Segnali Certi (I parte)

TEORIA DEI SEGNALI

27/09/21

TEORIA DEI SEGNALI ➔ CERTI

ALEATORI

"SEGNALE" = entità che ha ruolo fondamentale nella comunicazione ➔ risultato trasduzione messaggio per il destinatario

1. SORGENTE
2. DESTINATARIO

• RIDURRE INCERTEZZA CHE

HA IL DESTINATARIO

• GENERA IL MESSAGGIO
• conversione messaggio ---> una forma intellegibile per il destinatario ➔

• ES. pensiero trasdotto in voce

• seguale: concretizza il messaggio astratto in modo che arrivi al destinatario

[SEGNALE ➔ CANALE DI DESTINATARIO]

• COMUNICAZIONE
• HO LA RICONVERSIONE SEGNALE - MESSAGGIO ( ➔ volto)

SEGNALI CERTI ➔ segnali generati in univoco modo (anche se dipende tutto rispetto al caso)

SEGNALE ALEATORIO ➔ il destinatario ignora il messaggio ( ➔ volto)

Come lo rappresento?

1. x(t)=Asen(ω₀t + ψ)

FUNZIONE FORMA D'ONDA

RAPPRESENTAZIONE ANALITICA SEGNALE

• x: -T_c < T ≤ ℝ
• ω = 1
• n = 1

[GENERALMENTE USIAMO QUESTI]

1. t
2. x(t)

0 1

1 2

3 4

TABELLA

1. GRAFICAMENTE

CATEGORIZZAZIONE SEGNALI

• Come categorizzo i segnali? Sfrutto la cardinalità dominio e codominio

x(t) c: CONTINUO D: CONTINUO T ∈ ℝ x(t) ∈ ℝ segnale analogico

x(t) T = {t₁, t₂, t₃, t₄,...} DISCRETO

x(t) = f_{x0, x1, x2,...} DISCRETO

DIGITALE

SEGNALE

più corretto sarebbe FORMA D'ONDA

STRUMENTI PER GESTIRE I SEGNALI

• insieme - spazio vettoriale

Spazi vettoriali

• Lettera greca

Interna: t: X ∈ E

1. μ + ν = ν + μ ∀ μ, ν ∈ E
2. (μ + ν) + ω = μ + (ν + ω) ∀ μ, ν, ω ∈ E
3. μ + ∅ = μ ∀ μ ∈ E
4. μ + (−μ) = ∅

Commutativa

Associativa

Segnali di energia e di potenza

sottinsiemi spazio vettoriale, es:uali

Segnali di energia

Detto un segnale, l'energia:

• x(t)
• E_x = lim_Δt→+∞ ∫_-Δt/2^Δt/2x(t)x*(t)dt = lim_Δt→+∞∫_-Δt/2^Δt/2|x(t)|²dt

Ricorda:

• x(t) = a(t) + j b(t)
• |x(t)| = √a²(t) + b²(t)
• x(t) . x*(t) = a²(t) + b²(t) = |x(t)|²

0 < E_x < +∞

l'energia non deve divergere

Esempio segnali finito

• x(t)
• x(t) = |-x+1    0 < t < 1
•            |-x+1   -1 < t ≤ 0
•            &#empty;                                altrove
• x²(t) = | (-x+1)²   0 < t < 1
•            | (-x+1)²   -1 < t ≤ 0
•            | &#empty;                          altrove

t² = 1 => segnali limitati in ampiezza e durata

x(t) = Arect_Δ(t) = | A  -Δ/2 < 0 < Δ/2

  0    altrove

I segnali di energia sono limitati in durata e ampiezza

qui devo vedere quanto rapidamente tende all'infinito tende a ∞ al finito

esempio

x(t) → y(t) = 2x(t)

è lineare?

x₁(t)   y₁(t) = 2x₁(t)   x₂(t)   y₂(t) = 2x₂(t)

y(t) = 2(Ax₁(t)+Bx₂(t))

A(2x₁(t) + B(2x₂(t)))

  y_n   y₂

= lineare

LINEARE IN SENSO ESTESO

H_i ∑_i=1∞ a_ix_i(t) = ∑_i=1∞ a_iH_i x_i(t)

considero infinità non numerabile di elementi

∫_-∞^+∞ a(τ)x(t; τ) dτ = ∫_-∞^+∞ a(τ)H_ix(t; τ) dτ

coeff sub lineare

ε_s = ∑_i=1∞ e_i

e_i: vettori della base V

H_sε_s = H_i ∑_i=1∞ e_i

LINEARITÀ   ∑_i=1N v_iH_ie_i

SISTEMA PERMANENTE (invariante rispetto alla traslazione temporale)

x(t)

x(t) → y(t) = H_sx(t)

x(t - t_o)

H_s x(t - t_o)

esempio

x(t) → y(t) = ax(t) + b

è permanente!

y(t) = ax(t) + b

H_fH_sx(t - t_o) = ax(t - t_o) + b

y(t - t_o) = ax(t - t_o) + b

= SISTEMA PERMANENTE

considero un generico segnale analogico, lo posso scrivere come:

x(t) = ∫_-∞^+∞ x(τ) u₀(t-τ) dτ

cioè attraverso gli impulsi (infiniti e non numerabili)

ora lo faccio transitare in

y(t) = H (x(t)) = H {∫_-∞^+∞ x(τ) u₀(t-τ) dτ} = ∫_-∞^+∞ x(τ) H [u₀(t-τ)] dτ =

⇒ ∫_-∞^+∞ x(τ) h(t-τ) dτ

=> y(t) = ∫_-∞^+∞ x(τ) h(t-τ) dτ INTEGRALE DI CONVOLUZIONE

y_n[n] = ∑_k=-∞^+∞ x[k] h[n-k] SOMMA DI CONVOLUZIONE

y(t) = x(t) ∗ h(t) = ∫_-∞^+∞ x(τ) h(t-τ) dτ "dobbiamo essere sicuri della convergenza"

HO DELLE PROPRIETÀ:

è commutativa y(t) = x(t) ∗ h(t) = h(t) ∗ x(t)

h(t) ∗ x(t) = ∫_-∞^+∞ h(τ) x(t-τ) dτ

x(t) -------> | h(t) | ------> y(t)

=

x(t) ∗ h(t)

h(t) -------> | x(t) | ------> y(t)

=

h(t) ∗ x(t)

Esercizio

x(t)*h(t) = h(t)*x(t) = ∫ h(τ)x(t-τ)dτ

_vu_te_ll_o a zero

• t < Δ₂ o > Δ₂
• 0 ≤ t ≤ Δ₂
• 0 < t < Δ₂

S_erezio cresce - 탔3/1 Δ_max

Zona sovrapp max Δ½

D_cR₃cesce

∫ f_dA dt

Esercizio

x(t)=fe^-πtu_t(t), h(t)=Brect_τ(t-T_/2), u_t(t)=1/2_to

per t < o => prodotto sempre nullo

_caso 0