Segnali Aleatori

Segnali Aleatori

Teoria delle Probabilità

*incertezza su ciò che "dice" la sorgente*

• es. io che ascolto il prof per ridurre l'incertezza della mia
• *voglio cercare una regolarità per prendere avvenire un grande numero*

Fenomeno aleatorio: fenomeno rispetto a cui l'osservatore ha una ignoranza totale o parziale circa le leggi che lo regolano

Esperimento: modalità di attivazione di un fenomeno aleatorio (descrizione)

Prova: attuazione dell'esperimento

Attributo qualitativo: denominazione

… assume la cosa che …

Determinazione: valore (fisico o qualitativo) che sono interessata a studiare

Risultato: tutte le n (solo n taloni) che possono essere assunte dalle grandezze fisiche o dagli attributi qualitativi che descrivono il fenomeno a seguito di una prova

Risultati incompatibili: In seguito all’attuazione della prova ho un risultato → se l’uscire di uno preclude l’uscita dell’altro è chiamato

Evento: è l’attributo logico di un risultato→ L'evento si verifica se il risultato soddisfa l'attributo

Evento: E = "esce un numero pari" → se esce 3 (esempio) evento non soddisfatto

Risultati favorevoli all’evento: risultati che soddisfano l'attributo (“eliminati” es. di prima il numeri pari)

EVENTO CERTO = sempre verificato

EVENTO IMPOSSIBILE = mai verificato

TEORIA ASSIOMATICA della PROBABILITA'

• corrispondenza bionivoca evento - insieme
• numero risultati finito e pari a N_� insieme risultati

SPAZIO BASE dei RISULTATI

e.g. lancio del dado

I posso anche avere un evento con 2 risultati (es. un dispari)

• insieme di risposte

ogni possibile evento è caratterizzato da un sottoinsieme di punti

• esco 1
• esco 2
• esco 1 o 2

_�^n = n^{eventi possibili} (in questo caso)

PROBABILITA EVENTO E = P{sub}ΐ{}

COMPLEMENTAZIONE

A = A Ω

A ⊂ Ω

à = (ω) ω ∈ Ω, ω ∉ A

APPLICO SUL INSIEME NON SULL'EVENTO

à = non A

Assiomi

1. P(E) ≥ 0 ∀ E ∈
2. P(Ω) = 1
3. E₁, E₂ ∈ E₁ ∩ E₂ = Ø ⇒ P(E₁ ∪ E₂) = P(E₁) + P(E₂)
4. (E₁) ∀ i ∈ ℕ Eᵢ ∈ Eᵢ ∩ Eⱼ = Ø i ≠ j
5. P(⋃_i=0^∞ Eᵢ) = ∑_i=0^∞ P(Eᵢ)

Se sono verificate → P(.) è una misura di probabilità

Spazio di probabilità

Ω (spazio base dei risultati) -algebra (insiemi misurabili) P(.) (misura di probabilità)

eventi ammessi cioè ammessi che si verifichino

Costruiamo una -algebra a partire da intervalli illimitati inferiormente

su un insieme di insiemi chiuso rispetto alle operazioni

intervallo limitato

• [a, b)
• [b, a]
• (a, ∞]
• [a, a]
• (b, a]

mi mancano (b, a)

-algebra

• Union_k=1^∞(b - ¹/_k, b] = (b, b] punti

si chiama la -algebra più campo di Borel perché che si può generare dagli intervalli limitati inferiormente

Pr { ξ | η } ∈ F = Pr { ξ ∩ η } / Pr { η }

Pr { ξ | T / F } = Pr { ξ ∩ T | F } / Pr{ T ∩ F }

Pr { ξ | T / ξ } = Pr { ξ ∩ T | F ∩ ξ } / Pr{ F ∩ ξ }

hp: ξ ∈ 1ndp. da F ⇒ Pr { ξ ∩ F } / Pr { F } = Pr { ξ } ∈ F

Pr { F | T / ξ } = Pr { ξ ∩ F | F ∩ ξ } / Pr { F ∩ ξ }

= Pr { ξ ∩ F } Pr { F | F } Pr { ξ | T } / Pr { T ∩ F }

Pr { F | F } / Pr { F } / Pr { ξ | T }

"L’indipendenza statistica è una probabilità nulla "Due elementi mutuamente statisticamente indipendenti"

Due eventi ξ e T si dicono mutuamente statisticamente indipendenti se e solo se

Pr { ξ | T / ξ } = Pr { ξ ∩ F } / Pr { F } ∪ Pr { ξ | T }

oppure

Pr { ξ | F } / Pr { ξ | F } = Pr { ξ ∩ F } / Pr { F }

oppure

Pr { ξ ∈ η T } = Pr { ξ ∩ F | F ∩ T } / Pr { T ∩ F ∩ F }

es. display che ti rompe l’ole che songe → può accadere, ma indipendentemente dall’alba

30/11/2021

X: R → R^r

X variabile aleatoria

π v.u.c che può assumere uria distribuzione v.c.

S = {x₁, x₂, x₃, x₄, x_k}

∑ F_xi / X(w) = x_i ; ξ_i = 1

Una variabile aleatoria si definisce discreta se entra nel suo insieme S di punti

x_i tal che ∑F_xi / X(w) = x_i ; ξ_i = 1

A mano o un numero

a - - - - - - - - - - → R

[a, b] = a

DIM. PUNTO SU LINEA → ᶲ

P(E) = _∫∫ f (x₂^b, x₃^b, ..., x_n^b)

Caso monodimensionale

∑ T _{z(x, x + Δx, ξ)}

x_i:1/ξ _i

P(T_z) = ∫ dD_x( x₁) - D_x( x₁ + Δx₁) - D_x( x₁)

ε = ̅ _E E_{n)

P(E̅ ) = 0

Pr{1, E̅ } ≠ 0

Una misura di probabilità Px(.) definita su un campo di Borel F_x, si dice assolutamente continua, se per ogni univoco e F E se e che esiste una misura P(E) = 0 la misura di prob dell'evento e anche' essa = 0

Se la misura di probabilità è assolutamente continua allora è possibile dimostrare che esiste una funzione una vettoria Px (X₁, X₂, X_n) tale che

• P(E) = ¹_∫∫ f (x₂, x₃, x_n) dx₁
• f (x₁, x₂) funzione di densità di probabilità

P₃ (X₁, X₂, X_n) =

D_{x3 … xn}(X₁, ..., X_n )

f (x₁, x₂, x_n) ∈

Dτ X₂, X₃ =

∫∫ f (X₁, ξ₂, ξ₃)⋅ dξ₁

f { X_n}

D_x (X) è una decrescente

P^{( X₁, X₂, X_n)} ≥ 0

D_x (±∞, ±∞) = ≤ ∞

∫∫∫ P_x(x₁, x₂, x_n) dx₁ dx_n = 1

Data una misura di probabilità Px, definita su un campo di Borel F_x, n si dice se singolare ne esiste una misura S su tale che la sua misura (come univoco) F tale e P( S ) = 1

Per una misura singolare NON posso definire la funzione di densita' di probabilità

Nel caso di variabile aleatoria monodimensionale la y misurabile è garantita se la funzione y = f(x) è continua

• X _y = g⁻¹(y)
• P_x(x)
• P_y(y) = ?

y = f(x) funzione crescente

X = g⁻¹(y)

Nel caso: funzione crescente

y = f(x) funzione crescente

D_Y(y) = probabilità che P_Y ≤ y

D_Y(y) = P_y {Y ≤ y} = P_x X ≤ g⁻¹(y)} = D_X[g⁻¹(y)]

D_Y(y) = P_x {Y ≤ y} = D_X[g⁻¹(y)]

g⁻¹(x) = g

D_Y(y) = D_X[g(y)]

monotona crescente

P_y(y) = dD_Y(y) / dy

d[bx[g(y)] / dx] dg(y) / dy

P_x[g(y)]

P_y(y) = P_x[g(y)] dg(y) / dy monotona crescente

ESEMPIO

P_x(x) = 1 / √2π6x e^{(−(x−μx)2 / 2δx)}

μ_x = 0δx = 1

P_x(x) = 1 / √2π e^{(−x2 / 2)}

Dato -> y = 1 / 5x

y = f(x)

x = g⁻¹(y) g(y)

x = y / 5

P_y(y) = 1 / √2π e^{(−(y/5)2 / 2 * 1/5) = 1 / √2π . 5 e(−y2 / 50)}