Segnali aleatori

Verifica dell'evento A

Plain 1Pipa verifica anche l'evento A in quanto tutti i risultati PCB di B appartengono anche ad A.

Esercizio:

• Calcolo la probabilità che lanciando due dadi esca la faccia 4 sapendo che la somma delle due facce è minore o uguale a 10, quindi i risultati di questo esperimento aleatorio quali sono? Coppie di numeri e ciascun elemento della coppia va da 1 a 6. Quanti sono i risultati possibili? 36 (sono coppie ordinate e quindi si possono ripetere gli stessi numeri in ordine diverso); questo valore (36) che cosa rappresenta? Disposizione con ripetizione di 6 elementi a gruppi di 2.
• Cosa vuol dire che è uscita la faccia 4: che la faccia 4 si è presentata sul primo dado, sul secondo o su entrambi.

Considero A = 4.

Faccia AIBD sto facce somma.

Ci aspettiamo che questa probabilità condizionata sia maggiore, minore o uguale alla probabilità di A? Maggiore perché A è completamente contenuto in B: se una delle due facce è 4 allora la.

La somma è di sicuro minore di 10 quindi se si verifica A allora è verificato anche B.

A è un sottoinsieme proprio di B, ovvero che ci sono dei risultati che appartengono a B ma non ad A.

AEBPint PMAIB Pci NBIPCB 36Siamo in presenza di un modello di probabilità uniforme perché lo spazio campionario è discreto (di dimensione finita): ci sono 36 risultati possibili; inoltre tutti i risultati sono egualmente probabili (i dadi non sono truccati).

Allora come calcolo le probabilità dei singoli eventi?

Rapporto tra tutti i risultati favorevoli all'evento A e tutti i risultati possibili 56facce la65,66 Ecombinazione nocuiM ad3 6 favorevoli301413casi36le IÈ 12M si 45,4664,4142PIA mjPI AI B.

Tutti i casi favorevoli a B sono 33 mentre quelli di A sono 11-> il rapporto è proprio 1/3 -> non è un risultato casuale, in quanto quando sono in presenza di un modello di probabilità uniforme, la

probabilità condizionata di un evento A rispetto a B è data dal rapporto tra i casi favorevoli di A e i casi favorevoli di B. In generale, la relazione che vale nel caso di un modello di probabilità uniforme è: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) Nell'interpretazione frequentista della probabilità condizionata, la definizione frequentista di probabilità si basa sul concetto di ripetere l'esperimento aleatorio un certo numero di volte sufficientemente grande e di calcolare la probabilità di un evento come il rapporto tra il numero di volte in cui si è verificato l'evento diviso il numero di prove totali. Supponiamo di ripetere l'esperimento aleatorio per N volte, ipotizziamo che l'evento A si verifichi n volte mentre B si verifichi m volte e l'intersezione tra A e B si verifichi k volte. In questo modo, otteniamo la seguente relazione: P(A|B) = k / mprobabilità condizionata come il rapporto tra il numero di volte che si verifica l'evento A intersezione B e il numero di volte che si verifica l'evento B. Se effettuo l'esperimento N volte, la P(A|B) la ottengo andando ad osservare tutte le prove in cui si è verificato l'evento B e all'interno di queste prove si selezionano le prove in cui si è verificato anche A. Ad esempio, se effettuo 1 milione di volte l'esperimento e B si verifica 100mila volte e in queste 100mila volte A si è verificato 1000 volte, significa che la P(A|B)=1%, ovvero che quando si verifica B una volta su cento si verifica anche A. Altra considerazione: considero uno spazio di probabilità soddisfare evento che d PotereC10 3prua Ea associa assiomiciascun nonFR FIspanodeventi. Se considero l'evento C (sullo stesso spazio campionario e sulla stessa classe di eventi) con probabilità diversa da 0, allora posso definire una nuova funzione di probabilità condizionata.

probabilità che rappresenta la probabilità di ciascun evento condizionata ad A, associando ad A la probabilità di Acondizionata a C te11 Plaid1 P0 ACosa devo fare per dimostrare che P’ sia una probabilità? Verifico gli assiomiP'Ia1 Faeto70iP c verificatoA Plaici perche0Pian okP2 r cPirP r ri verificatocp ok1Pic nitricAnc 0perchéossociare AnitaperchéPiPIApiaceB3 And 3ProprietàB assiomavalidopopPiace PianP PCP plan BncAudi cc c cBncAvis uPicPic picperderdipi PiattPlaid P'cBPcc PCBIc Plaidpic BicPIPccSignificato P’: è come se una volta che scopriamo che si è verificato un evento C, le probabilità degli eventi le possiamo modificare inmaniera tale da tener conto delle informazioni che il fatto che si sia verificato l’evento C ci da su tutti gli altri eventi —> non consideropiù P(A), P(B) etc ma considero le probabilità P(A|C), P(B|C) etc e abbiamo verificato che sono

delle probabilità perché soddisano i 3 assiomi:

• Abbiamo quindi definito un modello di probabilità diverso (P') sullo stesso spazio campionario Ω e sullo stesso spazio di eventi F. È come se l'evento C assumesse il ruolo di Ω; perché se vado a vedere nel nuovo spazio di probabilità, la probabilità di Ω è 1, ma è anche vero che P'(C) vale 1 perché per definizione la probabilità di C condizionato a C è 1 -> C è analogo a Ω.
• Quali esempi mi danno l'evento impossibile? Il complemento di C, EP, P, E MI 0c picCi sono altri eventi la cui P'(.)=0? Tutti gli eventi contenuti nel complemento di C (tutti gli eventi che non hanno elementi in comune con C).

Esercizio: si lancia una moneta non truccata per 3 volte e si calcola la probabilità condizionata P(A|B) dove:

• A = si osservano croci
• B = il risultato del lancio è testa

Lo spazio campionario dacosa è costituito(quanti sono i risultati)? I risultati possibili sono 8 terne perché sono il numero di disposizioni con ripetizioni di due elementi a gruppi di 3: tcc, tct, ttc, ttt, cct, ctc, ctt, ccc. Che modello di probabilità adotto? Uniforme, un qualsiasi evento di Ω ha la stessa probabilità degli altri. Se fosse truccato e uscisse sempre testa, il modello di probabilità sarà: la probabilità dell'evento TTT è 1 e tutte le altre 0. Ricorda: se ho uno spazio campionario finito, la probabilità di ciascun evento è definita quando associamo le probabilità agli eventi. Più in particolare, il modello di probabilità è uniforme perché in un sistema equo siamo presenza di indipendenza di due eventi. Suppongo di avere due eventi A e B appartenenti a Ω di eventi. Due eventi sono indipendenti quando la probabilità dell'evento A intersezione B è uguale al prodotto delle probabilità di A e B. Intuitivamente, quando due eventi sono indipendenti? Quando il risultato di un evento non influenza il risultato dell'altro evento.fatto che si verifichi uno non modifica la probabilità che si verifichi l'altro (oppure che il fatto che si verifichi uno non mi da info sulla probabilità che si verifichi l'altro)

Plattlat Pse p Bindipendenti MAIsono Più conseguenzaPDPID i A

Nota: ecco perché è differente dire che due eventi sono disgiunti o che due eventi sono indipendenti

• A e B disgiunti, se osservo B e si è verificato posso dire che A non si è verificato proprio perché A e B sono disgiunti

Esempio: lancio due dadi e considero gli eventi: 2dado dell'altro1 di dadi differisce quellounPunteggio dell'altrodado didiB è quellodoppiounPunteggio indipendentiBa e sono elementi1136Hr rirLa probabilità di A, quella di B e quella di AintersecatoBE 42h5PIA 1311241135 aC 3 641s 6If 9 AArtsc 4364 4211637321PIB 131 2NÉ 2PlanB 1III 1836 AePlan B indipendentiB PIDPIA7 non sonoPIANI 1Plat ptB 1 Biamani msn.mn43 maPID maEstendiamo il

concetto di indipendenza a 3 eventi:

• Tre eventi A, B, C si dicono indipendenti quando lo sono a coppie
• La probabilità dell'intersezione dei tre eventi deve essere uguale al prodotto delle probabilità dei tre eventi affinché siano indipendenti

Esempio: lancio di una moneta per due volte, considero:

• Evento A: risultato del primo lancio
• Evento B: risultato del secondo lancio
• Evento C: entrambi i lanci danno testa

Verifico se i tre eventi sono indipendenti:

• Se A = testa e B = testa, allora C = testa
• Se A = croce e B = testa, allora C = croce
• Se A = testa e B = croce, allora C = croce
• Se A = croce e B = croce, allora C = croce

I tre eventi non sono indipendenti perché se A interseca B, allora C non si è verificato. Nota: l'ultima condizione non implica le altre.def di indipendenza ad un numero n di eventi aivaleindieAmar Èan asono se kedevevaleres 43esAn ana lmaPIA PIAA PlanAConcetto che sta dietro all’indipendenza di n eventi eventPrendo Aa Arsottoinsieme anr degliun neventi devoeventi ottenere alcunadiosservando gliSe Tgli indipendentin nonsonoaltrima sugliProprietà eventi indipendenti• Suppongo A, B eventi indipendenti aea.noyendentiDPcauBÈPiBPcA PIDPIAPCA plpian AB• Quindi se sono indipendenti m