Esercizi segnali e sistemi

ES1

s(t) = Acos(2πf_ot + φ_o)

1. Periodo minimo
2. Valore medio
3. Potenza

1. Il periodo minimo sarà dato da T_o = 1/f_o
2. Essendo periodico il valore medio del segnale sarà: m_s = 0
3. 3)?

|s(t)| = A²cos²(2πf_ot + φ_o) usando la formula di Eulero: (e^jα + e^-jα)/2

Ricavo cos²α = A²/2 + A²cos(2πf_ot + 2φ_o) X Prostafèresi

L'energia E_s sarà: E_s = A²T_p + O = A²T_p , Ricavo la potenza P_s(T_p) = A²/2

ES1

Area/valore medio: s(t) = e^-α|t| , α > 0 . s(t)= { e^-αt t > 0 e^αt t < 0 }

Sfrutto la simmetria:

A_s = lim_T→∞ 2∫ e^-αt dt = 2 [e^-αt/-α ]^T₀ . lim_T→∞ e^-αt/-α - e⁰/-α = 2/α

m(s) = lim_T→∞ 1/T ∫ e^-αt dt = lim_t→∞ 1/T (-e^-αT) = 0

ES1

Dire se i segnali sono periodici: periodo minimo

Valore medio

Potenza

A cos(2πf₀t + φ₀)

1. T_P = ¹/_|f0|

Essendo un esponenziale complesso, avrò: A_S(T_P) = 0

m_S = 0

Determino Energia e potenza:

E_S(T_P) = A²T_P, dove A² = |s(t)|² = A²cos²(2πf₀t + φ₀), con cos α = ^{ejα + e-jα}/₂

= ^A₂/₂ + ^A₂/₂cos²(2πf₀t + φ₀)

Allora: E_S(T_P) = A²T_P = ^A₂/₂ · T_P = ^A2T_P

P_S(T_P) = ^A₂/₂

2) A₁ e^{(2πf₁t + φ₁)} + A₂ e^{j(2πf₂t + φ₂)}

Non conosco f₁/f₂, perciò non so se è razionale.

m_S = A₁ m_S1 + A₂ m_S2 = 0

P_S? |s(t)|² = |A₁ e^{j(2πf₁t + φ₁)} + |A₂ e^{j(2πf₂t + φ₂)}|² = s(t) · s^*(t) =

= (|A₁ e^{j(2πf₁t + φ₁)}| + |A₂| e^{j(2πf₂t + φ₂)}) * (|A₁ e^{-j(2πf₁t + φ₁)}| + |A₂ e^{-j(2πf₂t + φ₂)})|

||A₁ + ||A₁|| ||A₂ e^-

= ||A₁|| + |A₁|| - 2 ||A₁|| + |A₂ e^-

CLASSIFICAZIONE DEI SISTEMI

1)

y(t) = { 0 t ≤ 2

{ cos(t - 2) ∫_-1^t x(u) du t ≥ 2

• 1) CAUSALE? SÌ
• 2) LINEARE? SÌ
• 3) BIBO STABILE?
• 4) RISPOSTA IMPULSIVA h(t)?
• 5) RISPOSTA AL GRADINO h_u(t)?
• 6) TEMPO INVARIANTE?

4)

h(t) = { 0 t ≤ 2

{ cos(t - 2) ∫_-1^t δ(u) du t ≥ 2

= 1(t - 2) cos(t - 2)

5)

h_u(t) = { 0 t ≤ 2

{ cos(t - 2) ∫_-2^t 1 du t ≥ 2

→ { 0 t ≤ 2

{ cos(t - 2) (t - 2) t ≥ 2

6)

Non è BIBO stabile perché la risposta al gradino NON è limitata in ampiezza

mentre in ingresso (gradino) ho un segnale limitato in ampiezza.

Se g. entrata limitato → segnale uscita limitato.

Nota: Esempio 1

L'integrale del prodotto z(t) deve essere diviso in 2 parti:

z(t) = ∫_-∞^t x(u) y₁(t-u) du

+ ∫_t^+∞ x(u) y₂(t-u) du

Ho 2 integrali ma una sola regione

Esempio 2

Nel caso t > 0:

Avrò: z(t) = ∫_-∞⁰ x_a(u) y₁(t-u) dt

+ ∫₀^t x₁(u) y₁(t-u) du

+ ∫_t^∞ x₂(u) y₂(t-u) du

Per t < 0: z(t) = ∫_-∞^t x_a(u) y₁(t-u) dt

+ ∫_t⁰ x₁(u) y₂(t-u) du

+ ∫₀^∞ x₂(u) y₂(t-u) du

CONVOLUZIONE DISCRETA - IDENTIFICARE I SEGNALI

z(n) = ^n-1∑_k=-∞ 3^k + ^+∞∑_k=-∞ x(h)y(n-k)

x ottenere gli estremi della sommatoria, la funzione indicatrice sarà:

1_o(n-1) = 1_o(n-k-1)

Riscivo la sommatoria come : ^+∞∑_k=-∞ 1_o(n-k-1)3^k

FILTRI SUL DISCRETO, stabilità di un filtro avente come risposta impulsiva h(.)

a) h_n(n) = ncos( ^π∕₄n) 1_o(n) , FILTRO DISCRETO

BIBO STABILITÀ? VERIFICO SE LA RISPOSTA IMPULSIVA E’ SOMMABILE

Disegno |h(n)| :

Allora L_h = ^+∞∑_k=-∞ |h(n)| = +∞ , i valori a +∞ danno +∞, NON E' BIBO STABILE

Esercizio Precedente usando traslazione e modulazione

Partendo da s(t) = Aejγ02 ejω0t + Ae-jγ02 e-jω0t, combinazione lineare di exp complessi a fasor cinetico

Abbiamo e^jmω ⟶ δ(k-m) Regola generale x estrarre exp complesso a fasor cin. se voglio estrarre i suoi coeff. devo usare serie di Fourier.

Ottengo : Sh = Aejγ02 δ(k-1) + Ae-jγ02 δ(k+1)

USANDO LE PROPRIETA’ DELLA SERIE DI FOURIER

Dato il segnale caogeno X_m, m_s, P_B

x(t) è una collezione di ripetizioni periodiche di rettangoli :

x(t) = rep_Tp (A rect( ^t⁄_T ) + A rect( ^t-2T⁄_T ) + A rect( ^t+2T⁄_T ))

X_k = ?

Posso estrarre i coefficienti integrando tra un periodo , ad esempio -4T/4T ;

Tuttavia conosco X_k x un'onda quadra , u(t) = rep_Tp A rect( ^t⁄_T )

Avro’: U_k = A d sinc_{(k d)} dove d = ¹⁄₈ , duty cicle

essendo una collezione di 3 u_A :

Esercizio sulla traslazione

S(t) = δ(t-t₀)

X traslazione: X(t-t₀) ↔ X(jω)e^-jωt₀

S(jω) = 1, e^-jωt₀

∫ δ(t-t₀) e^-jωt dt = e^-jωt₀

RISULTATO ATTRAVERSO INTEGRALE

Altro es. trasf. Fourier:

S(t) = e^jω₀t

S(jω) = ?

X(t)e^jω₀t ↔ X(jω-jω₀) ; Se x(t)=1 , ottengo e^jω₀t

e^jω₀t ↔ 2πδ(ω-ω₀)

δ(t-t₀) ↔ e^-jω₀

I Fourier

S(t) = cos (ω₀t + φ₀) = ¹/₂ e^jω₀t e^jφ₀ + ¹/₂ e^jω₀t e^-jφ₀

X rapporto modulazione δ-exp , ottengo : e^jω₀t ↔ 2πδ(ω-ω₀)

X linearità: S(jω) = ¹/₂e^jφ₀ 2πδ(ω-ω₀) + ¹/₂ e^-jφ₀ 2πδ(ω+tω₀)

cos (ω₀t) ↔ π δ(ω-ω₀) + π δ(ω+tω₀)