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Teoria dei Segnali
- Certi
- Aleatori
"Segnale" = entità che ha ruolo fondamentale nella comunicazione -> risultato traduzione messaggio per il destinatario
- Sorgente
- Destinatario
- Ridurre l'incertezza che ha il destinatario
- Genera il messaggio.
- Conversione messaggio -> una forma intellegibile per il destinatario -> da messaggio a segnale
[e.g. pensiero trasdotto in voce]
- Segnale: concretizza il messaggio astratto in modo che arrivi al destinatario
- Segnale -> canale di comunicazione -> destinatario
Ho la riconversione
Segnale - Messaggio
Segnali Certi -> segnali generati in unione noto (anche se dipende spesso al caso)
Segnale Aleatorio -> destinatario ignora il messaggio
Come lo rappresento?
- x(t) = Asu sen(ωot + φ)
- x: T -> CT ⊆ Rm
- u = 1
- n = 1
- Generalmente usiamo questi
Funzione forma d'onda rappresentazione analitica segnale
- Tabella
- a) t x(t)
- 0 1
- 1 2
- 3 4
Graficamente
CATEGORIZZAZIONE SEGNALI
- Come categorizzo i segnali? Sfrutto la cardinalità dominio e codominio
x(t)continuo
D: continuo
I ⊆ ℝ, x(t) ∈ ℝ segnale analogico
x(t)tagliato (T: {t₁, t₂, t₃, t₄, ...})discreto
x(t) ∈ ℝcontinuo segnale campionato
x(t)digitale
x(t) ∈ {x₀, x₁, ...} con t ≠ f{t₁, t₂, t₃, t₄, ...}discreto
SEGNALE = più corretto sarebbe FORMA D'ONDA
STRUMENTI PER GESTIRE I SEGNALI
-insieme: forme d'onda - spazio vettoriale
segnale = vettori
SPAZI VETTORIALI
- uno spazio vettoriale E su di R
Insieme: T, +: E x E → E
Interna: I + x E = E
con due elementi di E ne genera un terzo, sempre appartenente ad E (operazione chiusa)
- μ + ν = ν + μ per V μ,ν ∈ Εcommutativa
- (λ + μ) + ω = λ + (μ + ω) ∀ λ,μ,ω ∈ Eassociativa
- ∃ λ ϵ E tale che λ = μ ∀ω ∈ Eelemento nullo/identità per la somma
- μ = λ ⇒ (−μ) = 0 ∀μ ∈ Eopposto
Segnali di Energia e di Potenza
- Suddivisione spazio vettoriale: segnali
Segnali di Energia
Dato un segnale, l'energia:
=
Ricorda:
- x(t) = a(t) + j b(t)
- |x(t)| = √(a²(t) + b²(t))
- x(t) x*(t) = a²(t) + b²(t) = |x(t)|²
0 < Ex < ∞ l'energia non deve divergere
Esempio segnale finito
x(t) =
- -x+1 0 < t < 1
- x+1 -1 < t < 0
- ∅ altrove
x²(t) =
- (-x+1)² 0 < t < 1
- (x+1)² -1 < t < 0
- ∅ altrove
t² = 1 => segnale limitato in ampiezza e durata
x(t) = ArectΔ(t) =
- A -Δ/2 < 0 < Δ/2
- 0 altrove
I Segnali di Energia Sono Limitati in Durata e Ampiezza
qui devo vedere quanto rapidamente tende all'infinito tende a ∞ al finito
Esempio
x(t) → y(t)=2x(t)
H(.)
è lineare?
x1(t) → y1(t)=2x1(t) x2(t) → y2(t)=2x2(t)
y(t)=2(Ax1(t)+Bx2(t)) → A(2x1(t)) + B(2x2(t))
y2
= lineare
H ∑i=1N aixi(t) = ∑i=1N aiH λi(t) LINEARE IN SENSO ESTESO
Considero infinita non numerabile di elementi
[H∫ ∞-∞ a(τ)x(t;τ) dτ = ∫ ∞-∞ a(τ)H x(t;τ) dτ]
coeff sub lineare
∑i=1 λi ei = i vettori della base V
Hλi = H
1 ∑i=1 &sup>* vjHλ
SISTEMA PERMANENTE (invariante rispetto alla traslazione temporale)
x(t) → H/-> → y(t)
x(t) → y(t) = Hλx(t)
x(t-τ) → y(t-τ) = Hλx(t-τ)
se uguale → permanente
Esempio
x(t) → (s) → y(t) y(t)=ax(t)+b
Hᵓ è permanente?
x(t) → y(t) = ax(t)+b; Hλx(t-τ) = ax(t-τ) + b
y(t-τ) = ax(t-τ) + b
= SISTEMA PERMANENTE
Considero un generico segnale analogico, lo posso scrivere come:
\( x(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau) \delta(t - \tau) d\tau \)
cioè attraverso gli impulsi (infinito e non numerabili)
Ora lo faccio transitare in
\( y(t) = H\{x(t)\} = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau) h(t - \tau) d\tau \)
\( \to \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau) h(t - \tau) d\tau \)
\( \Rightarrow y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau) h(t - \tau) d\tau \)
INTEGRALE DI CONVOLUZIONE
\( y[n] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} x[k] h[n-k] \)
SOMMA DI CONVOLUZIONE
\( y(t) = x(t) * h(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau) h(t - \tau) d\tau \)
“dobbiamo essere sicuri della convergenza”
Ho delle proprietà:
è commutativa \( y(t) = x(t) * h(t) = h(t) * x(t) \)
\( h(t) * x(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} h(\tau) x(t - \tau) d\tau \)
uguali perché commutativo
Esercizio
x(t) * h(t) = h(t) * x(t) = ∫ h(t) x(t - τ) dτ
Segnale cresce 0 ≤ t < Δ2 →
zona sovrapp. max 0 ≤ t < Δ2
de-cresce 0 ≤ t < Δ2
Esercizio
x(t) = rect(t - T/2)
uα(t) 1 t > 0 1/2 t = 0 0 t < 0
per t < 0 → prodotto sempre nullo
caso 0 < t < T y(t) = AB∫ e-αt dt =
caso t > T t ∈ (t-T, T) t > t
12/10/2021
PRODOTTO SCALARE SEGNALI DI ENERGIA
<x(t), y(t)> = ∫-∞+∞ x(t) y* (t) dt
rxy(t) = ∫-∞+∞ x* (τ) y(τ + t) dτ INTERCORRELAZIONE
ESPRIMERE L'INTERCORRELAZIONE CON IL PRODOTTO SCALARE
rxy(t) = <x(t), y(t + t)> = <y(t + t), x(t)> = ∫-∞+∞ y(τ + t)x* (τ) dτ
rxy(t) = <y(t + t), x(t)>
pxy(t) = <y(t + t), x(t)>
limt → ±∞ = 1/T ∫-T / 2T / 2 y(t + τ)x* (τ) dτ
rxx(t)|T=0 = Ex pxx(t)|T=0 = Py
avendo rxy(t) come ottengo ryx(t)?
ryx(t) = <x(t + t), y(t)>
rxy(t) = (i) r*yx(-t)
pxy(t) = ipyx(-t)
||2 ≤ <x, x> <y, y> DISEGUAGLIANZA DI SWARTZ
|rxy(t)|2 = |<y(t + τ), x(t + τ)>|2 ≤ |<x(t + τ), x(t)>
∫-∞+∞ y* (t + τ)y(t + τ) dτ = ∫-∞+∞ |y(t + τ)|2 dτ = Ey
∫-∞+∞ |y(t)|2 dτ ENERGIA
|rxx(t)|2 ≤ εx2
|rxx(t)| ≤ Ex = rx(0)
|pxx(t)|≤ Px = pxx(0)
valore max nell'origine
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