Formulario segnali certi

Tipi di segnali

Analogo

• Continuo
• x e t

Campionato

• x = Continuo
• t = Discreto

Digitale

• Entrambi Discreti

Discreto

• t = Continuo
• x = Discreto

Insieme funzioni d'onda = spazi vettorialiDue vettori sono ortogonali se il loro prodotto è nullo

x = <x_i, e>x_i = <u, e_i><e_i, e_i>

Segnali di energia

E_x = lim _ΔT→∞ ∫_-ΔT/2^ΔT/2 x(t)x*(t) dt =0 < E_x < +∞Limitati in durata e ampiezza= lim _ΔT→∞ ∫_-ΔT/2^ΔT/2 |x(t)|² dt

Segnali di potenza

P_x = lim _ΔT→∞ 1/ΔT ∫_-ΔT/2^ΔT/2 |x(t)|² dt0 < P_x < +∞

Prodotto scalare segnali di energia

lim _ΔT→∞ ∫_-ΔT/2^ΔT/2 |u(t)v*(t)|² ≤ E_u * E_v= lim _ΔT→∞ ∫_-ΔT/2^ΔT/2 x(t) y*(t) dt

Prodotto scalare segnali di potenza

lim _ΔT→∞ 1/ΔT ∫_-ΔT/2^ΔT/2 |x(t)y*(t)|² ≤ P_x * P_y

SISTEMI LINEARI E PERMANENTI

H { ∑_i=1^N a_i x_i(t) } = ∑_i=1^N a_i H { x_i(t) } SIST. LIN.

H { ∑_i=1^∞ a_i x_i(t) } = ∑_i=1^∞ a_i H { x_i(t) } LINEARE IN SENSO ESTESO

ν_s = ∑_i=1^N ν_i e_i

Coeffic. Combin. lineare

y(t - t₀) = H { x(t - t₀) } SISTEMA PERMANENTE

BASE SEGNALI DISCRETI

{ δ[n], δ[n+1], δ[n+2] ... } = e_i

SEGNALI DISCRETI

x[n] = ∑_k=-∞^∞ x[m] δ[n-k]

x = ∑x_k e_k

RISPOSTA IMPULSIVA

h[n] = H { δ[n] }

SOMMA DI CONVOLUZIONE

y(n) = ∑_k=-∞^+∞ x_k h[n-k]

INTEGRALE DI CONVOLUZIONE

y(t) = ∫_-∞^+∞ x(τ) h(t-τ) dτ

(Commutativa, distrib., associat.)

IMPULSO

u_o(t)

∫_-∞^+∞ u_o(t) dt = 1 , u_o(t) = u_o(-t), u_o(at) = ¹/_|a| u_o(t)

esempio rect_∆(t-∆) * u_o(t-2∆) = rect_∆(t-3∆)

SEGNALI IMPULSIVI

∫_-∞^∞ |x(t)| dt < +∞

qualsiasi segnale limitato nel tempo e in ampiezza è impulsivo

• un segnale impulsivo limitato in ampiezza è anche di energia
• un segnale limitato in durata e di energia ⇒ è impulsivo

TRASFORMATA DI FOURIER

X(β) = ∫_-∞^∞ x(t) e^-j2πβt dt

x(t) = ∫_-∞^∞ X(β) e^j2πβt dβ

x(t) ⟷ X(β)

X(β) = {x(t)}

x(t) = ⁻¹{X(β)}

TRASFORMATA RECT

x(t) = rect_τ(t)

X(β) = T sinc(Tπf₀τ)

TRASFORMATA IMPULSO

{u₀(t)} = ∫_-∞^∞ u₀(t) e^-j2πβf₀t dt

= 1

PROPRIETÀ DI LINEARITÀ

Ax(t) + By(t) ⟷ AX(β) + BY(β)

se x(t) è reale ⟷ X(β) = X*(-β)

TRASLAZIONE NEL TEMPO

x(t - τ) ⟷ X(β) e^-j2πβτ

MODULAZIONE SUL TEMPO

x(t)e^j2πβ₀t ⟷ x(β - β₀)

DERIVAZIONE

d^αx(t)/dt^α ⟷ X(β) (j 2π β)^α

QUALITÀ

x(t) ⟷ x(-β)

TRASFORMATA FOURIER SEGNALI PERIODICI

x(t) = Σ_k=-∞^∞ x(t - kT)

X(β) = Σ_n=-∞^∞ X_nδ(β - nF) = 1/T C(μF)

INTERCORRELAZIONE SEGNALI DI ENERGIA

∫_-∞^∞ x_y(t - β)x*(β) · y(β)

∫_-∞^∞ x*(σ - l) = x*(σ)

AUTOCORRELAZIONE SEGNALI DI ENERGIA

∫_-∞^∞ x_x(t - β) · x(β) = |X(β)|²

TEOREMA DI PARSEVAL PER I SEGNALI IMPULSIVI

E_x = ∫_-∞^∞|X(β)|²dβ

WIENER X SEGNALI DI POTENZA

P_x(β) = 1/T∫ P_x(τ)

WIENER X SEGNALI DI ENERGIA

E_x(β) = 1/T∫ e_xx(τ) = |X(β)|²

INVILUPPO COMPLESSO

RICORDA:

• _x(t) = 2 Re {x⁺(t)}
• x̃(t) = 2 Im {x⁺(t)}

_x(t) = 2 x⁺(t) e^-j2πf₀t

_x(t) = x_c(t) + j x_s(t)

x_c(t) = Re {x(t)}

x_s(t) = Im {x(t)}

X(β) = 2 x⁺(β + f₀)

COMPONENTI ANALOGICHE DI BASSA FREQUENZA

quindi → x(t) = 2 Re {x⁺(t)} = x_c(t) cos 2πf₀t - x_s(t) sen 2πf₀t

x̃(t) = 2 Im {x⁺(t)} = x_s(t) cos 2πf₀t + x_c(t) sen 2πf₀t

ESEMPIO

_x(t) = C_a [2πf₀t]

x⁺(t) = ?

USO LA FREQUENZA

X(β)

X(β) = 1^_{2ω} rect_{_{2ω}}(β)

MULTIPLICO PER IL FILTRO

x⁺(β) = 1^_{2ω} rect_ω(β - f₀ - ω/2)

x⁺(t) = ω₀ C_a[πω₀] e^jπω₀t