Appunti Teoria Dei Segnali

Concetto di Segnale

È il segnale che in qualche modo viene emanato

TRADUZIONE

• Il segnale si propaga su un supporto fisico: la traduzione è quel processo che modifica il supporto fisico di un segnale, ad esempio, quando parliamo al telefono (con fili), la voce viaggia su un'onda sonora dovuta alla vibrazione dell'aria, quest'onda viene captata dal microfono del telefono e convertita in un segnale elettrico, questo è un processo di traduzione

CODIFICA SORGENTE

• È un processo di compressione dell'informazione. La compressione avviene essenzialmente in 2 modi:
  • Con perdite: Ad esempio quando scattiamo una foto in formato Jpeg
  • Senza perdite: Come ad esempio la compressione Zip, comprimo il file originale e quando lo riapro lo ottengo per intero (nessuna perdita)
  In generale, più un file viene compresso, più perde informazioni. Codificare un segnale significa ridurne la ridondanza

MODULAZIONE

Modulando un segnale si va a modificare la struttura fisica per renderlo più adatto al metodo di propagazione

Segnali di energia e di potenza

Un segnale si dice essere di energia se: 0 < E_S < ∞

Si dice essere di potenza se: 0 < P_S < ∞

Queste definizioni hanno senso se l’integrale va da -∞ a +∞

Se un segnale è di energia non può essere di potenza perché 0 < E_S < ∞, ovvero E_S è finito ovvero potenza pari a 0.

Se invece un segnale è di potenza perché 0 < P_S < ∞, ovvero P_S è finita ovvero energia infinita: E_S = ∞

Operazioni sui segnali

Sia un segnale:

Si X(t) soddisfa le condi. di Dirichlet si può rappresentare come combinazione lineare di funzioni sinusoidali.

Supponiamo di limitare il numero dei termini:

_∑m=1^N a_m cos(_2πmt/_T) + _∑m=1^N b_m sen(_2πmt/_T)

X_2N+1(t) ≠ X(t)

Se non prendo infiniti coeff qualla errore lo aumenterò, ma se io definisco l'errore (differenza tra segnale vero e uno mia approssimato, ottenuto con il numero d. coeff stabilito da me)

e_2N+1(t) = X(t) - X_2N+1(t)

E_e(2N+1) = ∫_-T/2^T/2 |e_2N+1(t)|² dt

completezza : la base delle funzioni fosse al ...

lim_N→∞ E_(2N+1)= 0

lim_N→∞ ∫_-T/2^T/2 |X(t) - X_2N+1(t)|² dt = 0

Se l’energia va a zero quando il numero di termini va all’infinito allora è completa (la base)

del tipo: \( Z(h) = \sum_{k=0}^{N-1} z_k M_k \quad \forall \{z_k\} \) l'errore risulta

DIMOSTRAZIONE

\( e_n \perp z \)

Prendiamo un qualsiasi vettore \( M \) e facciamo il prodotto scalare con \( e_n \)

\( (M, e_n) = (M, x - \sum_{k=0}^{N-1} z_k M_k) = (M, x) - \sum_{k=0}^{N-1} z_k (M, M_k) \)

= \( (M, x) - x e_n (M, M e_n) = \frac{(M, x)}{\| M e_n \|^2} = 0 \)

ho usato la proprietà che mi dice che il prodotto scalare tra 2 vettori ortogonali è 0.

Abbiamo dimostrato che l'errore è ortogonale a qualunque funzione della base ed alla loro somma.

Isoliamo ora l'errore tra \( x \) e \( z \).

= x - z , l'energia sarà: \( \| x - z \|^2 = \| x - x_n - z - x_N \|^2 = \| e_n - z - x_N \|^2 \)

Sappiamo che: \( \| x - y \|^2 = \| x \|^2 + \| y \|^2 - 2 \Re \{ (x, y) \} \) quindi:

\( \| e_n - z - x_N \|^2 = \| e_n \|^2 + \| z - x_N \|^2 - 2 \Re \{ ( e_n, (z - x_N) ) \} \)

\( \sum_{k=0}^{N-1} z_k M_k - \sum_{k=0}^{N-1} z_k ( z_k X M_k ) M_k \) per quanto detto prima è ortogonale

\(\forall e_N : \quad (e_N , \sum_{k=0}^{N-1} (z_k - x_k) M_k ) = 0 \)

quindi avremo:

\( \| x - z \|^2 = \| e_n \|^2 + \| z - x_N \|^2 \)

volendo noi trovare i coefficienti che minimizzano l'energia e che sono quei valori di \( z \) che:

\( Z = x_N \) \( \Rightarrow \| x - z \|^2 = \| e_n \|^2 \)

Serie di Fourier

X_k = ¹/_T ∫_-T/2^T/2 X(t) e^{-j 2πkt/T} dt

X(t) = Σ_k=-∞^∞ X_k e^j2πkt/T

Trasformata di Fourier

: X(t) → x(f)

∫_-∞^∞ X(t) e^-j2πft dt = x(f) → è chiamato spettro di X(t) f → frequenza

Lo spettro di una funzione è la sua trasformate di Fourier.

∫_-∞^∞ x(f) e^j2πft df = X(t) → trasformate di Fourier inverse

Condizione sufficiente dell'esistenza della trasformate di Fourier

∫_-∞^∞ |X(t)| dt < ∞

x(f=0) = ∫_-∞^∞ X(t) ⋅ e^j2πf₀t dt

Altro esempio:

∫_-∞^∞ 1/ε rect_ε(t-t₀) X(t) dt ≃ X(t₀) 1/ε.ε⁰ Per ε→0

• PROPRIETÀ DI MODULAZIONE

Se Y(t) = X(t) ⋅ e^j2πf₀t ⇒ Y(f) = X(f-f₀)

DIM: Y(f) = ∫_-∞^∞ Y(t) ⋅ e^-j2πft dt = ∫_-∞^∞ X(t) ⋅ e^j2πf₀t ⋅ e^-j2πft dt =

= ∫_-∞^∞ X(t) ⋅ e^{-j2π(f-f₀)t} dt = X(f-f₀)

• PROPRIETÀ DI DUALITÀ

Se X(f) = ℱ{X(t)} ⇒ ℱ{X(t)} = X(-f)

dove ℱ{X(t)} = ∫_-∞^∞ X(t) ⋅ e^-j2πft dt

DIM: ℱ{X(t)} = ∫_-∞^∞ X(t) ⋅ e^-j2πft dt = X(-f)

Proprietà di Convoluzione

Dati x(t) e y(t), si definisce convoluzione:

z(t) = ∫_-∞^∞ x(τ) y(t - τ) dτ

Si definisce convoluzione tra x(t) e y(t)

Vale la proprietà commutativa:

∫_-∞^∞ x(τ) y(t - τ) dτ = ∫_-∞^∞ y(τ) x(t - τ) dτ

Dim:

Cambio di variabile: t - τ = u, du = -dτ, t = u + τ

τ = t - u

z(t) = ∫_-∞^∞ y(u) x(t - u) du

Se z(t) = ∫_-∞^∞ x(τ) y(t - τ) dτ ⇒ Z(f) = X(f) Y(f)

Dim:

Z(f) = ∫_-∞^∞ z(t) e^-j2πft dt = ∫_-∞^∞ ∫_-∞^∞ x(τ) y(t - τ) e^-j2πft dt dτ =

= ∫_-∞^∞ x(τ) ∫_-∞^∞ y(t - τ) e^-j2πft e^-j2πf(t-τ) dτ e

Cambio di variabile: t - τ = u ⇒ t = u + τ, du = -dτ

= ∫_-∞^∞ x(τ) e^-j2πfτ ∫_-∞^∞ y(u) e^-j2πfu du dτ =

∫_-∞^+∞ e^-d|t| = Re { 1 / (d + j2πf) } = α / (d² + (2πf)²)

e^-d|t| = u(t) è la parte pari di 1/2 e^-d|t|

quindi: ℱ { e^-d|t| } = 2α / (d² + [2πf]²)

• CAMBIAMENTO DI SCALA
• ti prendo un esempio: Y(t) = X(at) ⇒ Y(f) = ∫_-∞^+∞x(at)·e^-j2πft dt
• cambio di variabile: at = t′ ⇒ t = t′ / a ⇒ dt = dt′ / a ⇒ dt′ = a dt
• Y(f) = ∫_-∞^+∞X(t′)·e^{-j2πf t′ / a} dt′·1/a ⇒ Y(f) = 1/a × X (f/a) mostra se a < 0
• ⇒ Y(f) = -1/a × X (f/a)
• generalizzando:
• Y(t) = X(at) ⇒ Y(f) = 1/|a| · X (f/a)