Segnali Certi (II parte)

Revisionato il 16/07/2026

di ele.galv

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Seconda parte della teoria relativa ai segnali certi. Appunti scritti a mano in calligrafia chiara e leggibile, integrati con il libro di testo e le dispense del docente. comprende esercizi …

Esame Teoria dei segnali

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Campisi Patrizio

Università Università degli Studi Roma Tre

A.A. 2021-2022

45 pagine

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Trasformata di Fourier

x(t) Tx(t) = ∑_n=-∞^∞ X_n e^j2πnFt X_n = 1/T ∫_-T/2^T/2 x(t)e^-j2πnFt dt = ⟨x(t), e^j2πnFt⟩ x(t) = ∫_-∞^∞ ⟨x(τ)⟩ δω(t - τ) dτ

Considero un segnale non periodico

Condizioni sufficienti Dirichlet

∫_-∞^∞ |x(t)| dt < ∞ (impulsivo)
Finito o al + impulsivo numerabile di max e min in un t ∈ ℝ
Finito di più ≈giunto numerabile di punti di discontinuità di 1 specie in t ∈ ℝ

x(t) = ∫_-∞^∞ x(t) e^-j2πgt dt x(g) = H(g)e^jΦ(g)= R(G) + j I(G)

Trasformata di Fourier di X(t)

Sequeili periodici: x(t) = ∑_n=-∞^∞ X_ne^j2πnFt X_n = 1/T ∫_-T/2^T/2 x(t)e^-j2πnFt dt T → ∞ , T = 1/F , F = ΔF ΔF → 0

∫_-∞^∞ ( x(t)e^-j2πgt dt ) e^j2πnt x(g)

Trasformata di Fourier

x(t) Tx(t) = ∑_n=-∞ X_n e^j2πnF_t X_n = 1/T ∫_-T/2^T/2 x(t)e^-j2πnF_t dt = ⟨x(t), e^j2πnF_t⟩ x(t) = ∫_-∞^+∞ ⟨x(τ)⟩ u(σ[σ - τ]) dτ

Considero un segnale non periodico

Condizioni sufficienti Dirichlet

∫_-∞^+∞ |x(t)| dt < +∞ (impulsivo)
Finito o al + impulsivo numerabile di max e min in un TSR
Finito di più impulsivo numerabile di punti di discontinuità di 1 specie in T ⊆ IR

X(g) = ∫_-∞^+∞ x(t) e^-j2πgt dt

Trasformata di Fourier di x(t)

Segnali periodici

x(t) = ∑_n=-∞ X_n e^j2πnF_t X_n = 1/T ∫_-T/2^T/2 x(t)e^-j2πnF_t dt

x(t) = ∑_n=-∞ X_n (∫_-T/2^T/2 x(t)e^-j2πnF_t dt) e^j2πnF_t T → ∞, T= 1/^F, F= ΔF ΔF → 0 X(g) x(t) ⟷ X(f) α(t) = ℱ^-1{x(f)}

Proprietà 25/10/2021

x(t) = ∫_-∞^+∞ x(f) e^-j2πft df = ℱ^-1{X(f)} x(f) = ∫_-∞^+∞ x(t) e^-j2πft dt = ℱ{x(t)}

x(t) ⟷ x(g) y(t) ⟷ y(g) z(t) = Ax(t) + By(t) z(f) = ∫_-∞^+∞ [Ax(t) + By(t)] e^-j2πft dt = A ∫_-∞^+∞ x(t) e^-j2πft dt + B ∫_-∞^+∞ y(t) e^-j2πft dt

x(f) y(f) x(f) è generalmente complesso x(f) = X_R(f) + jX_I(f) x(f) = |X(f)| e^j2πX(f) |X(f)| = √(X_R²(f) + X_I²(f))

Fase X(f) = arctg x(t) reale ⟹ X(f) = x*(-f) |X(f)| = |X(-f)|

Traslazione nel tempo

x(t-t₀) ⟷ X(f) e^-j2πft₀ z(t) = x(t - τ) z(f) = ∫ x(t - τ) e^-j2πft dt = (∫ x(θ) e^-j2πfθ dθ) e^-j2πfτ

Modulazione sul tempo

x(t) → x(f) x(t) e^j2πf₀t → x(f - f₀) z(t) = x(t) e^j2πf₀t ↔ z(f) = ∫ x(t) e^{j2π(f-f₀)t} dt = X(f - f₀)

Y(f) = ∫ y(t) e^-j2πft dt

Esempio

x(t) = A rect_Δ(t) X(f) = ? esiste, cond. dirichlet √ x(f) = ∫_-Δ/2^Δ/2 A e^-j2πft dt = A Δ sinc [f Δ] rect_{A, Δ}(t) ↔ Δ sinc [f Δ]

f₀Δ = kπ f₀ = k / Δ sin x / x = sinc sinc = Δ

Esempio

x(t) = A rect_Δ(t) ⋅ cos(2πf₀t) x(j₂) = ? esprimiamo il cos con esponenziali complessi cos = ^{e^j2πf₀t + e^-j2πf₀t}/₂

x(t) = ^A/₂ rect_Δ(t) e^j2πf₀t + ^A/₂ rect_Δ(t) e^-j2πf₀t y(t) e^j2πf₀t ⟶ Y(f - f₀) y(t) = rect_Δ(t) x(j₂) = ^A/₂ Δ_ca[Π(f - f₀) Δ] + ^A/₂ Δ_ca[Π(f + f₀) Δ]

Derivazione

x(t) ⟷ x(j₂)

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