIA ANTIHERMITIANA

x(t) = -x^*(-t)

Schema: Periodicità

Periodo Fondamentale Segnali Costanti

• Caso continuo: T non definito
• Caso discreto: No ∃ X

Somma/Prodotto di Segnali Continui Periodici

x(t) periodo T₀, y(t) periodo T₁

z(t) = x(t) + y(t) oppure z(t) = x(t) ⋅ y(t)

Se m, n ∈ ℚ ∃ z(t) periodico di periodo T_z = mT₀ = nT₁

Somma/Prodotto di Segnali Discreti Periodici

x(n) periodo N₀, y(n) periodo N₁

z(n) = x(n) + y(n) oppure z(n) = x(n) ⋅ y(n)

∃ z(n) periodico di periodo N_z = m.c.m. (N₀, N₁)

Periodi Fondamentali di Alcuni Segnali

Periodicità Esponenziali Complesse in Relazione Armonica

x_k(t) = e^{j(k w₀ t + Ф)}

w_k = k ⋅ w₀

x_k ha periodo fondamentale ^2π

Se k ≠ 0 (ridotto)

Se k ℰ ℚ

T = (frazione di T_k)

|k|w₀

(non periodo fondamentale)

(*w_k = k ⋅ w₀) ⇒ T_k = ^2π

|k| w₀

SCHEMA: IMPULSI E GRADINI UNITARI E PROPRIETÀ

TEMPO DISCRETO

• Gradino unitario: (n) = { 1, n (≥) 0 { 0, n < 0
• Impulso unitario: δ(n) = { 1, n = 0 { 0, n (≠) 0
• Relazioni gradino-impulso:
  • xδ(n) = (n) - (n-1)
  • Σ (n) = δ(m) = Σδ(n-k)
• Proprietà impulso:
  • Σδ(n) = 1
  • Σ x(n) δ(n) = x(0), per ogni segnale x
  • x(n) ⊗ δ(n) = x(n) per ogni segnale x

TEMPO CONTINUO

• Gradino unitario: (t) = { 1, t (≥) 0 { 0, t < 0
• Impulso unitario (delta di Dirac): δ(t) =
  • lim ...t=∞ t=0 = { 0, t (≠) 0 ...
  • = { 1, t = 0
• Relazioni gradino-impulso
  • x δ(t) = dI(t)
  • | (t) = 0∫t δ(τ) dτ = δ(t - τ) dτ
• Proprietà delta di Dirac:
  • x(0) = 0 ∫∞ δ(t) dt = x(0)
  • x(t) ⊗ δ(t) = x(t)
  • x(t) ⊗ δ(t - τ) = x(t - τ)
  • 0∫∞ x(t) δ(t) dt = 1 . x(0) a (≠) 0
  • 0∫∞ δ(t) dt = 0 ∫∞ x(t)
  • δ(t) = δ( - t)

IMPULSO DI AMPIEZZA CENTRATO IN

• δ(t - T)
• Proprietà:
  • 0∫∞ x(t) δ(t - T) dt = x
  • ... costante ...
  • 0∫∞ x(t) δ(t - T) dt = ɑ. x(T) x

ALTRI IMPULSI

• Impulso rettangolare: rect (t) =
  • { 1, |t|≤(1/2)
  • { 0, altrimenti
• Impulso sinc. Sinc(t) = sen ( ... )

Schema: Tipi di sistema e proprietà

• Sistema Statico: Σ[x(t)] = f(t, x(t))
• Sistema Statico: Σ[x(n)] = f[n, x(n)]
• Sistema Causale: y(c) dipende solo da [x(t) con e ≤ t]
• Sistema Causale: y(n) dipende solo da x(m) con m ≤ n]
• Sistema Tempo Invariante: Z: {x(t–T)}
• y(t–T): Σ: {x(n–n0)}
• y(n–n0)

Sistema Lineare

• x1, x2, {0} note
• Σ[x1+x2]+= Σ[x4]+ Σ[x2]
• Σ[xx]= x Σ[x]
• Se x(e) = Mx ∀e y(e) => My
• Per cui Ux ∪[x(c)] ≤ Myt
• Se x(n) = Mx ∀n => My
• Per cui Ux ∪∀x[n]
• 'Z[αxx4+x2x2]=α Σ[x4]+
• Σ[xz2 ≤ Z Σ[x]

Sistema LTI

• Lineare + Tempo Invariante

Proprietà

• Sistemi causali
• non = causale
• Se i segnali t ≠ 0 se t 0

  e^-atu(t) → ¹/_s+a, Re[s] > Re[-a]

  e^-|at| e > 0 → ¹/_s+a + ¹/_2+s, -a < Re[s] < a

  cos(ω₀t)u(t) → ^s/_s²+ω0², Re[s] > 0

  sin(ω₀t)u(t) → ^ω₀/_s²+ω0², Re[s] > 0

  rect(t)u(t) → ¹/₂[e^-s - e^-2s], ∀s ∈ ℂ

  δ(t) → 1

  tⁿ/_n! u(t) → ¹/_(sⁿ⁺¹), Re[s] > Re[-a]

  PROPRIETÀ

  x(t-τ)u(t) → e^-sτX(s), R

  e^σ₀tx(t) → X(s-s₀), R+σ₀

  e^jω₀tx(t) → X(s-jω₀), R

  x(at) → ¹/_|a| X(^s/_a), R:a

  x^-(t) → X(-s), -R

  -tx(t) → X^'(s), R

  x₁(t) ∗ x₂(t) → X₁(s).X₂(s), R > R₁ ∩ R_z

  ∫_-∞^∞ x(τ) d τ → ¹/_s X(s), ROC > R ∩ Re[s] > 0

  x^'(t) → sX(s), ROC > R

  x^*(t) → X(^¯s), R