Segnali Certi (II parte)

TRASFORMATA DI FOURIER

x(t) T

x(t) = _n=-∞^∞ Σ X_n e^j2πuft

X_n = 1/T ∫_-T/2^T/2 x(t) e^-j2πuft dt = < x(t), e^j2πuft >

x(t) = ∫_-∞^∞ ( x(ξ) ) δ(t-ξ) dξ

CONSIDERO UN SEGNALE NON PERIODICO

CONDIZIONI SUFFICIENTI DIRICHLET

1. ∫_-∞^∞ | x(t) | dt < +∞ (IMPULSIVO)
2. Finit o ad + impulsivo numerabile di max e min in un T ⊆ ℝ
3. Finit o al più finito numerabile di punti di discontinuità di I specie in T ⊆ ℝ

x(t) = ∫_-∞^∞ X(f) e^j2πft dξ

X(f) = ∫_-∞^∞ x(t) e^-j2πft dt

X(f) = R{G} + j I{G}

TRASFORMATA DI FOURIER DI x(t)

(numerabili, dipendeva da u)

segnali periodici: x(t) = _n=-∞^∞ Σ X_n e^j2πnft

X_n = 1/T ∫_-T/2^T/2 x(t) e^-j2πnft dlt

x(t) = _n=-∞^∞ Σ (1/T ∫_-T/2^T/2 x(t)e^-j2πuft dt)e^j2πuft

T → ∞ , T = 1/F, F = ΔF

ΔF > 0

∫_-∞^∞∫_-∞^∞ ( x(t) e^-j2π(t)

e^j2πft dξ

X(ξ)

n ΔF → ξ

x(f) = ∫ y x(t)e^-j2πftdt x(t) ⟷ X(f)

x(t) ⟷ X(f)

a(t) = ∫^y X(f)

25/10/2021

X(t) = ∫ x(f) e^-j2πft df = ∫^y X(f)

x(f) = ∫ x(t)e^-j2πft dt = ∫^y x(t)

x(t) ⟷ X(f)

y(t) ⟷ Y(f)

PROPRIETA'

A x(t) + B y(t) ⟷ A X(f) + B Y(f)

'LINEARITA'

z(t) = A x(t) + B y(t)

z(f) = ∫ [A x(t) + B y(t)] e^-j2πft dt =

= A ∫ x(t)e^-j2πft dt + B ∫ y(t)e^-j2πft dt

X(f) Y(f)

X(f) e' generalmente complesso

X(f) = X_a(f) + j X_j(f)

REAVE COMPLESSA

x(f) = |X(f)| e^j2x(f)

fase

|X(f)| = √(X_a² (f) + X_j² (f))

fase X(f) = arctg (X_j(f) / X_a(f))

x(t) reale ⟹ X(f) = X^*(-f)

|X(f)| e^jX*(f) = |X(-f)|e^{-j X(-f)} ⟹

|X(f)| = |X(-f)| PARI

X(f) = -X(-f) DISPARI

TRASLAZIONE NEL TEMPO

x(t) ⟷ X(f)

x(t-τ) ⟷ X(f) e^{-j 2π f t}

Proprietà di dualità

x(t) ↔ X(jω)

|X(t)| ↔ x(-jω)

x(t) ↔ x(g)

rect_Δ(t) ↔ ΔCa[_x(tΑ)] X(g)

Al contrario ΔCo.[_jω] ↔ rect_jω(-g)

ΔCa.[πtΔ] ↔ rect_jω(g) vale perchè rect

x(t) ↔ X(jω)= ∫_-∞^∞x(t)e^-jωtdt

x(-jω) = ∫_-∞^∞X(t)e^-jνtdt

x(-g) = ∫_-∞^∞ X(t)|t|

x(t):= ∫^∞ x(-g)|t| cv.d.

26/10/2021

Esercizio - 8/02/2019

x(t)

x(2t) * w(t)

w(t) = y(t) + y(t-2)

x(2t) = v(t)

u(t-t₀) * _Δ(t) = Δ(t-t₀)

v(t) * y(t)

z(t) = ũ(t) * w(t) = ũ(t) * [y_g(t)+y_u(t-2)] =

= [y(t) * y^ũ(t) + v(t)* y_u(t-2)/w(t)

y(t) = e^-t u_-1(t)

y(t-2) = y(t)t* u(t-t-2)

[v(t)* y(t)]* u_t(t-t-2)

2/11/21

Trasformata Fourier impulso matematico

x(t) = Aδ(t)

ℱ{δ(t)}= ?

ℱ{δ(t)} = ∫_-∞^+∞ δ(t) e^-j2πft dt = 1

Trasformata Fourier costante

x(t) = A

ℱ{x(t)}= ?

= A δ(f)

Trasformata Fourier coseno

x(t) = A cos(2πf₀t + φ)

ℱ{x(t)}= ?

x(t) = _A/² e^j2πf₀t e^jφ + _A/² e^-j2πf₀t e^-jφ

X(f) = ℱ{x(t)} = ℱ{_A/² δ(f - f₀) e^jφ} + (_A/² e^-jφ δ(f + f₀))

Proprietà

x(t) → X(f), x(t) e^j2πf₀t ↔ X(f - f₀)

X(f) = _A/² e^jφ δ(f - f₀) + _A/² e^-jφ δ(f + f₀)

|ℱ{A cos(2πf₀t + φ)}| = _A/² [e^jφ δ(f - f₀) + e^-jφ δ(f + f₀)]

coseno → reale, pari (ha la fase)

trasf Fourier → unica

spettro a simmetria coniugata è un coseno

CAMBIAMENTO DI SCALA

x(t) → x(g)

_{x(at) → ¹/|a| x(^t/a)}

DIM: ∫ x(at) e^-j2πgt dt = ∫ x(Θ) e^{-j2πga^-¹Θ} dΘ/a

a > 0, 1/a ∫ = ∫

a < 0, 1/a ∫ = - ∫ una a e' neg =＞ 1/a

= 1/|a| ∫ x(Θ) e^-j2πg(q/_a) dΘ = 1/|a| x(^g/_a)

4/11/2021

PROPRIETA' DI INTEGRAZIONE

x(t) ↔ x(g)

z(t) = dx(t)/dt → z(g) = j 2πg x(g)

x(t) → x(g)

z(t) = ∫ x(Θ) dΘ ↔ z(g) = ?

∫ x(Θ) dΘ = x(t) ∗ u₋₁(t)

∫ x(Θ) u₋₁(t - Θ) dΘ

y₁ ∫ ∫ x(Θ) dΘ = y₂ ∫ x(t) ∗ u₋₁(t).

Y₃ ∫ x(t), Y₂ |u₋₁(t)| =

X(s) (V₂ x(g))/j2πg = FAC DOPPIO *

⇒ PROP.D/U

(V₁ u₀(g) + 1/j2πg

Teoremi Energetici:

1° Teorema di Wiener per i segnali di energia

• Filtro passa basso
• Banda
• Filtro passa alto
• Filtro passa banda

Scansionato con CamScanner

x(t) = x₀(t) + x_m

X(jω) = X₀ (jω - jΩ) + X_M U₈(jω)

x(t) = x₀(t) + x_mhanno la stessa trasformata di Hilbert

Dato un segnale x(t) a valore medio nullo, la trasformata di Hilbert x̃(t) è una rappresentazione del segnale x(t) nel dominio del tempo

come fattore indietro?

• x̂
• x
• x̃ = - x̂

x(t)  x̃(t)  H_u(jω)

H₁₁(jω) - H_u(jω)

Dato un segnale x(t) reale e a valore medio nullo, il segnale e la sua trasformata di Hilbert sono ortogonali

• ∫ x̃(t) x(t) = 0
• x(t) segnale di energia

= e_xx̃(t) t = 0

e_xx(τ) = x*(-τ) * x̃(τ) = x*(-τ - τ) * x(τ) * h_h(τ)

ρ_xx(τ) = e_xx(τ) + h_n(τ)

ESERCIZIO 1

x(t) = Cos[2πWt] rect_2W

calcolare x⁺(t)

x(ƒ) = 1/2W rect_2w(ƒ)

x_H(ƒ)

x_±(ƒ)

x⁺(ƒ) = 1/2W rect_w(ƒ - w/2)

x⁺(t) = W/2W Cos[πWt] e^jπWt

x⁺(t) = 1/2 Cos[πWt] e^jπWt

ESERCIZIO 2

x(t) h₁(t) y(t) h₂(t) v(t)

x(t) = Cos²[π2Wt] sen(-10πWt) → posso trasformarlo con Hilbert?

h₁(t) = Cos[π2Wt] cos(-42πWt) → x(ƒ) = 1/2W tri_2w(ƒ) * [1/2 (u_o(ƒ - 5w)) + u_o(ƒ + 5w))

w(t) = -sen(-10πWt)

H₂(ƒ) = rect_2W(ƒ)

w(ƒ) = 1/2W rect_2w(ƒ)

y(ƒ) = 1/2 w(ƒ - 5w) + w(ƒ + 5w)

1. trovare x_H(t) → x_H(ƒ) = X(ƒ) H_M(ƒ) → x(ƒ) = y(ƒ) Cos[π2Wt] sen(-40πWt)] * [H_H(π2Wt)]

[H_e/π2Wt] = 1/2 tri_2w(ƒ)

[H_i sen(cωt)] = 1/2D[uo(ƒ - 5w) − u_o(ƒ + 5w)]